6．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于（ ）
A．1B.
C.D．2
解析：
选A 在△ABC中，∵tan∠BAC＝－3，
∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－，
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，∴BC＝3.
∴S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，∴BC边上的高为＝＝1.
7．（2018·开封模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为__________．
解析：
由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，
得sinB·＋sinB·＝2sinC·，
即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，
亦即sin（A＋B）＝2sinCcosA，
故sinC＝2sinCcosA.
因为sinC≠0，所以cosA＝，所以A＝.
因为S△ABC＝bcsinA＝2，
所以bc＝8.
由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b＋c）2－3bc，
可得b＋c＝7.
答案：
7
8．（2018·福州模拟）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为______m/s（精确到0.1）．
参考数据：
≈1.414,≈2.236.
解析：
因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以（14v）2＝（100）2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.
答案：
22.6
9．（2018·长春质检）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________.
解析：
由面积公式S＝bcsinA＝b2sinA，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并结合角平分线定理可得，BD＝，CD＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，在△ABD中，cosB＝，即＝，
化简得b2＝1，解得b＝1.
答案：
1
10．（2018·昆明调研）已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.
（1）求AB的长；
（2）求△ACD的面积．
解：
（1）因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，
所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，
又∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos150°＝84，
所以AB＝2.
（2）在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得CD＝3＋，
又∠ACD＝180°－150°＝30°，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD
＝×2×（3＋）×＝.
11．（2018·沈阳质检）在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.
（1）求角C的大小；
（2）若a＋b＝6，△ABC的面积为2，求c.
解：
（1）由正弦定理得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，
又sinA＝sin（B＋C），
∴2sinCcosB＝2sin（B＋C）＋sinB，
∴2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，
∴2sinBcosC＋sinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosC＝－.
又C∈（0，π），∴C＝.
（2）∵S△ABC＝absinC＝2，∴ab＝8，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋ab＋b2＝（a＋b）2－ab＝28，∴c＝2.
12．（2018·长沙模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A－cos（B＋C）＝sin3A＋.
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
解：
（1）∵A＋B＋C＝π，∴cos（B＋C）＝－cosA．①
∵3A＝2A＋A，
∴sin3A＝sin（2A＋A）＝sin2AcosA＋cos2AsinA．②
又sin2A＝2sinAcosA，③
cos2A＝2cos2A－1，④
将①②③④代入已知等式，得2sin2AcosA＋cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋，
整理得sinA＋cosA＝，
即sin＝，
又A∈，∴A＋＝，即A＝.
（2）由
（1）得B＋C＝，∴C＝－B，
∵△ABC为锐角三角形，
∴－B∈且B∈，解得B∈，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴c＝＝＝＋1，
又B∈，∴∈（0，），∴c∈（1,4），
∵S△ABC＝bcsinA＝c，∴S△ABC∈.
故△ABC面积的取值范围为.
二、强化压轴考法——拉开分
1．（2018·成都模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（sin2A－sin2C）＝（a－b）sinB，△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 由正弦定理，得＝＝＝2，所以sinA＝，sinB＝，sinC＝，将其代入2（sin2A－sin2C）＝（a－b）sinB得，a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝＝，又02．（2019届高三·南宁二中、柳州高中联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（ ）
A．2＋B．2＋
C．3D．3＋
解析：
选A 法一：
由题意可得，sinB＋2sinCcosA＝0，即sin（A＋C）＋2sinCcosA＝0，
得sinAcosC＝－3sinCcosA，即tanA＝－3tanC.
又cosA＝－<0，所以A为钝角，于是tanC>0.
从而tanB＝－tan（A＋C）＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tanC≥2＝2，当且仅当tanC＝时等号成立，此时角B取得最大值，且tanB＝tanC＝，tanA＝－，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
法二：
由已知b＋2ccosA＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
3．（2019届高三·惠州调研）已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4,6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为______________．
解析：
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，∴c＝8cosA，
由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccosA，
∴16－b2＝64cos2A－16bcos2A，
又b≠4，∴cos2A＝＝＝，
∴c2＝64cos2A＝64×＝16＋4B.
∵b∈（4,6），∴32答案：
（4，2）
4．（2018·潍坊模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为__________．
解析：
因为＝，所以＝（2c－b），
由正弦定理得
sinBsinAcosB＝（2sinC－sinB）sinBcosA，
又sinB≠0，所以sinAcosB＝（2sinC－sinB）cosA，
所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，
sin（A＋B）＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，
又sinC≠0，所以cosA＝，sinA＝.
设外接圆的半径为r，则r＝1，
由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.
当且仅当b＝c时，等号成立，
又因为a＝2rsinA＝，
所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤.
答案：
5．（2018·陕西质检）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2＋b2－c2）（acosB＋bcosA）＝abc，若a＋b＝2，则c的取值范围为________．
解析：
由sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC及正弦定理，可知acosB＋bcosA＝c，
则由（a2＋b2－c2）（acosB＋bcosA）＝abc，
得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理可得cosC＝，则C＝，B＝－A，
由正弦定理＝＝，
得＝＝，又a＋b＝2，
所以＋＝2，
即c＝＝.
因为A∈，所以A＋∈，
所以sin∈，则c∈[1,2）．
答案：
[1,2）
6．（2018·南昌模拟）如图，平面上有四个点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且AB＝，P，Q为动点，满足关系AP＝PQ＝QB＝1，若△APB和△PQB的面积分别为S，T，则S2＋T2的最大值为________．
解析：
设PB＝2x，则－1＜2x＜2，
∴＜x＜1，
∴T2＝2＝x2（1－x2），
cos∠PAB＝＝，
sin2∠PAB＝1－2，
∴S2＝2＝1－＝－（1－x2）2，
∴S2＋T2＝－（1－x2）2＋x2（1－x2），
令1－x2＝t，则x2＝1－t,0＜t＜，
∴S2＋T2＝－t2＋（1－t）t＝－2t2＋t＋，
其对称轴方程为t＝，且∈，
∴当t＝时，S2＋T2取得最大值，
此时S2＋T2＝－2×＋＋＝.
答案：
三、加练大题考法——少失分
1.（2019届高三·洛阳联考）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.
（1）求∠ACP；
（2）若△APB的面积是，求sin∠BAP.
解：
（1）在△APC中，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，
由余弦定理得
PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC，
所以22＝AP2＋（4－AP）2－2·AP·（4－AP）·cos60°，
整理得AP2－4AP＋4＝0，
解得AP＝2，所以AC＝2，
所以△APC是等边三角形，所以∠ACP＝60°.
（2）由于∠APB是△APC的外角，
所以∠APB＝120°，
因为△APB的面积是，
所以·AP·PB·sin∠APB＝，所以PB＝3.
在△APB中，由余弦定理得
AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos∠APB
＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19，
所以AB＝.
在△APB中，由正弦定理得＝，
所以sin∠BAP＝＝.
2．（2018·开封模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2－4S＝3b2＋3c2.
（1）求A；
（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．
解：
（1）∵S＝bcsinA，
∴由已知得，b2＋c2－a2＝－S＝－·bcsinA，
∴cosA＝＝－sinA，
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