完整版高等数学公式大全及常见函数图像doc.docx
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高等数学公式
导数公式:
(tgx)
sec2x
(arcsinx)
1
1
x2
(ctgx)
csc2x
(arccosx)
1
(secx)
secxtgx
1x2
(cscx)
cscxctgx
(arctgx)
1
(ax)
axlna
1
x2
(logax)
1
(arcctgx)
1
1
x2
xlna
基本积分表:
tgxdx
lncosx
C
dx
sec2xdx
tgx
C
ctgxdx
lnsinx
C
cos2x
dx
2
secxdx
lnsecx
tgxC
sin2x
csc
xdx
ctgx
C
cscxdx
lncscx
ctgx
C
secxtgxdx
secx
C
dx
1
x
cscx
ctgxdx
cscxC
a2
x2
aarctg
a
C
axdx
ax
C
dx
1
x
a
lna
x2
a2
2a
ln
C
x
a
shxdx
chx
C
dx
1
a
x
a2
x2
2a
ln
C
chxdx
shx
C
a
x
dx
x2
arcsinx
C
dx
ln(x
x2
a2)
C
a2
a
x2
a2
2
2
n
1
In
sinnxdx
cosnxdx
In
2
0
0
n
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a2
ln(x
x
2
a
2
)
C
2
2
x2
a2dx
x
x2
a2
a2lnx
x2
a2
C
2
2
a2
x2dx
x
a2
x2
a2
arcsinx
C
2
2
a
三角函数的有理式积分:
sinx
2u
,cosx
1
u2
,
u
tgx,
dx
2du
1
u2
1
u2
2
1
u2
一些初等函数:
双曲正弦
:
shx
ex
ex
2
双曲余弦
:
chx
ex
ex
2
双曲正切
:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln(x
x
2
)
1
archx
ln(x
x2
1)
arthx
1ln1
x
2
1
x
两个重要极限:
limsinx
1
x0
x
lim(1
1
)x
e2.718281828459045...
xx
x
x
三角函数公式:
·诱导公式:
函数
sin
cos
tg
ctg
角A
-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
90°-α
cosαsinαctgαtgα
90°+α
cosα-sinα-ctgα-tgα
180
°-α
sinα-cosα-tgα-ctgα
180
°+α-sin
α-cosαtgα
ctgα
270
°-α
-cosα-sinαctgαtgα
270
°+α-cosαsinα-ctgα-tgα
360
°-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
360
°+αsinαcosαtgα
ctgα
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(
)
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
2
tg(
)
tg
tg
sin
sin
2cos
sin
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg(
)
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
·倍角公式:
sin2
2sincos
cos2
2cos2
1
1
2sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
ctg2
1
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
tg3
2tg
1
3tg2
tg2
1
tg2
·半角公式:
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tg
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
1
cos
sin
1
cos
2
2
·正弦定理:
a
b
c
2R
·余弦定理:
c2
a2
b2
2abcosC
sinA
sinB
sinC
·反三角函数性质:
arcsinx
2
arccosx
arctgx
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(
Leibniz
)公式:
n
(uv)(n)
Cnku(n
k)v(k)
k0
u(n)v
nu(n1)v
n(n
1)u(n2)v
n(n
1)(nk
1)u(nk)v(k)
uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
柯西中值定理:
f(b)f(a)f()(ba)
f(a)f()
F(a)F()
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds
1
y2dx,其中ytg
平均曲率:
K
.
:
从M点到M点,切线斜率的倾角变
化量;
s
M点的曲率:
K
lim
d
y
.
s
ds
y2)3
s0
(1
直线:
K
0;
半径为a的圆:
K
1.
a
定积分的近似计算:
b
b
a
矩形法:
f(x)
y1
yn1)
(y0
a
n
b
b
a[1(y
梯形法:
f(x)
0
yn)
y1
yn
1]
a
n
2
b
b
a[(y0
抛物线法:
f(x)
yn)
2(y2
y4
yn2)
4(y1y3
a
3n
定积分应用相关公式:
功:
WFs
水压力:
F
p
A
m1m2
引力:
F
k
r2
k为引力系数
1
b
函数的平均值:
y
f(x)dx
b
aa
1
b
f2(t)dt
均方根:
b
aa
空间解析几何和向量代数:
s:
MM弧长。
yn1)]
空间2点的距离:
d
M1M2
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2
z1)2
向量在轴上的投影:
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju(a1
a2)Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cos
axbx
ayby
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
k
cab
ax
ay
az,c
a
bsin
.例:
线速度:
v
w
r.
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混合积:
[abc]
(a
b)
c
bx
by
bz
a
b
ccos,为锐角时,
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程:
1、点法式:
A(x
x0)
B(y
y0)
C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
By
Cz
D
0
3、截距世方程:
x
y
z
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
空间直线的方程:
xx0
m
二次曲面:
面的距离:
dAx0By0
A2
B2
yy0
zz0
t,其中s
n
p
Cz0D
C2
x
x0
mt
{m,n,p};参数方程:
y
y0
nt
z
z0
pt
22
1、椭球面:
xya2b2
22
2、抛物面:
xy
2p2q
3、双曲面:
22
单叶双曲面:
xya2b2
22
双叶双曲面:
xya2b2
z2
c21
z(,p,q同号)
z2
c21
z2
c2(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz
z
z
du
u
u
u
dx
y
dy
dxdy
dz
x
x
y
z
全微分的近似计算:
zdz
fx(x,y)x
fy(x,y)
y
多元复合函数的求导法
:
z
dz
z
u
z
v
f[u(t),v(t)]
u
t
v
t
dt
z
f[u(x,y),v(x,y)]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
u
vv(x,y)
当
,
时,
u(x,y)
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式:
隐函数
F(x,y)
,
dy
0
dx
隐函数
F(x,y,z)
,z
0
x
隐函数方程组:
F(x,y,u,v)
G(x,y,u,v)
Fx,
d2y
Fx
+
Fx
dy
Fy
dx2
(
)
(
)
xFy
yFy
dx
Fx
,
z
Fy
Fz
y
Fz
0
(F,G)
F
F
Fu
Fv
J
u
v
0
(u,v)
G
G
Gu
Gv
u
v
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
x
J
(x,v)
x
J
(u,x)
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
y
J
(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
(t)
z0)处的切线方程:
xx0
yy0
zz0
空间曲线
y
(t)在点M(x0,y0
z
(t)
(t0)
(t0)
(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(x
x0)
(t0)(y
y0)
(t0)(z
z0)
若空间曲线方程为:
F(x,y,z)0
则切向量T{
Fy
FzFz
Fx
Fx
Gy
G(x,y,z)0
GzGz
GxGx
曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
:
Fx(x0,y0,z0)(x
x0)
Fy(x0,y0,z0)(y
y0)
3、过此点的法线方程:
xx0
yy0
z
z0
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
0
Fy
}
Gy
Fz(x0,y0,z0)(zz0)0
方向导数与梯度:
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:
f
f
cos
fsin
l
x
y
其中
为x轴到方向l的转角。
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)
fi
f
j
x
y
它与方向导数的关系是:
f
gradf(x,y)e,其中e
cos
i
sin
j,为l方向上的
l
单位向量。
f是gradf(x,y)在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
fy(x0,y0)
0,令:
fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C
AC
B2
A0,(x0,y0)为极大值
0时,
A0,(x0,y0)为极小值
则:
AC
B2
0时,
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
D
D
2
2
曲面zf(x,y)的面积A
1
z
z
x
dxdy
D
y
Mx
x
(x,y)d
My
y
(x,y)d
平面薄片的重心:
D
y
D
x
M
(x,y)d
M
(x,y)d