空间点直线平面之间的位置关系.docx
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空间点直线平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识要点:
1.平面的基本性质:
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2:
过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系:
空间两条直线的位置关系有且只有三种:
如图:
AB与BC相交于B点,AB与A′B′平行,AB与B′C′异面。
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系:
(1)直线在平面内……有无数个公共点;
(2)直线与平面相交……有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意,我们不提倡如下画法.
4.平面与平面之间的位置关系:
(1)两个平面平行……没有公共点;
(2)两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解:
例1、根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.
图1可以用几何符号表示为:
___________________________________________.
图2可以用几何符号表示为:
___________________________________________.
分析:
本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.
解:
图1可以用几何符号表示为:
即:
平面与平面相交于直线AB,直线a在平面内,直线b在平面内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.
图2可以用几何符号表示为:
,△ABC的三个顶点满足条件
即:
平面与平面相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在内但不在直线MN上,点C在平面内但不在直线MN上.
例2、观察下面的三个图形,说出它们有何异同.
分析:
图1既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图;图2、图3均用了一条直线衬托,它们都是空间图形的直观图.
解:
图1可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图;图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图;图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.
点评:
(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习.
(2)与本题类似的其它变形还有:
用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)DD1和A1B1的位置关系如何?
D1B和AC的位置关系如何?
A1C和D1B的位置关系如何?
(2)和AD成异面直线的棱所在直线有几条?
(3)和BD1成异面直线的棱所在直线有几条?
(4)六个面的正方形对角线共12条,这些对角线所在直线中,异面直线共有多少对?
解析:
我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种,判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。
(1)异面直线;异面直线;相交直线;
(2)4条.分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C;
(3)6条.分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD;
(4)30对。
例4、已知:
如图,立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ,E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.
求证:
△EFG∽△BCD.
证明:
∵在平面ABC中,EF∥BC,∴=.
又在平面ACD中,FG∥CD,∴=.
∴=.
∴EG∥BD.
∴∠EFG=∠BCD.
同理∠FGE=∠CDB,
∴△EFG∽△BCD.
与本例类似变形还有:
已知:
将一张长方形的纸片ABCD对折一次,EF为折痕再打开竖直在桌面上,如图所示,连结AD、BC.
求证:
ADBC,∠ADE=∠BCF.(证明略)
三、练习:
1.下列图形中,满足的图形是( ).
(A) (B)
(C) (D)
2.已知A、B表示点,b表示直线,、表示平面,下列命题和表示方法都正确的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
3.用符号表示“若A、B是平面内的两点,C是直线AB上的点,则C必在内”,即是________________.
4.“a,b为异面直线”是指:
(1)且a不平行于b;
(2)且;
(3)且;
(4);
(5)不存在平面,使且成立.
上述结论中,正确的是( ).
(A)
(1)(4)(5) (B)
(1)(3)(4)
(C)
(2)(4) (D)
(1)(5)
5.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ).
(A)平行或异面 (B)异面 (C)相交 (D)相交或异面
6.如图,空间四边形ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=__________.
7.如图,是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________,它们所成的角为________度。
四、练习答案:
1.提示:
根据平面的无限延展性及平面画法来判断.
答案:
(C).
2.提示:
根据点与平面应用“”“”连接排除A;根据公理两个平面相交为一条直线,排除B;再跟据图形可排除D,因为A有可能在平面上.
答案:
(C).
3.提示:
熟悉点与线,点与平面的关系,正确使用“”、“”等符号.
答案:
.
4.提示:
根据异面直线定义“不同在任何一个平面内,没有公共点的两条直线叫异面直线”,结合图形可排除
(2)、(3)、(4).(∵
(2)中可能有a∥b,(3)中可能有a∥b,(4)可能有a与b相交或平行.)(5)是正确的,再由直线位置关系可得
(1)也是正确的.
答案:
(D).
5.提示:
由公理可排除(A),再结合图形可利用平移方法验证.
答案:
(D).
6.提示:
重心是三条中线的交点,并分每条中线的比为2∶3.连结AM并延长交BC于E,连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD.
∴MNEF,EFBD.
∴MNBD ∴MN=m.
答案:
m.
7.解析:
展开图还原成正方体如图所示(C点与D点重合),成异面直线的是AF与BC(或BD),AF与BC所成角即为CE与BC所成角,为60度。