空间点直线平面之间的位置关系.docx

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空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

　　一、知识要点：

　　1.平面的基本性质：

　　公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

　　公理2：

过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

　　公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

　　2.空间中直线与直线之间的位置关系：

　　空间两条直线的位置关系有且只有三种：

　　如图：

AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。

　　公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

　　3.空间中直线与平面之间的位置关系：

（1）直线在平面内……有无数个公共点；

（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；

　　（3）直线与平面平行……没有公共点。

　　其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

　　注意，我们不提倡如下画法．

　　4.平面与平面之间的位置关系：

（1）两个平面平行……没有公共点；

（2）两个平面相交……有一条公共直线。

　　二、例题讲解：

　　例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．

　　图1可以用几何符号表示为：

___________________________________________．

　　图2可以用几何符号表示为：

___________________________________________．

　　分析：

本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．

　　解：

图1可以用几何符号表示为：

　　即：

平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．

　　图2可以用几何符号表示为：

，△ABC的三个顶点满足条件

　　即：

平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．

　　例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．

　　分析：

图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．

　　解：

图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．

　　点评：

（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．

（2）与本题类似的其它变形还有：

　　用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．

　　例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）DD1和A1B1的位置关系如何？

　　　　D1B和AC的位置关系如何？

　　　　A1C和D1B的位置关系如何？

（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？

　　（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？

　　（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？

　　解析：

我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。

（1）异面直线；异面直线；相交直线；

（2）4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；

　　（3）6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；

　　（4）30对。

　　例4、已知：

如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD　，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．

　　求证：

△EFG∽△BCD．

　　证明：

∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝．

　　又在平面ACD中，FG∥CD，∴=．

　　∴=．

　　∴EG∥BD．

　　∴∠EFG=∠BCD．

　　同理∠FGE=∠CDB，

　　∴△EFG∽△BCD．

　　与本例类似变形还有：

　　已知：

将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结AD、BC．

　　求证：

ADBC，∠ADE＝∠BCF．（证明略）

　　三、练习：

　　1．下列图形中，满足的图形是（　）．

　　　　　　　　（A）　　　　　　　　　　　　　（B）

　　　　　　　　（C）　　　　　　　　　　　　　（D）

　　2．已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（　）．

　　（A）　　（B）

　　（C）　　　　（D）

　　3．用符号表示“若A、B是平面内的两点，C是直线AB上的点，则C必在内”，即是________________．

　　4．“a，b为异面直线”是指：

（1）且a不平行于b；

（2）且；

　　（3）且；

　　（4）；

　　（5）不存在平面，使且成立．

　　上述结论中，正确的是（　）．

　　（A）

（1）（4）（5）　　（B）

（1）（3）（4）

　　（C）

（2）（4）　　　　　（D）

（1）（5）

　　5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（　）．

　　（A）平行或异面　　（B）异面　　（C）相交　　（D）相交或异面

　　6．如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝__________．

　　7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。

　　四、练习答案：

　　1.提示:

根据平面的无限延展性及平面画法来判断．

　　答案:

（C）．

　　2.提示：

根据点与平面应用“”“”连接排除A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除B；再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上．

　　答案：

（C）．

　　3.提示:

熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、“”等符号．

　　答案:

.

　　4.提示：

根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除

（2）、（3）、（4）．（∵

（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a与b相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得

（1）也是正确的．

　　答案：

（D）．

　　5.提示：

由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证．

　　答案：

（D）．

　　6.提示：

重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD．

　　∴MNEF，EFBD．

　　∴MNBD　∴MN＝m．

　　答案：

m．

　　7.解析：

展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD），AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。