难点突破和易错警示
易错警示:
切忌仅靠目测就下结论,要充分运用已知条件去推理论证,能够证明的结论才是可靠的。
难点突破:
要充分运用正方形性质和三角形全等的判定与性质来解题。
方法总结:
解动态探究性问题,一定要抓住题目的本质条件,即在运动过程中,始终保持不变的条件,它们是基本因素,充分地用好这些条件和它们的结论,对于解动态探究性问题至关重要。
当然,也要关注运动过程,看看要探究的量在变化过程中,有哪些非本质性地变化,也许在第一问是“和”,到第二问就变成“差”了,也许不管怎么运动,结论始终是不变的;往往第二问的图形是关键,画准图形,弄清差别,是后续探究的前提。
经验告诉我们:
这类试题前一问对后一问总有启发作用,后一问的解题思路和方法与前一问比较,往往是类似的,所以,当我们对于第二问一筹莫展,出现“山穷水尽疑无路”时,请你回过头来再好好研究一下第一问,或许灵光一闪,眼前出现“柳暗花明又一村”的景象。
【中考典题回顾】
例1(2011江苏连云港第20题)两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?
为什么?
答案:
解:
不重叠的两部分△AOF与△DOC是全等的.
理由如下:
∵两三角形纸板完全相同,∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D,∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中,∵AF=DC,∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,∴△AOF≌△DOC(AAS).
例2(2011年浙江杭州二模)如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时∆PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变
化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
答案:
解:
(1)
不变。
又由条件得AP=BQ,∴
≌
(SAS)
∴
∴
(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t。
由于∠B=60o,不可能为直角,所以只分以下两种情况讨论:
①当
;②当
∴当第
秒或第2秒时,∆PBQ为直角三角形
(3)
不变。
∴
又由条件得BP=CQ,∴
≌
(SAS)
∴
又
∴
例3如图,四边形DEAF中,∠EAF=1200,AE=AF,DE=EF=DF。
现将一个600的锐角的顶点放在A处,绕点A作旋转运动,设AB交直线DE于点B,AC交直线DF于C点,连接BC。
(1)当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间有什么关系?
并说明理由;
(2)当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,试判断线段BE,CF,BC之间又有什么关系?
画图并说明理由;
解题思路:
本题是一道集图形变换、等腰三角形、三角形全等的判定与性质等知识于一身的一道综合探究题。
(1)题目问:
当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间有什么关系?
不认真去分析,还真回答不上来。
先从已知来分析,由∠EAF=1200,AE=AF,能得到什么?
至少是∠AEF=∠AFE=300,再由DE=EF=DF得到△DEF是等边三角形,所以∠DEF=∠DFE=600,又∠BAC=600,所以∠EAB+∠CAF=600,由前面条件还可以得到:
∠DEA=∠DFA=900,凭直觉观察图形,似乎并没有能够全等的三角形,即便是连接DA,倒有全等三角形,但似乎与所要解决的问题关系不大。
怎么办?
我们能不能尝试将线段BE,CF,BC测量一下?
看看量的关系会不会是一条线段是其他两条线段的和?
然后再想一想能不能通过作辅助线把它们联系起来?
比如,把一条线段转移到另一条线段上,再去证两条线段相等?
这就要我们进行深度思考。
由于∠DEA=∠DFA=900,虽然△AEB与△CFA不可能全等,但我们发现它们的共同处还真有:
∠DEA=∠DFA,AE=AF,并且它们的边BE,CF也是我们要探讨的对象。
既然有了一角一边相等,我们为何不顺着这个思路再去帮它们添加一个条件使其全等呢?
于是,延长CF到G点,使FG=EB,连接AG,看看能得到什么?
显然由“SAS”可证得△AEB≌△AFG,所以:
AB=AG,∠GAF=∠BAE,而∠EAB+∠CAF=600,所以∠GAF+∠CAF=600,即∠CAG=600=∠BAC。
又AC公用,所以△ABC≌△AGC(SAS),所以BC=GC,而GF=BE,∴BC=CF+FG=CF+BE。
终于找到了三者之间的关系。
(2)题目在
(1)的基础上进行了变式:
当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,线段BE,CF,BC之间又有什么关系?
先来画图,怎么思考?
往往这类题目思路都与第一问是相通的,虽然图形的有些位置发生了变化,但根本的条件是没有变的。
同样我们考虑构造两个三角形全等,即在FD上截取FH=EB,连接AH。
由于∠AFD=∠AEB=900,AF=AE,又作了FH=EB,所以△AFH≌△AEB(SAS),所以∠FAH=∠BAE,AH=AB,而∠EAC+∠CAH+∠HAF=1200,所以∠EAC+∠CAH+∠BAE=1200,即:
∠BAH=1200,而∠BAC=600,所以∠BAC=∠HAC=600,又AC公用,所以:
△ABC≌△AHC(SAS),所以BC=HC,又CF=CH+HF,已证:
HF=BE,所以CF=BC+BE。
或者说:
BC=CF-BE,也找出了三者之间的关系式。
答案:
(1)答:
当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间的关系是:
BC=CF+BE。
证明:
延长CF到G点,使FG=EB,连接AG。
∵DE=EF=DF,∴∠DEF=∠DFE=600,又∠EAF=1200,AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=300,∴∠DEA=∠DFA=900,∴∠DEA=∠GFA=900,又FG=EB,AE=AF,∴△AEB≌△AFG(SAS),∴AB=AG,∠GAF=∠BAE,而∠EAB+∠CAF=600,∴∠GAF+∠CAF=600,即∠CAG=600=∠BAC。
又AC公用,∴△ABC≌△AGC(SAS),∴BC=GC,而GF=BE,∴BC=CF+FG=CF+BE。
(2)答:
当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,线段BE,CF,BC之间的关系是:
BC=CF-BE。
如图。
证明:
在FD上截取FH=EB,连接AH。
由
(1):
∠AFD=∠AEB=900,AF=AE,又FH=EB,∴△AFH≌△AEB(SAS),∴∠FAH=∠BAE,AH=AB,而∠EAC+∠CAH+∠HAF=1200,∴∠EAC+∠CAH+∠BAE=1200,即:
∠BAH=1200,而∠BAC=600,∴∠BAC=∠HAC=600,又AC公用,∴△ABC≌△AHC(SAS),∴BC=HC,又CF=CH+HF,已证:
HF=BE,∴CF=BC+BE。
或者说:
BC=CF-BE。
要点提示:
例1“完全相同”就是全等。
由全等三角形的性质:
对应边相等,对应角相等,轻易就得到我们所需要的条件。
例2要充分运用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,要善于运用分类讨论的思想方法,要善于抓住动态问题中的本质因素,本题中始终要抓住运动过程中总是存在两个全等的三角形这个关键。
例3规律总结:
(1)利用三角形全等来探究线段相等或者角相等,是我们常用的方法。
构造三角形全等,也是创造性解决这类问题的一种途径,当然,并非任意两个三角形都去构造让它们全等,往往总要有一定的目的性,也要具备一定的条件,构造只是点睛之笔;
(2)要探讨图形中不在同一直线上的三条线段的关系,通常是要将它们转化到同一条直线上或者同一个三角形中,把和差问题变成相等问题,从而借助于三角形全等或等腰三角形的判定与性质来寻求答案;(3)解决运动变化问题,不论是点动,线动,还是角动,都要善于去抓住那些本质条件,动中取静,要能从运动中看到哪些位置关系或数量在变?
哪些位置关系或数量是不变的?
以便找到解题的突破口;对于在前一问的基础上作拓展或变式延伸的问题,要善于从第一问较简单的解题过程中去寻找灵感,它们往往总是有联系的,方法和思路总是相通的。