精品二元函数极限不存在的证明方法.docx

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精品二元函数极限不存在的证明方法

二元函数极限不存在的证明方法

摘要

函数是数学中最基本内容，极限方法是研究函数最主要的方法之一，在数学中的学习中,函数是最基本的内容，在研究函数的方法中,最常见的方法就是极限方法，不仅如此，极限的理论是后续更加轻松的学习微积分的基础，在高等数学中，我们也经常用到极限的法子解决，只是没有明确的被提出来这个概念。

证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。

二元函数是一元函数的推广，也是学习多元函数的基础。

与一元函数的极限相比较，我们这个写到的二元函数极限就要复杂的多，数学思想方法是数学解题方法高度的凝炼。

每个学数学的学生以及老师都要接触数学思想方法的学习，对于师范数学专业学生，数学思想方法更是一门必修课，这对于以后在教学中是有启发意义的.二元，顾名思义就是自变量为２的函数，一元函数的自变量是１,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及到立体。

从后面的定义中，我们发现，它远远没有一元函数那样简单，涉及到聚点，路径的选取。

它研究的平面上动点逼近与一个确定的点时，所对应函数值的变化趋势。

在我们现实生活中,与工程计算中,计算利润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。

例如:

我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。

为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.

关键词：

函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列

Abstract

Functionisthemostbasicmathematicalcontent,ultimatemethodistostudythefunctionofoneofthemostimportantways,limittheoryisthebasisofcalculus,limitmethodinhighermathematicsisthefocus,difficulties.Proofoffunctionlimitisdifficult,inthelearningofmathematics,wecanmeetawidevarietyoffunctions.Isaunaryfunctionbinaryfunctionofpromotion,isthebasisforlearningfunctionsofseveralvariables.Althoughthelimitofbinaryfunctionismorecomplexthanthelimitofafunction,butthismathematicalideasandmethodsaretheessenceofmathematicalknowledge,istheimportantparttwoofitformthebasisformathematicalknowledgeisstillbasedonthefunctionofonevariablelimits.Seekingthelimitofbinaryfunctionisactuallythelimitoffunctionofhospitalsseekingthismorecomplexmethodisextendedtothebinaryfunction.IIYuanfunctionoflimitishighmathematicsteachingintheisimportantofcontent,heavydifficulties,butinexistingoftextbookinthe,onitscalculationmethodnodetailedandfullofdescribeＤ．limitofthoughtinmanyfieldhaswidelyofapplication,twoYuanfunctionoflimitandaYuanfunctionoflimitmeaningsame,itresearchofisplaneShangmovingpointstrendaasentinelShi,correspondingoffunctionvalueofchangestrenＤ．paperinwithfieldlimitconceptofpositivedescribedanddenieddescribedofunifiedanalysisdefined,,goodseekingtwoYuanfunctionlimitmethod,Easytounderstanddescriptionofbinaryrelationsanddeepunderstandingoftheconceptoflimit.

Keywords：

limit;repeatedlimidoesnotexist;path;homogeneousfunctions;

TOC\o"１—３"\h\z\u引言５

１二元函数极限的基本理论６

１．１二元函数的极限６

１．１．１二元函数在有限点的极限７

１．１．２二元函数在无穷远点的极限８

１．２二元函数极限的性质８

２二元函数极限不存在证明方法１１

２．１路径法１１

２．２点列法１３

２．３累次极限法１５

２．４归结法１９

２．５定义法２０

２．６齐次法２２

总结２６

谢辞２７

参考文献２８

引言

我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值（如加速度,速度,动能,位置等）.在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。

这里通过对比二元函数极限和一元函数极限的定义，结合二元函数的海涅归结原则，根据函数f（x,y）自身特点，给出一些常见的判断方法:

累次极限法,定义法，点列法,特殊路径法,广义零次齐次函数法.文章加以一些典型例题对题目深层剖析，能更好的解决此类题目。

同时也可以增加数学直觉数学素养，以便于学习后面多元函数.

１二元函数极限的基本理论

在数学分析这门经典古老的分析里,肯定碰到各种各样的以实数为范围的数字。

在很大程度上,我们可以这样说，数学分析主要是要就函数的。

这章我们通过生活中的实例，引出二元函数概念，以及在无穷远点，某确定点的极限概念.最后给出类似于一元函数极限性质的二元函数对应的四则运算.

我们经常会遇到这样的实际问题:

俩个或俩个以上变量对应一个变量的关系类似于这样的情景.例如,一定量的某种理想气体的压强对体积与绝对温度有关系式,其中为常数;又如,长方体的体积,由它的长,宽和高确定:

[１０]

[１０]

１．１二元函数的定义

定义１．１设是中的一个点集,如果对于中的每一个点,按照某一确定的关系,都恰有一个数值和它对应,则说在上定义了一个元函数,记为

或,

这是,称做自变量,称做因变量,叫做函数的定义域.

习惯上,二元函数常记成，三元函数常记成

二元及以上的函数叫做多元函数,即不是一元函数的函数..

一般多元函数的定义域是有实际意义的自变量的集合.

１．１二元函数的极限

下来我们给出二元函数极限的概念,为后面多元函数极限做了铺垫.

设D是平面点集,是的聚点,在定义域上有函数.这时,不一定属于,函数在处不一定有定义.但是.既然是的聚点,那么在的任何领域内,就有的无穷多个点.现在研究函数的变化趋势.在点集上,当动点以任意方式无限趋于（但不过）时,当无限趋于一个确定的常数,就把叫做函数的极限,记作[１]

或.

如果聚点的坐标是,就可以把极限写成其它形式,例如

.

定义域在“无穷远点”时,也有极限概念.这类极限有

,，

,.

类似于一元函数的极限概念,二元函数的极限也有俩种等价的定义方式;点列语言和语言（以及语言）.

１．１．１二元函数在有限点的极限

设：

是平面点集,是的聚点,在定义域上,二元函数有定义,是某个确定的常数.

１．极限定义的点列语言

定义１．１对集合上每一个收敛于,但不过的点列,如果极限,就称常数是函数在点的极限.[１]

２．极限定义的语言

定义１．２如果对每个,存在,当且时,,就称是函数在点的极限.

注这俩种定义,是从不同的角度描述极限概念,可以证明它们是等价的.

１．１．２二元函数在无穷远点的极限

在给二元函数极限在无穷远点的极限时,我们可以模仿一元函数在无穷远点的定义:

等价于,当时,有

.[１０]

等价于,当时，有

等等

还是和我们学习过的一元函数极限函数一样,性质是:

二元函数如果极限存在,那么它的极限是惟一的.

二元函数在无穷远点的极限,可以通过”点列语言”来定义,也可以通过”语言”来定义,例如,对于极限

就可以用下面的“语言”来定义.

定义１．３假定是平面点集,在任意一个以原点为圆心的圆外,都有的无穷多个点.设函数在集合上有定义,是常数.如果对每个,存在和,当,,时,就成立,就称是函数在无穷远点的极限,记作.[１]

１．２二元函数极限的性质

不管是数列也好,一元函数也好.函数极限的四则运算同样适用于二元函数,具体的证明方法也与数列极限一样,我们不一一证明,只给出运算法则：

设D是平面点集,是的聚点,函数在上有定义.

性质１．１（唯一性）若,则.

性质１．２（有界性）若则存在点的某一去心领域,在其中函数是有界的，即存在常数,有.

性质１．３（保号性）若,（或）,则对任意满足（或的常数,都存在点的某一去心邻域,使在该邻域内有（或）.

性质１．４（有序性）若在点的某一去心邻域内,有,且,则.

性质１．５（函数极限的四则运算法则）二元函数极限四则运算公式成立,即如果函数和在点存在极限,设５

则

（１）;

（２）；

（３）.

这些定理的证明和数列极限对应定理的证明完全类似,故我们不去一一讨论.

例２．１求下列极限:

（１）;（２）;

解:

（１）根据上面给出的四则运算法则,我们得到以下等式:

=.

（２）因

又.

所以=０

２二元函数极限不存在证明方法

２．１路径法

通过二元函数极限的定义,我们总结出:

假设极限存在,那么当动点沿着任意点列或者曲线趋向于某定点时,函数有极限，极限值为.但是,反过来,若已知点沿若干条特殊的曲线（或点列）趋向于点时,二元函数虽然存在相同的极限,但由此并不足以说明二元函数在点一定存在极限.

定理２．１当动点沿一条特殊曲线趋于时,函数极限不存在,则在的极限不存在.[２]

定理２．２当动点分别沿不同的特殊曲线趋于时,函数极限存在但不相等，则在的极限不存在.[２]

例２．１证明极限不存在.[３]

证令,则时）,故当点沿轴趋于点时,:

若令,则

故当点沿抛物线趋于时,;由此可知不存在,证完.

注意,下面我们证明:

当点沿任何射线趋于原点时是固定的,它代表射线与的夹角;是变动的,就代表点沿射线趋于,必有.事实上，当时,有

.

若与轴重合（即,或,则,从而,因此,沿此趋于时,.假设与轴不重合,故,从而

.

由此可知,时,必有;即沿趋于时,.

这个例子说明二元函数的极限与一元函数的极限存在条件不同.一元函数,若左右极限相等,则极限必存在;但对于二元函数,即使沿任何射线极限都相等,一般的极限依然可能不存在.这个现象并不奇怪,因为在二元函数的极限定义表示点在平面上任何方式（不限于射线）趋向点时,都要趋向同一个数.

例２．２设,求极限,这里函数[１]

.

解:

（在不同的”路径”上,考虑函数的极限）.把函数变形为

（.

考虑俩个以原点为端点的路径

那么

.

由此可见,当趋于时,函数的极限不存在.

例２．３构造函数,使其满足:

（１）当沿任意射线时,;（２）在的两个累次极限存在且相等,但不存在.２

解设,则沿任何射线时,有

且.

但不存在（取沿）.

２．２点列法

定理２．３若存在点列,使的极限不存在,则不存在.[２]

定理２．４若存在点列,使.但与的极限都存在但不相等,则不存在.

例２．４证明函数在处二重极限不存在.[２]

证明取点列,其中,当时,,有.

取,其中,

当时,,有.

所以不存在.

例２．５设,求极限,这里函数[１]

.

解（在不同的点列上,考虑函数的极限）.对点列,有

.

对另一个点列,有

.

因此,有函数极限的点列语言,极限不存在.

例２．６求极限？

这里函数确定于全平面上,仅只点除外.[４]

解取俩个部分点序列

及,

显然都收敛于点,则对于一切的都有

及.

由此就可以推得,上述的极限并不存在.

类似的,还可以证明

并不存在.

２．３累次极限法

对函数,如果是函数定义域的聚点,就可以让点趋于,考虑的极限.这叫做的二重极限.

现在考虑更细致的问题,二元函数有俩个自变量.这俩个变量的变化形式是多种多样的,针对不同情形，我们可以引入不同类型的极限.

（１）趋于.

（２）固定变量,只让趋于.或者固定,只让趋于.

（３）先让趋于,后让趋于.或者颠倒过来,先让趋于,后让趋于.

针对第一种情形,前面已经引入了二重极限概念.

针对第二种情形,需要引入”偏极限”的概念.

针对第三种情形,需要引入”累次极限”的概念.

定义２．１偏极限概念

在点邻近,固定变量,让趋于.考虑的极限,这叫做”函数关于的偏极限”.

使得偏极限收敛的点叫做收敛点,否则叫做发散点.

设偏极限在邻近处收敛,那么极限值就与有关,于是就定义了变量的函数

.（１）

同样,函数关于变量也有偏极限的概念.如果这个极限在邻近处处收敛,那么极限值就与有关,因此定义了函数

.[２]

定义２．２累次极限概念

设函数关于的偏极限（１）存在,现在考虑偏极限的极限

称为”函数在点处先后的累次极限”.在这个定义中,如果涉及的俩个极限先后都存在,就称累次极限是存在的,否则就称累次极限不存在.

类似地,先后的累次极限是

.

对自变量变化的其他情形,都有类似的累次极限,例如

.

至此,在一点处,函数已经有三种极限概念:

一是二重极限,二是先后的累次极限,三是先后的累次极限.

不管是从概念上,从存在性上还是从数值上，这三种极限都有独立的身份.实际上,这里的情况及其复杂,许多情况都可能发生.例如,三种极限均可存在且相等,或者一个只存在而其余不存在,或者二重极限不存在但俩个累次极限都存在且相等.彻底搞清楚常见情况,是古典微积分的重点课题.

定理２．５若在的两个累次极限都存在且不相等,则在极限不存在.

例２．６证明在处二重极限不存在.

解由于,

而.

所以不存在.

例２．７讨论下列函数在处的二重极限与累次极限:

（１）；（２）;（３）.

解（１）因为,所以不存在.

（２）因为不存在,故俩个累次极限均不存在.但因为

.

所以.

（３）因为,

.

及当沿抛物线时,有

.

故不存在.

二次极限概念,实质上是把二元函数问题化为一元函数问题,且利用连续的求俩次一元函数的极限的方法.本质上它属于一元函数极限的范畴.因此,它给我们带来了计算上的很大方便.

２．４归结法

既然二元函数极限存在的实质是二重极限是否存在，那为什么还要引出累次极限呢？

这是因为,虽然计算二重极限并不能仅仅使用累次极限,这早已为大家所熟知,因此欲将二重极限的计算化为累次极限的计算,即有

.

但一般来说这是不行的,什么时候行呢？

有以下定理:

如果函数在点存在二重极限,即.而它的累次极限也存在且,则,即.

那么找到判断二元函数极限不存在的判断方法:

１．只要找到一种方式不存在.

２．有俩种方式使存在,但二者不相等.

下来给出先给出海涅归结原理,然后给出判断重极限不存在的完整定理

.

海涅归结原理:

=A的充要条件是:

对D的任一子集E,只要是E的聚点,就有=Ａ．

定理２．６设是聚点，若不存在,则也不存在.

定理２．７设是它们的聚点,若存在极限=和,但,则不存在.

定理２．８存在的充要条件:

对D的任一满足条件且的点列,它所对应的函数列都收敛.

此定理及其推论相当于数列的子列定理:

数列收敛的充要条件是；的任何子列都收敛.与一元函数极限的海涅归结原则:

（归结原则）设在上有定义.存在的充要条件是:

对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.

而且和一元函数极限的海涅归结原则证明方法相似.

下面这个例子是它们的应用.

例２．８二元函数

解分析题目,画出图形可以知道,当沿任何直线趋向原点时,相对的都趋向零,但不能说明此函数在时极限存在.因为当点沿抛物线趋向点时,将趋向１．故极限

不存在.

２．５定义法

在二元函数极限的讨论过程中,要证明在点任何方式下趋于时有同一极限是不可能的,一般都用定义来证,即证当时有成立,也可以利用坐标系的转换,将二元函数化为一元函数的极限来证.

设f为定义在DR２上的二元函数,P０为D的一个聚点.对于任意实数A,若存在一个正数,对任意的正数,使得存在一个,有,则在上当（即（x,y））时极限不存在.

利用这样的极限证明方法，它和一元函数证明类似:

即从分析差出发,找出使成立的条件,再根据这些分析,证明用定义写出的命题.

例２．８讨论当（x,y）时是否存在极限？

解若.设,,则=.

可见若取=,,取点,则

=

又对于任何a０,由于当y=０,x０时，=０．取.,取点，

综上所述，当时不存在极限。

例２．９设，且在附近有.证明:

.１１

解利用定义证明，由,则对,当时，有

又因为,则对,当,有

取,当时，就有

故有函数极限定义可知,on个.

如一元函数求极限一样,使用定义方法是比较麻烦的.因此,实际上求二元函数的极限时,往往可以应用我们所熟知的对一元函数求极限的方法,对此我们不再单独用例题指出,而在下述有关例题中应用罢了.

２．６齐次法

一般地说,如何寻找不存在的一种方式是比较困难的,通常情况下需要凭借经验去尝试.不过,对于有些特殊情况,我们可以找到一些规律,令将它归纳如下:

１为了判断不恒为常数的零次齐次函数的极限不存在.可选用直线去尝试.

[所谓为不恒为常数的零次齐次函数,是指满足

且（常数）][７]

例２．９求.

解零次齐次函数的定义域沿着直线趋于点时,有

.

其值随的不同而异,所以不存在.

２为了判别不恒为常数的广义零次齐次函数的极限不存在,可选曲线路径去尝试.

[所谓为不恒为常数的广义零次齐次函数,是指选择适当的使满足]

例２．１０求.

解对于函数,由于

.

所以为广义零次齐次函数.故可取曲线路径,当点沿曲线趋于点时,有

.

其结果随的不同而不异,所以不存在.

３为了判别函数的极限不存在,可选用定义域的边界曲线即曲线路径加上这条曲线路径去尝试。

即可选用曲线路径（其中而可适当选择）去尝试.

例２．１１

解函数d的定义域为,而

;

当存在时原极限就存在;当不存在时原极限就不存在,所以问题归结于求

令这是类型的函数,其定义域的边界线为,则可选取曲线路径（去尝试,有

显然,若取时,则有

.

由于的任意性可知不存在,从而说明了不存在.

４若是次齐次函数,当引入极坐标

。

时,因为,所以可选用适当的路径去尝试.

例２．１２求

解令,则

.

显然,半直线是定义域的边界线,当沿着半直线趋于极点时,有

而若取（心形线）时,有,

但,所以,不存在,从而

说明不存在.

总结

对于函数而言，它研究的的都是变量与某个对应的函数值之间的关系,随着变量个数的增加，研究的函数以及它的极限问题,性质都变的复杂.但是有一个问题,就拿二元函数来说,相比一元函数而言，根据二元函数极限的定义，我们得出来:

函数对自变量与的要求明显要高等多,也更加的复杂.如对,只要求在的左右极限存在并且相等,则函数在的极限就存在.我们讨论二元函数的极限:

.意思是必须要使得点以所有可能逼近的方式来向定点靠拢的时候,如果此存在极限,那么它都趋向于一个确定的值,逼近的方式包含了与联系,这样就为我们讨论此课题提供了方法和便捷.在二元函数极限定义中还存在因自变量变化而产生的二重极限与二次极限的区别,而这在一元函数极限定义中是没有的.

以上所有例子说明,由于复杂的高维空间几何,使多元函数极限的讨论要远远比一元函数困难的多。

多元函数必须是点在定义域内以任何方式或途径趋向于时,都有极限且极限都相等,才能保证存在.[１０]

证明函数极限不存在的方法很多,一般的方法是:

[９]

（１）在某种方式下点时,函数极限不存在.

（２）在俩种不同方式下点时,函数极限都存在,但不相等.

一般采用的趋向方式是:

点沿或,或,或趋向于

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