高考数学理科试题分类汇编导数.docx

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高考数学理科试题分类汇编导数

2012年高考数学理科试题分类汇编：

导数

2012年高考真题理科数学解析分类汇编3导数

一、选择题

1.【2012高考重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

（A）函数有极大值和极小值

（B）函数有极大值和极小值

（C）函数有极大值和极小值

（D）函数有极大值和极小值

【答案】D

【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.

2.【2012高考新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）

【答案】B

【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称

函数上的点到直线的距离为

设函数

由图象关于对称得：

最小值为,

3.【2012高考陕西理7】设函数，则（）

A.为的极大值点B.为的极小值点

C.为的极大值点D.为的极小值点学

【答案】D.

【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.

4.【2012高考辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是

（A）（B）

（C）（D）

【答案】C

【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.

【解析】法1：

验证A，当，故排除A；验证B，当，

，而，故排除B；

验证C，令，显然恒成立

所以当，，所以，为增函数，所以

，恒成立，故选C；验证D，令

，令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C.

法2：

设，则

所以所以当时，

同理即，故选C

【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【2012高考湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．B．

C．D．

【答案】B

考点分析：

本题考察利用定积分求面积.

【解析】根据图像可得：

，再由定积分的几何意义，可求得面积为.

6.【2012高考全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。

要是函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。

【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.

二、填空题

7.【2012高考浙江理16】定义：

曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：

y=x2+a到直线l:

y=x的距离等于曲线C2：

x2+（y+4）2=2到直线l:

y=x的距离，则实数a=_______。

【答案】

【解析】曲线C2：

x2+（y+4）2=2到直线l:

y=x的距离为，

曲线C1：

y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：

y=x2+a上的点为，点到到直线l:

y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。

8.【2012高考江西理11】计算定积分___________。

【答案】

【命题立意】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.

【解析】。

9.【2012高考山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.

【答案】

【解析】由已知得，所以，所以。

10.【2012高考广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为．

【答案】

【解析】，当时，，此时，故切线方程为，即。

11.【2012高考上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为。

【答案】

【解析】当，线段的方程为，当时。

线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

12.【2012高考陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为.

【答案】2．

【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.

三、解答题

13.【2012高考广东理21】（本小题满分14分）

设a＜1，集合，，。

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.

【解析】

（1）对于方程

判别式

因为，所以

①当时，，此时，所以；

②当时，，此时，所以；

当时，，设方程的两根为且，则

，

③当时，，，所以

此时，

④当时，，所以

此时，

（2），

所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数

①是极点

②是极点

得：

时，函数无极值点，时，函数极值点为，

时，函数极值点为与

14.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分）

设。

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

【解析】（I）设；则，

①当时，在上是增函数，

得：

当时，的最小值为。

②当时，，

当且仅当时，的最小值为。

（II），

由题意得：

。

15.【2012高考福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

解答：

（Ⅰ）

由题意得：

得：

函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）设；则过切点的切线方程为

令；则

切线与曲线只有一个公共点只有一个根

，且

（1）当时，

得：

当且仅当时，

由的任意性，不符合条件（lbylfx）

（2）当时，令

①当时，

当且仅当时，在上单调递增

只有一个根

②当时，

得：

，又

存在两个数使，

得：

又

存在使，与条件不符。

③当时，同理可证，与条件不符

从上得：

当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点

16.【2012高考全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

设函数f（x）=ax+cosx，x∈0，π].

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。

第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。

另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。

解：

。

（Ⅰ）因为，所以。

当时，，在上为单调递增函数；

当时，，在上为单调递减函数；

当时，由得，

由得或；

由得。

所以当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。

（Ⅱ）因为

当时，恒成立

当时，

令，则

又令，则

则当时，，故，单调递减

当时，，故，单调递增

所以在时有最小值，而

，

综上可知时，，故在区间单调递

所以

故所求的取值范围为。

另解：

由恒成立可得

令，则

当时，，当时，

又，所以，即

故当时，有（lbylfx）

①当时，，，所以

②当时，

综上可知故所求的取值范围为。

【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。

但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。

第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。

17.【2012高考北京理18】（本小题共13分）

已知函数，.

（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；

（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.

解：

（）由为公共切点可得：

，则，，

，则，，

①

又，，

，即，代入①式可得：

．

（2），设

则，令，解得：

，；

，，

原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

①若，即时，最大值为；

②若，即时，最大值为

③若时，即时，最大值为．

综上所述：

当时，最大值为；当时，最大值为．

18.【2012高考新课标理21】（本小题满分12分）

已知函数满足满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值.

【答案】

（1）

令得：

得：

在上单调递增

得：

的解析式为

且单调递增区间为，单调递减区间为

（2）得

①当时，在上单调递增

时，与矛盾

②当时，

得：

当时，

令；则

当时，

当时，的最大值为

19.【2012高考天津理20】本小题满分14分）

已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【答案】

（1）函数的定义域为

得：

时，

（2）设

则在上恒成立（*）

①当时，与（*）矛盾

②当时，符合（*）

得：

实数的最小值为

（3）由

（2）得：

对任意的值恒成立

取：

当时，得：

当时，

得：

。

【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.

20.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

【答案】解：

（1）由，得。

∵1和是函数的两个极值点，

∴，，解得。

（2）∵由

（1）得，，

∴，解得。

∵当时，；当时，，

∴是的极值点。

∵当或时，，∴不是的极值点。

∴的极值点是－2。

（3）令，则。

先讨论关于的方程根的情况：

当时，由

（2）可知，的两个不同的根为I和一2，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵，，

∴一2,－1，1，2都不是的根。

由

（1）知。

①当时，，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

②当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴在（1,2）内有唯一实根。

同理，在（一2，一I）内有唯一实根。

③当时，，于是是单调减两数。

又∵，，的图象不间断，

∴在（一1，1）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

（i）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点。

（11）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9个零点。

综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】

（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由

（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

（3）比较复杂