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1987考研数学真题答案
1987考研数学真题答案
【篇一：
历年考研数学一真题及答案（1987-2014）】
ss=txt>数学
（一）试卷
一、填空题（本题共6小题,每小题
4分,满分24分.把答案填在题中横线
上）
（1）曲线y?
lnx上与直线x?
y?
1垂直的切线方程为__________.
（2）已知f?
（ex
）?
xe?
x
且f
（1）?
0,则
f（x）=__________.
（3）设l为正向圆周x2?
y2?
2在第
一象限中的部分,则曲线积分
?
l
xdy?
2ydx的值为__________.
（4）
欧拉方程
x2
d2ydx
2
?
4xdydx?
2y?
0（x?
0）的通解为__________.
?
210?
（5）设矩阵a?
?
?
120?
矩阵满?
1?
b?
00?
?
足aba*?
2ba*?
e,其中a*为a的伴随矩阵,e是单位矩阵,则
b=__________.
（6）设随机变量x服从参数为?
的
指数分布,则p{x?
dx}=__________.
二、选择题（本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选
项前的字母填在题后的括号内）
（7）把x?
0?
时的无穷小量
?
?
?
x
cost2
x2
dt,?
?
?
0
tantdt,?
?
?
0
sint3dt,
使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
（a）?
?
?
（b）?
?
?
（c）?
?
?
（d）?
?
?
（8）设函数f（x）连续,且f?
（0）?
0,则存在?
?
0,使得
（a）f（x）在（0,?
）内单调增加（b）f（x）在（?
?
0）内单调减少
（c）对任意的x?
（0,?
）有f（x）?
f（0）（d）对任意的x?
（?
?
0）有f（x）?
f（0）（9）设?
?
an为正项级数,下列结论
n?
1中正确的是
（a）若?
lim
n?
?
nan=0,则级数?
an收敛n?
1
（b）若存在非零常数?
使得
?
limn?
?
nan?
?
则级数?
an
发散n?
1
（c）若级数
?
?
a
n
收敛,则
n?
1
limn?
?
n2an?
0
（d）若级数?
?
an发散,则存在非零
n?
1
常数?
使得lim
n?
?
nan?
?
（10）设
f（x）
为连续函
数,f（t）?
?
t
t
1dy?
yf（x）dx,则f?
（2）等于
（a）2f
（2）（b）f
（2）
（c）?
f
（2）
（d）0
（11）设a是3阶方阵,将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列
加到第3列得c,则满足aq?
c的可逆矩阵q为
?
010?
（a）?
?
100?
?
01?
?
1?
?
?
010?
（b）?
?
101?
?
?
?
001?
?
?
010?
（c）?
?
100?
?
011?
?
?
?
?
011?
（d）?
?
100?
?
001?
?
?
?
（12）设a,b为满足ab?
o的任意两
个非零矩阵,则必有
（a）a的列向量组线性相关,b的行向量组线性相关
（b）a的列向量组线性相关,b的列向量组线性相关
（c）a的行向量组线性相关,b的行向量组线性相关
（d）a的行向量组线性相关,b的
列向量组线性相关
（13）设随机变量x服从正态分布
n（0,1）,对给定的?
（0?
?
?
1）,数u?
满足
p{x?
u?
}?
?
若px?
x}?
?
则x等
于
（a）u?
2
（b）u
1?
?
2
（c）u1?
?
2
（d）u1?
?
（14）设随机变量x1,x2,?
xn（n?
1）独立同分布,且其方差为?
2?
0.令
y?
1n
n?
xi,则
i?
1
（a）
cov（x1,y）?
?
2
现有一质量为9000kg的飞机,着
n
（b）cov（x1,y）?
?
2
（c）d（xn?
21?
y）?
n
?
2
（d）d（x?
n?
11?
y）n
?
2
三、解答题（本题共9小题,满分94
分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
（15）（本题满分12分）
设
e?
a?
b?
e2,证明
ln2
b?
ln2
a?
4
e
2（b?
a）.
（16）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减
少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部
张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速
减速并停下.
陆时的水平速度为700km/h经测试,
减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为
k?
6.0?
106）.问从着陆点算起,飞机滑
行的最长距离是多少?
（注:
kg表示千克,km/h表示千米/
小时）
（17）（本题满分12分）
计
算曲面积分
i?
?
?
2x3dydz?
2y3dzdx?
3（z2?
1）dxdy,其中?
?
是曲面z?
1?
x2?
y2（z?
0）的上侧.
（18）（本题满分11分）
?
nx?
1?
0,其中n为正
整数.证明此方程存在惟一正实根xn,
并证明当?
?
1时,级数?
?
x?
n收敛.
n?
1
（19）（本题满分12分）设
z?
z（x,y）
是由
x2?
6xy?
10y2?
2yz?
z2?
18?
0确定的函数,求z?
z（x,y）的极值点和极值.
（20）（本题满分9分）
设有齐次线性方程组
?
?
（1?
a）x1?
x2?
?
?
xn?
0,?
?
2x1?
（2?
a）x2?
?
?
2xn?
0,（n?
2）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx1?
nx2?
?
?
（n?
a）xn?
0,
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
（21）（本题满分9分）
?
12?
3?
设矩阵a?
?
?
?
14?
3?
的特征方程?
a5?
?
1?
?
有一个二重根,求a的值,并讨论a是否可相似对角化.
（22）（本题满分9分）
设a,b为随机事件,且
p（a）?
14,p（b|a）?
11
3,p（a|b）?
2
令
x?
?
?
1,a发生,
?
0,a不发生;y?
?
?
1,b发生,
?
0,b不发生.求:
（1）二维随机变量（x,y）的概率分布.
（2）x和y的相关系数
?
xy.
（23）（本题满分9分）设总体x的分布函数为
?
f（x,?
）?
?
?
1?
1?
x?
1,
?
0x?
x?
1,
其中未知参数?
?
1,x1,x2,?
xn为来自总体x的简单随机样本,
求:
（1）?
的矩估计量.
（2）?
的最大似然估计量.
【篇二：
1987-2014历年考研数学一真题及答案】
士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把
答案填在题中横线上）
（1）当x=_____________时,函数y?
x?
2x取得极小值.
（2）由曲线y?
lnx与两直线y?
e?
1?
x及y?
0所围成的平面图形的面积是_____________.
1?
x
（3）与两直线y?
?
1?
t
z?
2?
t
及
x?
1y?
2z?
1
1?
1?
1
都平行且过原点的平面方程为
_____________.（4）设
l
为取正向的圆周x2?
y2?
9,则曲线积分
?
?
l
（2xy?
2y）dx?
（x
2
?
4x）dy=_____________.
（5）已知三维向量空间的基底为
坐标是_____________.
二、（本题满分8分）
求正的常数a与b,使等式lim1x2
x?
0bx?
sinx?
0
?
1成立.
三、（本题满分7分）
（1）设f、g为连续可微函数,u?
f（x,xy）,v?
g（x?
xy）,
求
?
u?
?
x,v?
x
.
（2）设矩阵
a
和
b
满足关系式
ab=a?
2b,
其中
?
301?
a?
?
?
110?
求矩阵b.
?
14?
?
0?
?
1
2
四、（本题满分8分）
求微分方程y?
?
?
?
6y?
?
?
（9?
a2）y?
?
1的通解,其中常数a?
0.
五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设lim
f（x）?
f（a）
x?
a
（x?
a）
2
?
?
1,则在x?
a处（a）f（x）的导数存在,且f?
（a）?
0（b）f（x）取
得极大值
（c）f（x）取得极小值（d）f（x）的导数不存在
（2）设sf（x）
为已知连续函数,i?
t?
t0
f（tx）dx,其中t?
0,s?
0,则i的值
（a）依赖于s和t（b）依赖于s、
t和x
（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t
（3）设常数?
k?
0,则级数?
（?
1）nk?
nn
2
n?
1（a）发散（b）绝对收敛
（c）条件收敛（d）散敛
性与k的取值有关
（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?
a?
0,而a*
是a的伴
随矩阵，则|a*|等于
（a）a（b）1a
（c）an?
1
（d）an
六、（本题满分10分）
2
3
求曲面积分
i?
?
?
x（8y?
1）dydz?
2（1?
y2）dzdx?
4yzdxdy,
?
求幂级数?
1n?
1的收敛域，并求其和函数.xn2n?
1n?
?
七、（本题满分10分）
?
?
z?
1?
y?
3
其中?
是由曲线f（x）?
?
绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?
.
2x?
0?
?
八、（本题满分10分）
设函数f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?
（x）?
1,证明在（0,1）内有且仅有一个x,使得f（x）?
x.
九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组
x1?
x2?
x3?
x4?
0x2?
2x3?
2x4?
1?
x2?
（a?
3）x3?
2x4?
b3x1?
2x2?
x3?
ax4?
?
1
3
4
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）
（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.
（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量x
的概率密度函数为f（x）?
十一、（本题满分6分）
设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为
fx（x）?
1
?
x
2
?
2x?
1
则x的数学期望为____________,x的方差为____________.
0?
x?
1其它
fy（y）?
y?
0,求z?
2x?
y的概率密度函数.
?
y
y?
0
4
5
5
【篇三：
（1987-2014）考研数学一真题及答案】
ass=txt>数学
（一）试卷
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）
（1）当x=_____________时,函数y?
x?
2x取得极小值.
（2）由曲线y?
lnx与两直线y?
e?
1?
x及y?
0所围成的平面图形的面积是_____________.
1?
x
（3）与两直线y?
?
1?
t
z?
2?
t
及
x?
1y?
2z?
1
1?
1?
1
都平行且过原点的平面方程为
_____________.（4）设
l
为取正向的圆周x2?
y2?
9,则曲线积分
?
?
l
（2xy?
2y）dx?
（x
2
?
4x）dy=_____________.
1
（5）已知三维向量空间的基底为
坐标是_____________.
二、（本题满分8分）
求正的常数与b,使等式lim1x2
ax?
0bx?
sinx?
0
?
1成立.
三、（本题满分7分）
（1）设f、g为连续可微函数,u?
f（x,xy）,v?
g（x?
xy）,
求
?
u?
x,?
v?
x
.
（2）设矩阵
a
和
b
满足关系式
ab=a?
2b,
其中
?
301?
a?
?
?
110?
求矩阵b.
?
14?
?
0?
?
四、（本题满分8分）
求微分方程y?
?
?
?
6y?
?
?
（9?
a2
）y?
?
1的通解,其中常数a?
0.
五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设lim
f（x）?
f（a）
x?
a
（x?
a）2
?
?
1,则在x?
a处
（a）f（x）的导数存在,且f?
（a）?
0（b）f（x）取
得极大值
（c）f（x）取得极小值（d）f（x）的导数不存在
（2）设sf（x）
为已知连续函数,i?
t?
t0
f（tx）dx,其中t?
0,s?
0,则i的值
（a）依赖于s和t（b）依赖于s、
t和x
（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t
2
（3）设常数?
k?
0,则级数?
（?
1）nk?
n2
n?
1
n
（a）发散（b）绝对收敛
（c）条件收敛（d）散敛性与k的取值有关
（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?
a?
0,而a*
是a的伴
随矩阵，则|a*|等于
（a）a（b）1a
（c）an?
1
（d）an
六、（本题满分10分）求幂级数?
?
1n?
1的收敛域，并求其和函数?
1n?
2nx
.n
七、（本题满分10分）求曲面积分
i?
?
?
x（8y?
1）dydz?
2（1?
y2）dzdx?
4yzdxdy,
?
?
?
z?
1?
y?
3
其中?
是由曲线f（x）?
?
绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?
.
2x?
0?
?
八、（本题满分10分）
设函数f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?
（x）?
1,证明在（0,1）内有且仅有一个x,使得f（x）?
x.
九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组
x1?
x2?
x3?
x4?
0x2?
2x3?
2x4?
1?
x2?
（a?
3）x3?
2x4?
b3x1?
2x2?
x3?
ax4?
?
1
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）
（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a
至多发生
3
一次的概率为____________.
（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量x
的概率密度函数为f（x）?
十一、（本题满分6分）
设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为
fx（x）?
1
?
x
2
?
2x?
1
则x的数学期望为____________,x的方差为____________.
0?
x?
1其它
fy（y）?
y?
0,求z?
2x?
y的概率密度函数.
?
y
y?
0
4
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学
（一）试卷
一、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）
（1）求幂级数?
?
（x?
3）n
n?
1
n3n
的收敛域.
（2）设f（x）?
ex2
f[?
（x）]?
1?
x且?
（x）?
0,求?
（x）及其定义域.
（3）设?
为曲面x2?
y2?
z2?
1的外侧,计算曲面积分
i?
?
?
?
x3dydz?
y3dzdx?
z3
dxdy.
?
二、填空题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上）
（1）若f（t）?
limx?
?
t（1?
1x
）2tx,则f?
（t）=_____________.
（2）设
3f（x）
连续且
?
x?
1
f（t）dt?
x,
则f（7）=_____________.
5
（3）设周期为2的周期函数,它在区间（?
1,1]f（x）?
2?
1?
x?
02
0?
x?
1
则的傅里叶x
（fourier）级数在x?
1处收敛于_____________.
4维列向量,且已知行列式a?
4,b?
1,则
行列式a?
b=_____________.
三、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设
f（x）可导且f?
（x0）?
1
2
则?
x?
0时,f（x）在x0处的微分dy是
（a）与?
x等价的无穷小（b）与?
x
同阶的无穷小
（c）比?
x低阶的无穷小（d）比?
x
高阶的无穷小
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