1987考研数学真题答案.docx

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1987考研数学真题答案

1987考研数学真题答案

【篇一:

历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】

ss=txt>数学

(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题

4分,满分24分.把答案填在题中横线

上)

(1)曲线y?

lnx上与直线x?

y?

1垂直的切线方程为__________.

(2)已知f?

(ex

)?

xe?

x

且f

(1)?

0,则

f(x)=__________.

(3)设l为正向圆周x2?

y2?

2在第

一象限中的部分,则曲线积分

?

l

xdy?

2ydx的值为__________.

(4)

欧拉方程

x2

d2ydx

2

?

4xdydx?

2y?

0(x?

0)的通解为__________.

?

210?

(5)设矩阵a?

?

?

120?

矩阵满?

1?

b?

00?

?

足aba*?

2ba*?

e,其中a*为a的伴随矩阵,e是单位矩阵,则

b=__________.

(6)设随机变量x服从参数为?

指数分布,则p{x?

dx}=__________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选

项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x?

0?

时的无穷小量

?

?

?

x

cost2

x2

dt,?

?

?

0

tantdt,?

?

?

0

sint3dt,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(a)?

?

?

(b)?

?

?

(c)?

?

?

(d)?

?

?

(8)设函数f(x)连续,且f?

(0)?

0,则存在?

?

0,使得

(a)f(x)在(0,?

)内单调增加(b)f(x)在(?

?

0)内单调减少

(c)对任意的x?

(0,?

)有f(x)?

f(0)(d)对任意的x?

(?

?

0)有f(x)?

f(0)(9)设?

?

an为正项级数,下列结论

n?

1中正确的是

(a)若?

lim

n?

?

nan=0,则级数?

an收敛n?

1

(b)若存在非零常数?

使得

?

limn?

?

nan?

?

则级数?

an

发散n?

1

(c)若级数

?

?

a

n

收敛,则

n?

1

limn?

?

n2an?

0

(d)若级数?

?

an发散,则存在非零

n?

1

常数?

使得lim

n?

?

nan?

?

(10)设

f(x)

为连续函

数,f(t)?

?

t

t

1dy?

yf(x)dx,则f?

(2)等于

(a)2f

(2)(b)f

(2)

(c)?

f

(2)

(d)0

(11)设a是3阶方阵,将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列

加到第3列得c,则满足aq?

c的可逆矩阵q为

?

010?

(a)?

?

100?

?

01?

?

1?

?

?

010?

(b)?

?

101?

?

?

?

001?

?

?

010?

(c)?

?

100?

?

011?

?

?

?

?

011?

(d)?

?

100?

?

001?

?

?

?

(12)设a,b为满足ab?

o的任意两

个非零矩阵,则必有

(a)a的列向量组线性相关,b的行向量组线性相关

(b)a的列向量组线性相关,b的列向量组线性相关

(c)a的行向量组线性相关,b的行向量组线性相关

(d)a的行向量组线性相关,b的

列向量组线性相关

(13)设随机变量x服从正态分布

n(0,1),对给定的?

(0?

?

?

1),数u?

满足

p{x?

u?

}?

?

若px?

x}?

?

则x等

(a)u?

2

(b)u

1?

?

2

(c)u1?

?

2

(d)u1?

?

(14)设随机变量x1,x2,?

xn(n?

1)独立同分布,且其方差为?

2?

0.令

y?

1n

n?

xi,则

i?

1

(a)

cov(x1,y)?

?

2

现有一质量为9000kg的飞机,着

n

(b)cov(x1,y)?

?

2

(c)d(xn?

21?

y)?

n

?

2

(d)d(x?

n?

11?

y)n

?

2

三、解答题(本题共9小题,满分94

分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

(15)(本题满分12分)

e?

a?

b?

e2,证明

ln2

b?

ln2

a?

4

e

2(b?

a).

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减

少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部

张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速

减速并停下.

陆时的水平速度为700km/h经测试,

减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

k?

6.0?

106).问从着陆点算起,飞机滑

行的最长距离是多少?

(注:

kg表示千克,km/h表示千米/

小时)

(17)(本题满分12分)

算曲面积分

i?

?

?

2x3dydz?

2y3dzdx?

3(z2?

1)dxdy,其中?

?

是曲面z?

1?

x2?

y2(z?

0)的上侧.

(18)(本题满分11分)

?

nx?

1?

0,其中n为正

整数.证明此方程存在惟一正实根xn,

并证明当?

?

1时,级数?

?

x?

n收敛.

n?

1

(19)(本题满分12分)设

z?

z(x,y)

是由

x2?

6xy?

10y2?

2yz?

z2?

18?

0确定的函数,求z?

z(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

?

?

(1?

a)x1?

x2?

?

?

xn?

0,?

?

2x1?

(2?

a)x2?

?

?

2xn?

0,(n?

2),

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nx1?

nx2?

?

?

(n?

a)xn?

0,

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

?

12?

3?

设矩阵a?

?

?

?

14?

3?

的特征方程?

a5?

?

1?

?

有一个二重根,求a的值,并讨论a是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

设a,b为随机事件,且

p(a)?

14,p(b|a)?

11

3,p(a|b)?

2

x?

?

?

1,a发生,

?

0,a不发生;y?

?

?

1,b发生,

?

0,b不发生.求:

(1)二维随机变量(x,y)的概率分布.

(2)x和y的相关系数

?

xy.

(23)(本题满分9分)设总体x的分布函数为

?

f(x,?

)?

?

?

1?

1?

x?

1,

?

0x?

x?

1,

其中未知参数?

?

1,x1,x2,?

xn为来自总体x的简单随机样本,

求:

(1)?

的矩估计量.

(2)?

的最大似然估计量.

【篇二:

1987-2014历年考研数学一真题及答案】

士研究生入学统一考试

数学

(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把

答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?

x?

2x取得极小值.

(2)由曲线y?

lnx与两直线y?

e?

1?

x及y?

0所围成的平面图形的面积是_____________.

1?

x

(3)与两直线y?

?

1?

t

z?

2?

t

x?

1y?

2z?

1

1?

1?

1

都平行且过原点的平面方程为

_____________.(4)设

l

为取正向的圆周x2?

y2?

9,则曲线积分

?

?

l

(2xy?

2y)dx?

(x

2

?

4x)dy=_____________.

(5)已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim1x2

x?

0bx?

sinx?

0

?

1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?

f(x,xy),v?

g(x?

xy),

?

u?

?

x,v?

x

.

(2)设矩阵

a

b

满足关系式

ab=a?

2b,

其中

?

301?

a?

?

?

110?

求矩阵b.

?

14?

?

0?

?

1

2

四、(本题满分8分)

求微分方程y?

?

?

?

6y?

?

?

(9?

a2)y?

?

1的通解,其中常数a?

0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设lim

f(x)?

f(a)

x?

a

(x?

a)

2

?

?

1,则在x?

a处(a)f(x)的导数存在,且f?

(a)?

0(b)f(x)取

得极大值

(c)f(x)取得极小值(d)f(x)的导数不存在

(2)设sf(x)

为已知连续函数,i?

t?

t0

f(tx)dx,其中t?

0,s?

0,则i的值

(a)依赖于s和t(b)依赖于s、

t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s(d)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数?

k?

0,则级数?

(?

1)nk?

nn

2

n?

1(a)发散(b)绝对收敛

(c)条件收敛(d)散敛

性与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵,且a的行列式|a|?

a?

0,而a*

是a的伴

随矩阵,则|a*|等于

(a)a(b)1a

(c)an?

1

(d)an

六、(本题满分10分)

2

3

求曲面积分

i?

?

?

x(8y?

1)dydz?

2(1?

y2)dzdx?

4yzdxdy,

?

求幂级数?

1n?

1的收敛域,并求其和函数.xn2n?

1n?

?

七、(本题满分10分)

?

?

z?

1?

y?

3

其中?

是由曲线f(x)?

?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?

.

2x?

0?

?

八、(本题满分10分)

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?

(x)?

1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?

x.

九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组

x1?

x2?

x3?

x4?

0x2?

2x3?

2x4?

1?

x2?

(a?

3)x3?

2x4?

b3x1?

2x2?

x3?

ax4?

?

1

3

4

有唯一解,无解,有无穷多解?

并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量x

的概率密度函数为f(x)?

十一、(本题满分6分)

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx(x)?

1

?

x

2

?

2x?

1

则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

0?

x?

1其它

fy(y)?

y?

0,求z?

2x?

y的概率密度函数.

?

y

y?

0

4

5

5

【篇三:

(1987-2014)考研数学一真题及答案】

ass=txt>数学

(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?

x?

2x取得极小值.

(2)由曲线y?

lnx与两直线y?

e?

1?

x及y?

0所围成的平面图形的面积是_____________.

1?

x

(3)与两直线y?

?

1?

t

z?

2?

t

x?

1y?

2z?

1

1?

1?

1

都平行且过原点的平面方程为

_____________.(4)设

l

为取正向的圆周x2?

y2?

9,则曲线积分

?

?

l

(2xy?

2y)dx?

(x

2

?

4x)dy=_____________.

1

(5)已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数与b,使等式lim1x2

ax?

0bx?

sinx?

0

?

1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?

f(x,xy),v?

g(x?

xy),

?

u?

x,?

v?

x

.

(2)设矩阵

a

b

满足关系式

ab=a?

2b,

其中

?

301?

a?

?

?

110?

求矩阵b.

?

14?

?

0?

?

四、(本题满分8分)

求微分方程y?

?

?

?

6y?

?

?

(9?

a2

)y?

?

1的通解,其中常数a?

0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设lim

f(x)?

f(a)

x?

a

(x?

a)2

?

?

1,则在x?

a处

(a)f(x)的导数存在,且f?

(a)?

0(b)f(x)取

得极大值

(c)f(x)取得极小值(d)f(x)的导数不存在

(2)设sf(x)

为已知连续函数,i?

t?

t0

f(tx)dx,其中t?

0,s?

0,则i的值

(a)依赖于s和t(b)依赖于s、

t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s(d)依赖于s,不依赖于t

2

(3)设常数?

k?

0,则级数?

(?

1)nk?

n2

n?

1

n

(a)发散(b)绝对收敛

(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵,且a的行列式|a|?

a?

0,而a*

是a的伴

随矩阵,则|a*|等于

(a)a(b)1a

(c)an?

1

(d)an

六、(本题满分10分)求幂级数?

?

1n?

1的收敛域,并求其和函数?

1n?

2nx

.n

七、(本题满分10分)求曲面积分

i?

?

?

x(8y?

1)dydz?

2(1?

y2)dzdx?

4yzdxdy,

?

?

?

z?

1?

y?

3

其中?

是由曲线f(x)?

?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?

.

2x?

0?

?

八、(本题满分10分)

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?

(x)?

1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?

x.

九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组

x1?

x2?

x3?

x4?

0x2?

2x3?

2x4?

1?

x2?

(a?

3)x3?

2x4?

b3x1?

2x2?

x3?

ax4?

?

1

有唯一解,无解,有无穷多解?

并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a

至多发生

3

一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量x

的概率密度函数为f(x)?

十一、(本题满分6分)

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx(x)?

1

?

x

2

?

2x?

1

则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

0?

x?

1其它

fy(y)?

y?

0,求z?

2x?

y的概率密度函数.

?

y

y?

0

4

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学

(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求幂级数?

?

(x?

3)n

n?

1

n3n

的收敛域.

(2)设f(x)?

ex2

f[?

(x)]?

1?

x且?

(x)?

0,求?

(x)及其定义域.

(3)设?

为曲面x2?

y2?

z2?

1的外侧,计算曲面积分

i?

?

?

?

x3dydz?

y3dzdx?

z3

dxdy.

?

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若f(t)?

limx?

?

t(1?

1x

)2tx,则f?

(t)=_____________.

(2)设

3f(x)

连续且

?

x?

1

f(t)dt?

x,

则f(7)=_____________.

5

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?

1,1]f(x)?

2?

1?

x?

02

0?

x?

1

则的傅里叶x

(fourier)级数在x?

1处收敛于_____________.

4维列向量,且已知行列式a?

4,b?

1,则

行列式a?

b=_____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

f(x)可导且f?

(x0)?

1

2

则?

x?

0时,f(x)在x0处的微分dy是

(a)与?

x等价的无穷小(b)与?

x

同阶的无穷小

(c)比?

x低阶的无穷小(d)比?

x

高阶的无穷小

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