初等几何研究题答案1李长明版.docx

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初等几何研究题答案1李长明版

初等几何研究试题答案（I）

一、线段与角的相等

1.⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,

求证:

（1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;

（2）若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.

证明:

（1）连接AC、AE、AF、AD

在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF

在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD

由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2

由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4

所以△ACE≌△AFD

∴DF=CE

（2）由

（1）得∠1=∠2,∠3=∠4

∵DF=CE

∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE

在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA

2.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=

BD,

求证:

BD平分∠ABC.

证明:

延长AE,BC交于点F

3.已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3

BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2

求证:

∠BAC=∠CAD=∠DAE.

证明:

连接BD,得ΔCBD是等腰三角形

且底角是∠CDB=[180º－（180º－2

）]÷2=

.

∴∠BDE=（180°－2

）-

=180º－3

∴A、B、D、E共圆

同理A、C、D、E共圆

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE

4.设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.

求证:

∠BAC=60º

C

证明:

过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD

∵∠DBC=90º,∴CD是直径,则∠CAD=90º

由题,可得AH⊥BC,BH⊥AC

∴BD∥AH,AD∥BH∴四边形ADBH是□

∴AH=BD

又∵AH等于外接圆的半径（R）∴BD=R,而CD=2R

∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º

∴∠BDC=60º

又∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60º

5.在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.

证明:

如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB=GO,

∵∠5=∠4=∠6,∴CO=CE,

∵FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,

又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,

∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.

6.在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:

△ABC等腰.

证:

如图所示

设AC、ED的交点为F

∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2

∵DE∥AB∴∠1=∠3

∵CE∥AD∴∠3=∠5,∠4=∠2

∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5

则△FAD和△FCE是等腰三角形

∴AF=DF,EF=CF

∴AC=DE

同理可证BC=DE

∴AC=BC

∴△ABC是等腰三角形

7.三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.

求证:

△ABC是正三角形．

证明:

∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等

∴S△OFB=S△OEC

即:

BF×r+

FO×r+

BO×r=

CE×r+

OE×r+

OC×r

（BF+FO+BO）×r=

（CE+OE+OC）×r

∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC

∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ

∴2DH+2BH=2FK+2CK

∴2BF=2CE

又F、E分别为AB、AC之中点

∴AB=AC

同理:

AB=BC

故△ABC是正三角形.

8.平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等

证明:

该四边形为菱形.

证明:

又∵△AOB、△BOC、△COD、△DOA四个三角形的面积相等

∴四边形为菱形

9.凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:

该四边形是菱形.

证明:

连结O1、O2,分别作O1、O2到AC的垂线,垂足分别为P、M

∵在△ABC中,BO是☉O1、☉O2的公切线

∴BO⊥O1O2

又∵☉O1、☉O2半径相同,且都与AC相切

∴O1O2‖AC

∴BO⊥ACBD⊥AC

∵两个相等的内切圆☉O1、☉O3在对顶三角形

△AOB与△COD中

∴周长C△AOB=C△COD

∴AO+BO+AB=CO+DO+CD

又∵OP=OQ=OM=ON

∴（AO+BO+AB）-（OP+OQ）=（CO+DO+CD）-（OM+ON）

∴2AB=2CD

∴AB=CD

同理AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AC⊥BD

∴四边形ABCD是菱形

10.在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C作CG⊥DE于G,证明:

EF=DG.

证明:

设O,M分别是BC,FG的中点,

所以OM∥BF,

因为BF⊥FG,所以OM⊥FG,

又因为∠BEC=∠BDC=

所以BCDE四点在以BC为

直径的圆上,

因为OM⊥DE,

所以OM平分ED,

所以FM-EM=MG-MD

即EF=DG.

11.△ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.

求证:

直线IM平分线段AK.

证明:

作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）

连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:

IL⊥BC,即K,I,L共线

于是原题借中位线可如下转化MI平分AK,

∴M平分DK

∴BD=KC

后者利用圆I与圆O两条外公切线相等

∴EG=FH

∴BD+BK=CD+CK

则反推过去,得到IM平分线段AK.

12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,AH⊥BC于H,AH交MI于E,求证:

AE与内切圆半径相等.

证明:

如图所示

作△ABC的内切圆,

∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC

∴KL是直径,

又∵M为BC的中点,I为内心,则AL∥ＭＩ

　　　又∵AH⊥BC

∴AH∥LK

又∵点E点I分别都在AH、LK上

∴AE∥LI

∴四边形AEIL为平行四边形

∴AE＝LI

命题得证.

13.在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:

∠QNM＝∠MNP

证明:

利用矩形的中心

设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,

延长QN交OC的延长线于R,如图,则O又是PR的

中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG.

∴NM平分∠PNQ

14.给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:

OK=KB.

证明:

如图所示,过C作圆的切线交OB延长线于D.

∵OD,OA,CD都是圆的切线,且AC∥CD

∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D

∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK∴∠BOC=∠OAK

∵∠DOA=∠D∴△AOK～△ODC

∵

∴

∵

OA=OB∴OB=OA=2KO,即OK=KB

15.在等腰直角∆ABC的两直角边CA,CB上取点D、E使CD=CE,从C、D引AE得垂线,并延长它们分别交AB于K、L,求证:

KL=KB.

证明:

延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.

∵∆ABC是等腰直角三角形

∴AC=BC,∠ACB=∠BCE'=90°

又∵CE=CE'∴∆BCE'≌∆ACE

∴∠CAE=∠CBE'

∵∠AEC=∠BEH∴∆BHE∽∆ACE

∴∠BHE=∠ACB=90°

∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'

∴KL=LB.

16.点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:

若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.

证:

作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC

∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC

∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM

∴DN=CM、AN=BC

∴△ADN≌△BMC

∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7

∵∠1=∠2

∴∠3=∠4

∴A、C、N、D共圆（视角相等）

∴∠5=∠7（同弧AD）

∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM

17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-

∠BDC,求证:

△ABC是等腰的.

证明:

延长CD使得BD＝DE,并连结AE

∵∠ADB＝90°－

∠BDC

∴2∠ADB＋∠BDC＝180°

又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°

∴∠ADB＝∠ADE

又∵BD＝DE,AD＝AD

∴△ADB≌△ADE

∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE

又∵∠ACD＝60°

∴△ACE为正三角形

∴AC＝AE

∴AB＝AC

∴△ABC为等腰三角形

18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平行四边形`过的二顶A、B,⊙O2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另一交点,求证△AMD的外接圆半径也是r.

证明:

设O为MB的终点

连接CO并延长⊙O1于E

则由对称知O为CE的中点

∵O平分MB

O平分CE

∴MEBC是平行四边形∴

∴ME∥BC∥AD

∴MEAD亦是平行四边形

∴△MAE≌△AMD

∴△AMD的外接圆半径也为r

19.在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,

求证:

∠BAC=∠DAE.

证明:

连接BD,CE,设它们相交于F,如图,

∵∠AEC=∠ADB.

∴A,E,D,F四点共圆.

∴∠DAE=∠DFE.

又∠ABC=∠ADE=∠AFE.

∴A,B,C,F四点共圆.

∴∠BAC=∠BFC.

又∠DFE=∠BFC.

∴∠BAC=∠DAE.

20.在锐角△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D为垂足）,求证:

BD平分∠MDN.

证明:

如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC于M’,作NN’⊥AC于N’,则有

∵∠N＝∠B＝∠NCN’

∴△MAM’∽△NCN’

∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n

又∵MM’∥BD∥NN’

∴M’D/DN’=MB/BN=m/n

由等比性质知

m/n=（M’D－AM’）/（DN’-CN’）=AD/DC

∴△ADM∽△CDN

∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n

∴BD平分∠MDN

21.已知:

AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:

DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线.

证明:

连结DF、FE、DE

∵CF⊥ABAD⊥BC

∴B、D、H、F共圆

∴∠1＝∠3

∵AD⊥BCBE⊥AC

∴B、D、E、A共圆

∴∠2=∠3

∴∠2=∠1

∴AD平分∠EDF

同理,CF平分∠EFD

BE平分∠FED

即证:

DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线

22.已知AD是△ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交AC、AB于E、F,证DA平分∠EDF.

证:

过E、F两点分别作EH、FG,使EH⊥BC,FG⊥BC,且交CF、BE于I、J

∵EH⊥BC,AD⊥BC,FG⊥BC

∴EH∥AD∥FG

∴

=

=

∴

又∵

∴△EIP∽△JFP

∴

∴△EHD∽FGD

∴∠DFJ=∠DEI∴∠FDB=∠EDC

即∠ADF=∠ADE

即DA平分∠EDF

23.圆内三条弦PP1、QQ1、RR1、两两相交,PP1与QQ1交于B,QQ1与RR1交于C,RR1与PP1交于A,已知:

AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求证:

ABC是正三角形.

解:

设AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,

则由相交弦定理得｛m（c+n）=n（b+m）

m（a+n）=n（c+m）

m（b+n）=n（a+m）

即ma=nc

mb=na

mc=nb

三式相加得m=n

所以a=b=c即△ABC是正三角形

24.H为

ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:

CP=CQ=AR=AS=BT=BU

A

证明:

连结AS、AR、RH

由相交弦定理知:

AH·HA`=BH·HB`=CH·HC`

AS2=AR2=AK2+KR2

设

H的半径为r,

在

KRH中,KR2=r2-HK2

AS2=r2+（AK+KH）·（AK-HK）

=r2+AH·（AK-HK）

在

ABC中,F、E为AB、AC的中点,且AA

`BC

AK=KA`

AS2=AR2=r2+AH·HA`

同理:

BT2=BU2=r2+BH·HB`

CP2=CQ2=r2+CH·HC`

25、在锐角三角形ABC中,AD、BE、CF是各边上的高,P、Q分别在线段DF、EF上,且∠PAQ与∠DAC同向相等.

求证:

AP平分∠FPQ

证明:

作出△APQ的外接圆,延长PF交圆于R,分别连结RA、RQ

由图可知,AQPR内接于圆

∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=

∠DFE

由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE

∴FC∥RQ

∴AF⊥RQFR=FQ

∴AF垂直平分RQ

∴∠ARQ=∠AQR

又AQPR内接于圆

∴∠APQ=∠ARQ∠APR=∠AQR

∴∠APQ=∠APR

∴AP平分∠FPQ

27．已知:

凹四边形ABCD中,

.求证:

AC=BD.

证明:

如图,延长DC交AB于点E,延长BC交AD于点F.

∵

且

又