自动控制原理闭环零点对二阶系统的暂态影响分析报告.docx

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自动控制原理闭环零点对二阶系统的暂态影响分析报告

闭环零点对二阶系统暂态的影响

作者：

智世宁班级：

10电本2班学号：

4100208211

摘要

二阶系统的单位阶跃响应是典型的二阶系统。

因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。

在实际工作中，在一定

的条件下，常常需要把一个高阶系统降为二阶系统来处理，这样的近似处理可以大大简化分析方法，减少计算量，而且任然不失其运动过程的基本性质。

二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比E取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼的情况。

大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。

本论文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。

通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间等暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。

关键字：

暂态响应动态指标单位阶跃二阶系统欠阻尼闭环零点

0引言

由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。

欠阻尼振荡的二阶系统在实际

中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。

二阶系统的单位

阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。

我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。

因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。

正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。

1二阶系统的描述

一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项的幕决定的。

而二阶系统就是以2为S的最高次幕的闭环传递函数所对应的系统典型。

简单来说，由二阶微分方程所描述的系统就叫做二阶系统。

1.1二阶系统结构图及传递函数

图1.1-1二阶系统标准形式的结构图

由图可知：

二阶系统的开环传递函数为:

ss2n

二阶系统的闭环传递函数为:

1.2二阶系统单位阶跃响应

1

当输入单位阶跃信号时

Xrs=丄，可得该二阶系统的单位阶跃响应

s

为：

Xcs=Xr（s）wB（S）=2

s's2

求其拉氏反变换有

1.3二阶系统极点分布图

1.4二阶系统动态特性1.4.1上升时间tr（系统输出量第一次达到稳态值时所用的时间）

令①中t=tr时Xct=1

e」ntr

在系统没有达到最后的稳定以前，为满足上式，使sin（，dt^=0

1.4.2峰值时间tm（系统输出量第一次达到最大值时所用的时间）

令①中dx」二0则第一个峰值对应的时间

dt

的动态过程时间）

（0：

：

：

：

：

0.9）

2具有零点的二阶系统的动态分析

2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数

2

Xr（s）Wn（S+Z）Xc（s）

22

Z（s+2EWnS+Wn）

图2.1-1带零点的二阶系统结构图

具有零点的二阶系统的闭环传递函数为:

其中T为时间常数

1

令-=Z,则上式可写为如下形式：

T

2

Xc（s）Wn（sz）

—22

Xr（s）Z（s2EWnSWn）

2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应

反变换为

1dxc1（t）

Xc（t"^Xc1（S）「[Xc1（S）Z⑴-dt

求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得

上述式子中的“I”为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设

零点在极点左侧）

由上图可知:

1=z-pi|=注EWn）2+（WnZ）2屮=COS^W^T^=SiM

故式子⑧可以写成：

eEWnt|

Xc（t）=1

f—sin（Ji-『Wnt+©+0.1-E2z

式子中:

"rctan虬虫

Z-EWn

]=z2-2zEWnW；

令r二血，则上式中的丄可以写为

zz

U2-2rE2r2

z

r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比

因此式子⑨可以写为:

：

2_2rF2.

Xc（t）“-^^—-e上Wntsin（J—E2Wnt■9^）（t_0）⑩

队1-『

由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公

式⑩。

3具有零点的二阶系统的动态性能指标

由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式:

Xc（t）=1————2「三2十「e上Wntsin（韵一『Wnt+9+©）tX0

Hi-e

3.1上升时间tr

在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间tr。

根据定义

在公式⑩中令t=tr时，xc（t）=1，得

-—2：

E*reEWntsin（（1_E2Wnt+9+©）=0

上式为零的原因是sin（：

1-E2wnt■9^）=0,因此讨论sin（1-E2wnt-9-©）=0

所出现的情况。

由sin（、1-E2Wnt9©）=0得：

1-E2Wnt'9'©=n

t_n_9-©*1-E2Wn

3.2最大超调量%

最大超调量发生在第一周期中t=tm时刻，即导数为0的时刻。

得tan（■12wnt-0）:

1_E2

因此

、1一Ewnt0©=arctannn二nn0

E

即•、1一严Wntm•©二nn

因为第一次达到最大值经过时间，因此n取值为1,当n=1时，

由于：

％=学100%且在单位阶跃输入下，稳定值Xc：

：

=1

Xc（°°）

因此得

_（二-•:

」）

「％二e仁2100%

3.3调节时间ts

调节时间ts是xc（t）与稳态值xc（：

：

）之间的偏差达到允许的范围而不再超出的

动态过程时间。

在动态过程中的偏差为

当3=0.05或0.02时采用近似计算法得到:

eEwnt

2宀0.05（或0.02）

1-E2

由此求得调节时间为:

ts（5%）—,0

EWn

4

ts（2%）,0

EWn

3.4振荡次数卩

振荡次数是指在调节时间ts内，Xc（t）波动的次数。

根据这一定义可得振荡次

数为：

ts

其中tf=J5为阻尼振荡的周期时间。

V'1-E2Wn

4闭环零点的不同对二阶系统动态指标的影响

4.1对上升时间tr的影响

上升时间tr

冗

tr_2

*'1-EWn

由上式可以看出上升时间tr受到Wn,E,的影响，当Wn,E,6一定

的时候，上升时间tr只与©有关。

由图2,图3,图4可以看出随着z值的减小，零点越来越靠近虚轴，©值逐渐

增大，由「=n^©可得tr逐渐减小。

4.2对最大超调量...%影响

超调量

由式解子可以看出，tm的值随©的值增大而减小，结合图3.1-1，图3.1-2,图2,图3,图4得到结论：

z值逐渐减小，©值逐渐增大，tm逐渐减小，超

调量逐渐增大。

4.3对调节时间ts的影响

调节时间

ts（5%）—，0

EWn

4

ts（2%）,0

EWn

由上面的两个式子可以看出，具有零点的二阶系统的调节时间只与E和Wn有

关，与Z的大小无关。

4.4振荡次数卩

ts

[1

其中tf=一为阻尼振荡的周期时间

<1-E2Wn

由上述公式可以看出，振荡次数卩只与与阻尼E和振荡角频率Wn有关，因此

振荡次数不受零点的位置影响，即与零点的大小无关

5闭环零点的不同对二阶系统暂态响应的影响

具有零点的二阶系统传递函数：

2

Wn（SZ）

~~22

S2EWnSWn

F面是在极点位置不同

（B值不同）的情况下随着闭环零点不断向负无穷移动过程中对系统

的暂停态响应的图形

当上-0.5,Wn=5，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图

当=0.5,wn=5,z=2的二阶系统的阶跃响应曲线图

当F：

-0.5,Wn=5,z=4的二阶系统的阶跃响应曲线图

当.=1.25,Wn=2，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图

当•=1.25,Wn=2,z=4的二阶系统的阶跃响应曲线图

当=1.25,Wn=2,z=10的二阶系统的阶跃响应曲线图

6总结

通过上述分析可以看出，有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统

有很大的差别。

无零点的上升时间ts只与阻尼E和振荡角频率Wn有关，而在具有零点的二阶

系统中，上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。

由r二匚叫可知，r值越大，振荡性就越强。

z

最大超调量C%也与零点的位置有关，z值越小，©值越大，影响tm的值变小＜

3

调节时间ts（5%）、—只与阻尼E和振荡角频率Wn有关，所以不受零点位置

EWn

的影响，同样，振荡次数也不受其影响。

参考文献：

【1】王建辉，顾树生.自动控制原理.[M].北京.清华大学出版社.2007

【2】吴麒,自动控制原理.[M]北京：

清华大学出版社.1990

【3】张元林,积分变换.[M]北京：

高等教育出版社.2003

【4】高国燊，余文杰等.自动控制原理.[M].华南理工大学出版社.2006

【5】胡寿松.自动控制原理.[M].科学出版社.2007欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑•双击可删除页眉页脚•谢谢!

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