单元综合测试三第三章.docx

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单元综合测试三第三章

单元综合测试三（第三章）

时间：

120分钟　　分值：

150分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（　　）

解析：

由二分法的定义易知选A.

答案：

A

2．函数y＝（x－1）（x2－2x－3）的零点为（　　）

A．1,2,3B．1，－1,3

C．1，－1，－3D．1，－1,2

解析：

由（x－1）（x2－2x－3）＝（x－1）（x＋1）（x－3）＝0得x＝－1，或x＝1，或x＝3.

答案：

B

3．设f（x）＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f

·f

<0，则方程f（x）＝0在[－1,1]内（　　）

A．可能有3个实根B．可能有2个实根

C．有唯一实根D．没有实根

解析：

由于f（x）＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，

且f

·f

<0，

所以f（x）在

上有唯一零点，

即方程f（x）＝0在[－1,1]上有唯一实根．故选C.

答案：

C

4．函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

解析：

显然f（x）在R上是增函数，

又f（－2）<0，f（－1）<0，f（0）>0，f

（1）>0，f

（2）>0，

∴f（－1）·f（0）<0，

所以函数f（x）在（－1,0）上有零点，故选B.

答案：

B

5．若函数y＝f（x）在区间（－2,2）上的图象是连续不断的曲线，且方程f（x）＝0在（－2,2）上仅有一个实数根，则f（－1）·f

（1）的值（　　）

A．大于0B．小于0

C．无法判断D．等于零

解析：

由题意不能断定零点在区间（－1,1）内部还是外部．

答案：

C

6．若函数f（x）唯一的变号零点同时在区间（0,4），（0,2），（1,2），（1，

）内，则与f（0）符号相同的是（　　）

A．f（4）B．f

（2）

C．f

（1）D．f（

）

解析：

由函数零点的判断方法可知，f

（2），f（4）与f（0）符号相反，f

（1）与f

（2）符号相反，故f

（1）与f（0）符号相同，故选C.

答案：

C

7．如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（　　）

x

4

5

6

7

8

9

10

y

15

17

19

21

23

25

27

A.一次函数模型B．二次函数模型

C．指数函数模型D．对数函数模型

解析：

画出散点图，如图．

由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型．

答案：

A

8．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往长城旅游，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b

解析：

根据某同学先前进了akm后休息了一段时间，可知A不合题意；根据休息后沿原路返回骑了bkm（b

答案：

C

9．设a，b，k是实数，二次函数f（x）＝x2＋ax＋b满足：

f（k－1）

与f（k）异号，f（k＋1）与f（k）异号．在以下关于f（x）的零点的说法中，正确的是（　　）

A．该二次函数的零点都小于k

B．该二次函数的零点都大于k

C．该二次函数的两个零点之差一定大于2

D．该二次函数的零点均在区间（k－1，k＋1）内

解析：

由题意得f（k－1）·f（k）<0，f（k）·f（k＋1）<0，由零点的存在性定理可知，在区间（k－1，k），（k，k＋1）内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．

答案：

D

10．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：

（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；

（2）如一次购物超过200元但不超过500元，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（　　）

A．608元B．574.1元

C．582.6元D．456.8元

解析：

本题实际上是一个分段函数的问题，购物付款432元，实际商品价值为432×

＝480（元）；则一次购买标价为176＋480＝656（元）的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6（元），故选C.

答案：

C

11.

一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，b（0

）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为（　　）

A．πB．2π

C．3πD．4π

解析：

由题意知实线部分的总长度为l＝4（3－2b）＋2πb＝（2π－8）b＋12，l是关于b的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为

，代入上式得lmin＝（2π－8）×

＋12＝3π.

答案：

C

12．函数f（x）＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则（　　）

A．k＝0B．k>1

C．0≤k<1D．k>1，或k＝0

解析：

令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.

答案：

D

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．

解析：

设f（x）＝x3－2x－5，则f

（2）<0,f（3）>0,f（4）>0，有f

（2）f（3）<0，则下一个有根区间是（2,3）．

答案：

（2,3）

14．方程ex－x＝2在实数范围内的解有________个．

解析：

可转化为判断函数y＝ex与函数y＝x＋2的图象的交点个数．

答案：

2

15．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：

小时，y表示病毒个数），则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

解析：

当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e

k，

∴k＝2ln2，∴y＝c2tln2.

当t＝5时，y＝c10ln2＝210＝1024.

答案：

2ln2　1024

16．若方程2ax2－x－1＝0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是________．

解析：

令f（x）＝2ax2－x－1，则f（0）·f

（1）<0，即－1×（2a－2）<0，所以a>1.

答案：

（1，＋∞）

三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）

17．（10分）按照给出的参考数据，用二分法求2x＋x＝4在（1,2）内的近似解（精确度为0.2），参考数据如表：

x

1.125

1.25

1.375

1.5

1.625

1.75

1.875

2x

2.18

2.38

2.59

2.83

3.08

3.36

3.67

　　解：

令f（x）＝2x＋x－4，

则f

（1）＝2＋1－4<0，

f

（2）＝22＋2－4>0，

用二分法计算，列表如下：

区间

中点的值

中点函数近似值

（1,2）

1.5

0.33

（1,1.5）

1.25

－0.37

（1.25,1.5）

1.375

－0.035

（1.375,1.5）

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在（1,2）内的近似解为1.375.

18．（12分）已知函数f（x）＝x3－x2＋

＋

.证明：

存在x0∈（0，

），使f（x0）＝x0.

证明：

令g（x）＝f（x）－x.

∵g（0）＝

，g（

）＝f（

）－

＝－

，

∴g（0）·g（

）<0.

又函数g（x）在[0，

]上的图象连续不断，

∴存在x0∈（0，

），使g（x0）＝0，即f（x0）＝x0.

19．（12分）已知函数f（x）＝2（m＋1）x2＋4mx＋2m－1，

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？

（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．

解：

（1）∵函数的图象与x轴有两个交点，

∴

即

整理得

即当m<1，且m≠－1时，

函数的图象与x轴有两个交点．

（2）∵函数的一个零点在原点，即点（0,0）在函数f（x）的图象上，

∴f（0）＝0，即2（m＋1）·02＋4m·0＋2m－1＝0.

∴m＝

.

20．（12分）设函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

（1）求f（x）；

（2）当函数f（x）的定义域是[0,1]时，求函数f（x）的值域．

解：

（1）∵f（x）的两个零点是－3和2，

∴函数图象过点（－3,0）、（2,0）．

∴9a－3（b－8）－a－ab＝0，①

4a＋2（b－8）－a－ab＝0.②

①－②，得b＝a＋8.③

③代入②，得4a＋2a－a－a（a＋8）＝0，

即a2＋3a＝0.

∵a≠0，a＝－3，

∴b＝a＋8＝5.

∴f（x）＝－3x2－3x＋18.

（2）由

（1）得f（x）＝－3x2－3x＋18

＝－3（x＋

）2＋

＋18，

图象的对称轴方程是x＝－

，且0≤x≤1，

∴f（x）min＝f

（1）＝12,f（x）max＝f（0）＝18.

∴函数f（x）的值域是[12,18]．

21．（12分）

如图所示，A、B两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元．（供气距离指天然气站到城市的距离）

（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x（km）的函数，并求定义域；

（2）天然气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？

解：

（1）由题意知D地距B地（100－x）km，

则

∴10≤x≤90.

设比例系数为k，则y＝k[x2＋（100－x）2]（10≤x≤90）．

又x＝40，y＝1300，

所以1300＝k（402＋602），即k＝

，

所以y＝

[x2＋（100－x）2]

＝

（x2－100x＋5000）（10≤x≤90）．

（2）由于y＝

（x2－100x＋5000）＝

（x－50）2＋1250，

所以当x＝50时，y有最小值为1250万元．

所以当供气站建在距A城50km，能使建设费用最小，最小费用是1250万元．

22．（12分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）是二次函数，其图象与x轴交于A（1,0）、B（3,0），与y轴交于C（0,6）．

（1）求y＝f（x），（x∈R）的解析式；

（2）若方程f（x）－2a＋2＝0有四个不同的实数根，试求a的取值范围．

解：

（1）依题意可设，当x≥0时，f（x）＝a（x－1）（x－3）．

由f（0）＝6得3a＝6，

∴a＝2，

此时f（x）＝2（x－1）（x－3）＝2x2－8x＋6（x≥0）．

当x<0时，－x>0，

则f（－x）＝2x2＋8x＋6.

又∵f（x）是偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）＝2x2＋8x＋6（x<0）．

∴f（x）＝

（2）依题意f（x）＝2a－2有四个不同实数根，即y＝f（x）与y＝2a－2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点．

如图可知只需满足条件－2<2a－2<6，∴0

即实数a的取值范围是（0,4）．