几何布朗运动在看涨期权方面的应用.docx

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几何布朗运动在看涨期权方面的应用

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摘要

期权的广泛应用带来了各国金融市场的稳定与发展。

近年来，国内外学者围绕这股票的研究成果甚丰，但是从数学角度的分析还是存在很多的研究点。

本文集中阐述了几何布朗运动及期权的相关概念及内涵，Black-Scholes模型做了相应的分析，剖析了几何布朗运动在看涨期权方面的应用，就股票期权提出了个人的看法。

关键词：

几何布朗运动；期权；Black-Scholes模型

Abstract

Applicationofanoptionhasbroughtstabilityanddevelopmentinthefinancialmarkets.Inrecentyears,scholarsathomeandabroadaroundthisverylucrativestockresearchresults,Buttherearealotofmathematicalanalysiswasalittleresearch

ThisarticlefocusesgeometricBrownianmotionandrelatedconceptandconnotationofoptions,black-scholesmodelofthecorrespondinganalysis,analysisofgeometricBrownianmotionintheapplicationofcalloptions,stockoptionsputforwardtheviewsofindividuals.

Keywords:

GeometricBrownianMotion;putoption;Black-Scholesmodel

1导论…………………………………………………………………………………………1

1.1选题背景与意义…………………………………………………………………………1

1.2国内外文献综述…………………………………………………………………………1

1.3论文的结构及主要内容…………………………………………………………………2

1.4论文的研究方法…………………………………………………………………………2

2几何布朗运动在看涨期权方面的应用………………………………………………………………………2

2.1几何布朗运动…………………………………………………………………2

2.2期权…………………………………………………………………3

2.3Black-Scholes模型…………………………………………………………………5

参考文献…………………………………………………………………………………………8致谢…………………………………………………………………………………………9

1导论

1.1选题背景与意义

股票市场是各个国家经济发展的一个“晴雨表”，是对一国经济的重要反映和预警指标。

而近些年来，伴随着经济的高速发展，资本市场在全球的发展也是更是突飞猛进，于是，期权定价问题在资本市场中的也扮演着越来越重要的角色，因此，合理地对期权进行定价是整个期权实操稳定的重要保证。

并且，期权市场是构成资本市场风险管理体系中非常重要的一部分，而且它在风险管理中也扮演着不可或缺的角色，是一个必不可少的风险管理工具。

期权的使用可以理解为是为了某种风险资产的安全而购买的一份“保险”，这份“保险”则可以使投资者在风险资产的价格有下跌风险时，又不至于错过市场上价格上涨所能够带来的获取一定利益的机会，因此，这也投资者提供了一种坚实的保障。

而且，对股票市场的完善中期权也起到了很大的作用，它使得金融市场可以在相当长的一段时间内不断的健康稳定的发展。

甚至，期权的应用更使投资者对风险管理理念有了一个更加全面的了解与认识。

金融市场亦是一个多变复杂的市场，作为金融市场最为重要的要素之一—金融资产的价格，也受到了广大投资者的众多的关注。

在现阶段的金融理论中，金融资产的定价问题就是一个最基本的问题，比如债券等金融工具，这些是具有固定现金流的金融资产，确定其价格的一般方法都是通过求得净现值的，但是在期权的定价问题方面，净现值的方法并不能使该问题得到有效的解决。

这是由于净现值是对未来现金流进行的折现，而且它数值的大小与投资风险的大小是正比关系的。

但是对于期权来说，风险的大小以及如何计算风险未来现金流是相当难以解决的问题。

作为一门新兴的交叉型学科，金融数学是在金融学和数学发展到一定程度之后，衍生出来的一个新型的交叉领域，金融领域方面的很多问题都是应用随机过程、金融工程和金融数学等相关理论课程来研究解决的。

在于资本市场中对于股票期权进行的精准预测，可使得进行投资的人群的利益受到一个极大限度的保护，并且在国家层面上，还有助于有关政府部门进行相关的金融和经济政策的制定。

因此，本文研究的意义在于：

探究股票期权定价理论的依据并且为公司和股民在决策上提供一定的依据。

综上所述，本文所应用的股票期权的定价是基于几何布朗运动的，应用了随机过程中的几何布朗运动，从而来构造股票期权的模型。

这将更加地有助于了解中国的股市和资本市场运行的规律，进而来帮助投资者获益。

1.2国内外文献综述

1877年，查尔斯·卡斯特里（CharlesCastelli）在伦敦发表了《股票股份期权理论》，这是最早期的期权理论。

该文章注重时效的说明，是对金融衍生品进行估价的首次研究。

1900年，法国数学家劳伦斯·巴施里耶（LouisBachelier）提出在给定的无限小瞬间，证券的市场价格一定处于没有任何倾向于市场上升或者下降的内在偏斜的均衡状态。

1955年，萨缪尔森在《股票市场中的布朗运动》中提到了Bachelier的文章。

1956年，萨缪尔森发表的《认沽权证定价的的推论理论》提出，认股权证定价在逻辑上应与期权定价是相似的。

1973年，Black-Scholes期权定价的模型出现，解决了期权定价方面的问题。

该模型采用了无风险对冲原理，利用期权和标的资产来构造一个无风险的投资组合，，从而导出期权价格的公式。

这个公式是不存在套利机会的欧式看涨期权的价格。

在这一公式中，只有股票价格波动率这一个参数是不可直接从金融市场中观测到，其余参数均可直接从金融市场中获得，因此，许多交易者和做市商都以此模型作为期权定价的模型。

1979年，首次提出二项式模型，为期权定价数值法打下了基础。

1.3论文的结构及主要内容

第一部分：

绪论

（一）主要介绍布朗运动与几何布朗运动的定义，性质以及使用限制。

（二）主要介绍期权这一金融衍生工具的定义，分类以及执行时买卖双方的获利情况。

（三）基于几何布朗运动的期权定价模型，主要介绍Black-Scholes模型各公式的推导以及所运用到的数学理论。

第二部分：

结合实际股票期权分析Black-Scholes模型的可行性。

第三部分：

结论。

主要回顾该论文的研究内容并提出进一步完善的建议。

1.4论文的研究方法

1、期权定价方法

2、实证分析法

2几何布朗运动在看涨期权方面的应用

2.1几何布朗运动

2.1.1几何布朗运动的定义

几何布朗运动（GBM）（也叫做指数布朗运动）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动. 几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。

更加专业化的定义：

A随机过程St在满足以下随机微分方程（SDE）的情况下被认为遵循几何布朗运动:

dSt=μStdt+σStdWt

这里Wt是一个维纳过程,或者说是布朗运动，而μ（'漂移百分比'）和σ（'波动百分比'）则是常量。

2.1.2几何布朗运动的应用

在金融中，几何布朗运动主要的应用体现于布莱克-舒尔斯模型，几何布朗运动在布莱克-舒尔斯定价模型被用来定性股票价格，因而也是最常用的描述股票价格的模型。

2.1.3几何布朗运动的优点

使用几何布朗运动来描述股票价格的理由如下:

几何布朗运动的期望与随机过程的价格（股票价格）是独立的,这与我们对现实市场的期望是相符的；几何布朗运动过程只考虑为正值的价格,就像真实的股票价格；几何布朗运动过程与我们在股票市场观察到的价格轨迹呈现了同样的"roughness"；几何布朗运动过程计算相对简单。

.

2.1.4几何布朗运动的缺陷

几何布朗运动并不完全现实，尤其存在一些缺陷:

在真实股票价格中波动随时间变化,但是在几何布朗运动中,波动是不随时间变化的；在真实股票价格中,收益通常不服从正态分布（真实股票收益具有更高的峰度和厚尾,代表了有可能形成更大的价格波动）.

2.2期权

2.2.1期权的定义

期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。

期权定义的要点如下:

期权是一种权利。

期权合约至少涉及买人和出售人两方。

持有人享有权力但不承担相应的义务；期权的标的物。

期权的标的物是指选择购买或出售的资产。

它包括股票、政府债券、货币、股票指数、商品期货等。

期权是这些标的物"衍生"的，因此称衍生金融工具。

值得注意的是，期权出售人不一定拥有标的资产。

期权是可以"卖空"的。

期权购买人也不定真的想购买资产标的物。

因此，期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，而只需按价差补足价款即可；到期日。

双方约定的期权到期的那一天称为"到期日"，如果该期权只能在到期日执行，则称为欧式期权;如果该期权可以在到期日或到期日之前的任何时间执行，则称为美式期权；期权的执行。

依据期权合约购进或售出标的资产的行为称为"执行"。

在期权合约中约定的、期权持有人据以购进或售出标的资产的固定价格，称为"执行价格"。

2.2.2期权的分类

期权交易是指在未来一定时期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的权利金后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先商定的价格向卖方购买或出售一定数量标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。

由于期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，产生了众多的期权品种，对期权进行合理的分类，更有利于我们了解期权产品。

按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型；按期权的种类划分，有欧式期权和美式期权两种类型；按行权时间划分，有欧式期权、美式期权、百慕大期权三种类型；期权按照行权方式分为欧式期权和美式期权；按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权两种类型。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。

欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。

中国新兴的外汇期权业务，类似于欧式期权，但又有所不同，我们将在中国外汇期权业务一讲中详细讲解；按合约上的标的划分有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类。

2.2.3欧式美式之区别

欧式期权和美式期权的区别主要在执行时间的分别上。

（1）美式期权合同在到期日前的任何时候或在到期日都可以执行合同，结算日则是在履约日之后的一天或两天，大多数的美期期权合同允许持有者在交易日到履约日之间随时履约，但也有一些合同规定一段比较短的时间可以履约，如"到期日前两周"。

（2）欧式期权合同要求其持有者只能在到期日履行合同，结算日是履约后的一天或两天。

目前国内的外汇期权交易都是采用的欧式期权合同方式。

通过比较，我们可以得出的结论是:

欧式期权本少利大，但在获利的时间上不具灵活性;美式期权虽然灵活，但付费十分昂贵。

因此，国际上大部分的期权交易都是欧式期权。

2.2.4期权与股权的区别

股权（有限责任公司）、股份（股份有限公司）都是股东基于股东资格而享有的一种所有者权利。

简单地说，拿到股权，说明已经是公司的股东了。

"期权"是一种权利，是公司授予激励对象在未来一定期限内以预先确定的价格和条件购买本公司一定数量股份的权利，这个权利可能会在公司上市后行使，也可能会在上市前行使。

简单地说，拿到期权，只表明其有可能是公司的股东。

形象来说，股权代表股东，而期权更多的是带着激励的使命而存在。

2.2.5期权的履约

期权的履约有以下三种情况1、买卖双方都可以通过对冲的方式实施履约。

2、买方也可以将期权转换为期货合约的方式履约（在期权合约规定的敲定价格水平获得一个相应的期货部位）。

3、任何期权到期不用，自动失效。

如果期权是虚值，期权买方就不会行使期权，直到到期任期权失效。

这样，期权买方最多损失所交的权利金。

2.3Black-Scholes模型

2.3.1模型的假设

B-S模型有7个重要的假设：

1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。

2.3.2Black-Scholes公式

，其中:

，C—期权初始合理价格　，L—期权交割价格，S—所交易金融资产现价，T—期权有效期，r—连续复利计无风险利率，σ2—年度化方差，N（）—正态分布变量的累积概率分布函数

，在此应当说明两点：

第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。

一个简单的或不连续的无风险利率（设为

）一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。

必须转化为r方能代入上式计算。

两者换算关系为:

或

。

例如

，则r=ln（1+0.06）=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用

计算的答案一致；第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。

如果期权有效期为100天，则

。

2.3.3B-S公式与股票

股票结算方式;在股票交易中，如果投资者希望买入一定数量的股票，其就必须立即支付全部费用才能获得股票，一旦买入股票后出现股票价格上涨，那么投资者也必须卖出股票才能获得价差利润。

因此，其结算要求是:

交易要立即以现金支付才能达成，而损益必须在交易结束后不再持有标的物时才能实现。

在期权市场上，股票类结算方法与此非常类似。

股票类结算方法的基本要求是:

期权费必须立即以现金支付，并且只要不对冲部位，就无法实现盈亏。

这种结算方法主要用在股票期权和股票指数期权交易中，期权合约的结算与标的资产的结算程序大致相同。

B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。

（一）存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t（即除息日）支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:

S'=S−Dte−rT。

如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。

从而将B-S模型变型得新公式:

；　

（二）存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率（设为δ）支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004=　6.56。

值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。

因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。

因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

在此红利现值为:

S（1-E-δT），所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:

C=S•E-δT•N（D1）-L•E-γT•N（D2）

2.3.4B-S模型的影响

　自B-S模型1973年首次在政治经济杂志（JournalofPoliticalEconomy）发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。

该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。

到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。

衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。

新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。

结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。

我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。

因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步

2.3.4B-S模型的检验

B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。

但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。

　　1977年美国学者伽莱（galai）利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。

此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。

其中比较有影响的代表人物有特里皮（trippi）､奇拉斯（chiras）､曼纳斯特（manuster）､麦克贝斯（macbeth）及默维勒（merville）等。

综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：

　　1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。

　　2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。

　　3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。

　　4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。

但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。

　　对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。

而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。

不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：

　　首先，对股价分布的假设。

布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。

麦顿（merton）､约翰·考克斯（JohnCarringtonCox）、斯蒂芬·罗斯（StephenA.Ross）、马克·鲁宾斯坦（MarkRubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。

他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。

　　其次，关于连续交易的假设。

从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。

但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：

1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。

因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。

　　再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。

布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。

有的学者（包括布莱克本人）曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。

　　此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。

而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。

不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。

他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。

具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息（d）的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。

若是美国买方期权，情况稍微复杂。

第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。

第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格（x-d）替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。

第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。

需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。

参考文献

[1]D.Ahmadian,L.V.Ballestra.PricinggeometricAsianrainbowoptionsunderthemixedfractionalBrownianmotion[J].PhysicaA:

StatisticalMechanicsanditsApplications,2020.

[2]FoadShokrollahi.TheevaluationofgeometricAsianpoweroptionsundertimechangedmixedfractionalBrownianmotion[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics,2018,344.

[3]李守军,马小平,杨春雨.基于模糊区间值GM（1,1）预测模型及几何布朗运动的矿山投资决策[J].控制理论与应用,2019,36（04）:

636-650.

[4]高宏.股票价格几何布朗运动模型的理论错误及纠正[J].时代金融,2019（11）:

50-51.

[5]常竞文.关于多种模型下交换期权问题的研究[D].燕山大学,2019.

[6］朱洪.期权定价中的若干模型研究[J].现代经济信息,2018（05）:

306-307.

[7]邹良凯.分数布朗运动在期权定价中的应用研究[D].安徽财经大学,2015.

[8]陈亭.基于分数布朗运动的实物期权定价及其应用研究[D].福州大学,2016.

[9]WantingHu.ResearchonPricingofShanghai50ETFOptionsBasedonFractalB-SModelandGARCHModel.2020,11（02）:

407-425.

[10]Jean-PhilippeAguilar.OnexpansionsfortheBlack-Scholespricesandhedgeparameters[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2019,478

（2）.

致谢

踉踉跄跄地忙碌了两个月,我的毕业设计课题也终将告一段落.点击运行,也基本达到预期的效果,.但由于能力和时间的关系,总是觉得有很多不尽人意的地方,譬如功能不全、外观粗糙、底层代码的不合理数不胜数.可是,我又会有点自恋式地安慰自己:

做一件事情,不必过于在乎最终的结果,可贵的是过程中的收获.以此语言来安抚我尚没平复的心.

　　毕业设计,也许是我大学生涯交上的最后一个作业了.想籍次机会感谢四年以来给我帮助的所有老师、同学,你们的友谊是我人生的财富,是我生命中不可或缺的一部分.我的毕业指导老师###老师,虽然我们是在开始毕设时才认识,但她却能以一位长辈的风范来容谅我的无知和冲动,给我不厌其烦的