该函数所代表的平面无旋运动。
解：
匀直流流动方向改表
6.8设复势为
W（z）=（l+i）ln（z2+1）+（2-3z）ln（z2+4）+1/z
求
（1）沿圆周x2+y2=9的速度环量「；
（2）通过该园的体积流量
解：
W⑵=（1+i）ln（z2+1）+（2-3z）ln（F+4）+1/z
点涡i[ln（z+z）+ln（z2-z）]+3z[ln（z+2z）+ln（z-2z）]
在x2+y2《9内
i——[ln（z+i）+ln（z2一z）]+——z[ln（z+2i）+ln（z—2z）]
2兀2兀
.•・r=8^
点源—[ln（z+z）+ln（z2-i）]+—[ln（z+2i）+ln（z—2i）]
27T2兀
0=12龙
l/z是偶极子无涡无源
6.9直径为2m的圆柱在水下10m深处以速度10m/s做水平运动（见题图6.9）,水面大气压=101325N/〃2,水密度p=1000kg/mi,不考虑波浪影响，试计算A、B、C、D四点压力。
题图6-9
解:
=0.5^（1-4sin20）+pgAh
对于A,C点Pa、c=0.5/?
voo（l-4sin20）+pgAh=249AkN/m2对于B,D点pB=0.5pvx（1-4sin26>）+pgMi=39.6kN/m2pD=0.5/71^（1-4811120）+pgAh=59.2kN/m26.10在题6.9中，圆柱在做水平运动的同时以60r/min的角速度绕自身轴旋转，试决定驻点的位置，并计算B,D的速度和压力。
解：
r=2Jwds=6.28x2兀
sin&=-
6.28x2〃
=-0.314
&=arcsin（-0.314）=198.3or341.7
rPb=P^+0-5pv„[l-（2sin6+）+pgMi
2和a=—105ZJV/加$
PD=P^+0.5pv』l一（2sin6+）+pgMi
—\65kN/m2vB=-21m/svD=19m/s
6.11已知流函数
icc/I25628r7
肖=100y（l--）+-—]n-,r=^x+y
r2715
试求：
（1）组成此流动的基本流动；
（2）驻点的位置；（3）绕物体的速度环量；（4）无限远处的速度；（5）作用在物体上的力。
解：
公式6.3.7
d屮25
rvr==100y（l——）rsin&
30r
25
（1）vr=100y（l——）cos&
'r
c25、•Q“a•Q25x26285ve=100y（l——）sin&+100rsin&——-—H
rr17Vr
T-^Vr..V0TW=0+?
P
r
（2）驻点sin&==—0.1・••&=—5.74o厂185.74
4处/
（5）L—pvV—6.28X1076.12直径为0.6m的圆柱以6m/s的速度在静水内作水平直线运动，同时绕自身轴旋转，每米长度上的升力是5.88kN,试计算他的升力系数和转数。
解：
C=—=0.54
‘0.5*s
l==>r=o.98
r
w=—=16.5r/min
2s
题图6・13
6.13如题图6.13所示，在（21）点有一强度为Q的点源，求第二象限直角流场中的复势。
解：
源w。
=—ln（z—z°）n
2tc
n
Y轴对称W]=—[ln（z-z0）+ln（z-（-^））]
Z3
W]对x轴对称W2二一[ln（z-z0）+ln（z-（-z0））]+
2兀
—血（z+%）+ln（z+（-Zq））]-—ln（z2-押）（z2
2712716.14求题图6.14所示点涡的轨迹，已知通过、伍）点。
解:
点涡：
w0=>w
一r
2兀2近
题图6.14
2兀2近
%+%+^AB=—
8疋
x2+y2=4
6.19在深水处有一水平放置的圆柱体，半径为0.1m,每米长的重量为G=196N,如果垂直向下对每米长度圆柱作用力是F=392N,求圆柱的运动方程。
解：
Z77=—=20kg
g
F+G-F.^=（m+A）a
a=5.47
h=h0+vQt+2.73厂
6.21如题图6.21所示，半径为R的二维圆柱体在无界流中绕O轴旋转，角速度为，同时又以角速度自转，假设缆绳长1>>R,圆柱体重为G1流体密度为，求缆绳所受的张力。
题图6.21
解：
向心力臨=（prf+G/g）Q2/升力厶=pv^V=27ipR2w^ll
■■^=F-L
F=27ipR2w^ll+（/7>tR2+G/g）Q2Z
习题八
8.1证明W（$）=Acos（^（^+zc/—ct））是水深为d的水域中行波的复势，其中匚=.r+z<,z轴垂直向上，原点在静水面，并证明F=&th（kd）
k
证：
将=x+iz代入原式
W（G=Acos（k（$+id-ct））=Acos伙（兀+iz+id-ct））
:
.（/）=Acos（k（x一ct））
所以0是行波的速度势
（72=kgthkd
c?
——th（kd）
k
8.2d=10m的等深度水域中有一沿x轴正向传播的平面小振幅波，波长L=10m,波幅A=0.1m,试求：
（1）波速、波数、周期；
（2）波面方程；
（3）平衡位置在水面以下0.5m流体质点的运动轨迹。
解：
*:
dIL—\
:
.c—JgL12兀=3.95m/s
k=2龙/L=0.628m_1
r=A/c-2.53k
=Acos（fcx-ct）=0.1cos（0.628x一2.480
x-xQ=-AekZQsin（fcx一ct）=O.le0-628*0-5cos（tf/2+0）
z_=Aekz°sin（fcx一ct）=O.le0-628*0-5sin（^/2+3）
8.3观测到浮标每分钟升降10次，假定波动是无限深水域中的小振幅平面波，试求波长和波的传播速度。
又问水面以下多深才开始感觉不到波动？
解：
T=60s/10=6s
*:
c—LIT—Jg厶/2兀:
.L=56.18m
:
.c=L/T-9.31m/5
水下一个厶即56.18m感受不到波动
8.4两个反向行波叠加，其速度势为
（p=Ag/2（jxekz[sin（Z:
x-at）+sin（kx+at）]
试证明合成波是一个驻波，波长L=2;r/k,周期T=2;f/（t.
证：
（p=Ag/2（jxekz[sin（fcx-ct）+sin（Z:
x+at）]
（p=Ag/2cxekzx2sin（fcx）cos（ov）
A*=Ag/2axekzx2cos（m）
L=^,T=^
k（7
8.5船沿某方向作等速直线航行，船长为70m,船速为v,船后有一同方向传播的波浪追赶该船，波速为c,他追赶一个船长的距离时需16.5s,超过一个波长的距离需6s,求波长和船速。
解：
L=16.5x（C-V）^C-V=4,242m/s
2=6x（C-V）=25.455m
c=Jg2/2龙=6.3m/s
C-V=4.242
V=2.1m/s
8.6一个深水余弦波的波高H=lm,波形的最大坡度角为龙/12,试求波面上流体质点旋转角速度。
解：
=Acos（kx-（Jt）
—=-Aksin（Z:
x_ot）
dx
Max一Aksin（^x一6）=龙/12
Ak=7T/12=Hk/2
:
.k=7r/6
（J=y[kg=2.26s"
8.7在深水水面以下z=z0处，用压力传感器记录到沿x方向传播的行波的压力，试根据这个记录确定水面上流体质点的角速度。
解：
•••P-Pa=pg（efcn^-z0）
•••"max—Anm^Pg^H
P8ekZa
设卩变化周期为T
则cr=2^/T
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