3.定理1（反对称性）和定理2（传递性），学生是容易理解的.但对它们进行证明，却是比较困难的.一是学生可能认为没有必要进行证明，二是学生可能不知道如何证明.为了引起重视，养成学生用逻辑推理进行数学证明的习惯，教学时可以向学生提出如下问题：
“如果a>b，与谁大？
”针对学生回答中可能出现的错误，来说明证明的必要性.然后，可以让学生回顾一下实数的运算性质与大小顺序之间的关系，以及实数运算的符号法则，最后再引导学生进行证明.这里要使学生明确证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则，要引导学生说清每一步推理的理由和关键性的步骤.
4.定理3及其推论，学生也是容易理解的.在这里应该着重向学生指出：
（1）定理3是不等式移项法则的基础；
（2）定理3的推论是同向不等式相加法则的依据.它是连续两次运用定理3，然后由定理2证出的.但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论，这点可以举出反例向学生说明；
（3）定理3可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.
此外，定理3的逆命题也正确.
5.定理4有两种不同的结果，学生不易理解，使用时容易出错.讲解时，可先用具体数，让学生分析比较，得出结论后，再给予一般的证明，对于定理4还必须注意：
（1）其证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；
（2）要强调c的符号，因为符号不同，结论也不同；
（3）其中a，b可以是实数，也可以是式子，不要在强调c的符号时，又使学生误解，从而限制a，b，缩小了定理的应用范围.
定理4的推论1，说明将两边都是正数的两个同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.教学时要强调指出：
（1）它是连续两次运用定理4先后得出ac>bc，bc>bd，再用定理2证出的；
（2）所有的字母都表示正数，如果仅有a>b，c>d（而不是a>b>0，c>d>0），就推不出ac>bd的结论.同时还要强调，由两个异向不等式，例如a>b>0，0bd的结论.这两点可以举出反例向学生说明.
定理4的推论2，课本中没有给出严格的证明，是指导它作为推论1的特殊情形给出的，应注意n为大于1的正整数这一条件.例如，当a>b>0，n=-1时，a-1>b-1不成立.
6.定理5的证明用的是反证法.因为的反面有两种情形，即和，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”，把这两种情形都否定了才能得出的正确结论.把定理4的推论2和定理结合起来，还容易把这一性质推广到正有理数指数幂的情形，即如果a>b>0，s为正有理数，那么as>bs.
第二课时中的例3和第三课时中的例4是用不等式的性质及其推论来证明的.这可以使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.讲解这两个例题后，应向学生指出：
学完不等式的性质后，就可以利用它们来证明不等式.
总之，在不等式性质的教学中，还要注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要指出它们之间的区别，这样可避免解题中的一些错误.不等式性质与等式性质的不同点主要发生在与数相乘（除）时，不等式两边所乘（除）的数的符号不同，结论是不同的.应让学生理解这些变化.
不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，教学时应给予高度的重视，对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住了不等式运算法则的结论形式，还要掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
第一课时
●课题
§6.1.1不等式的性质
（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系（教材中方框内的三个等价关系）.
3.差值比较法比较两个实数的大小.
（二）能力训练要求
1.掌握差值比较法.
2.会用差值比较法比较两个实数的大小.
3.渗透强化双语教学.
（三）德育渗透目标
1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力.
3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯.
4.提高学生数学素质.
●教学重点
理解在两个实数a、b之间具有以下性质：
a＞ba－b＞0；a＝ba－b＝0；a＜ba－b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据.
●教学难点
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号（注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要）.差值比较法是比较实数大小的基本方法，通常的步骤是：
作差→变形→判断差值的符号.
●教学方法
启发——讨论式教学法
●教具准备
多媒体课件.
课件一:
记作§6.1.1A
问题1：
数轴的三要素是什么?
问题2：
把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：
，
，0，-，.
课件二:
记作§6.1.1B
问题1：
若a＞b，则a－b 0；若a＝b，则a－b0；若a＜b，则a－b0.填“>”“=”“<”号
问题2：
“a＞b”与“a－b＞0”等价吗?
●教学过程
[师]Goodmorning,everyone.
（同学们上午好）
[生]Goodmorning,teacher.
（老师上午好）
[师]Sitdown,please.（请坐）
Todaywe’lllearnthenewlesson.
（今天我们开始上新课）
Areyouready?
（准备好了吗？
）
[生]Yes.（是的，准备好了）
[师]OK!
Nowlet’sbegin.
（好！
现在开始上课）
Ⅰ.课题导入
在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此为依据比较两代数式的大小.
Ⅱ.讲授新课
读·议·练定重点
学生阅读课本P4，打出课件一§6.1.1A和课件二§6.1.1B，通过相互讨论，画出本节重点内容，并让同学们解决下列问题：
［师］数轴的三要素是什么?
［生］原点、正方向、单位长度.
［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列：
,0,-,
［生A］
［生B］＜-＜0＜＜｜－５｜.
［生评］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
[例]同学们回答非常正确，我们继续看下面的问题：
1.若a＞b，则a－b0；若a＝b，则a－b0；若a＜b，则a－b0.
［生C］若a＞b，则a－b＞0；若a＝b，则a－b＝0；若a＜b，则a－b＜0，反之亦然.
2.“a＞b”与“a－b＞0”等价吗?
［生D］显然，“a＞b”与“a－b＞0”等价.
［师生共评］
a＞ba－b＞0
a＝ba－b＝0
a＜ba－b＜0
此等价关系提供了比较实数大小的方法：
即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了，这是咱们本节课教学的重点.
试着做寻思路
［师］在同学们掌握上述等价关系的基础上试完成下列两题的解答：
［例1］比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
［生议］比较两个实数a与b的大小，可归纳为判断它们的差a－b的符号（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
本题知识点：
整式乘法，去括号法则，合并同类项.
［生E］由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
［例2］已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
［生议］同例1方法类似，学生在理解基础上作答.本题涉及到的知识点有：
乘法公式，去括号法则，合并同类项，实数运算.
［生F］由题意可知：
（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）
＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1
＝x2
∵x≠0∴x2＞0
∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0
∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1.
例2引伸：
在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?
［师点］此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.
［生G］在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：
当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
［生评］例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：
作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.
练一练求稳固
Ⅲ.课堂练习
1.在以下各题的横线处适当的不等号：
（1）（＋）26＋2；
（2）（－）2（－1）2；
（3）；
（4）当a＞b＞0时，logalogb.
[生H]
（1）＜
（2）＜（3）＜（4）＜
2.选择题
若a＜0，－1＜b＜0，则有（）
A.a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a
[生M]利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可.
∵a＜0，－1＜b＜0
∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞a
ab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2
a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2
∴ab＞ab2＞a.
故选D.
3.比较大小：
（1）（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2；
（2）log与log.
[生N]
（1）解：
（x＋5）（x＋7）－（x＋6）2
＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）
＝－1＜0
∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2
（2）解法一：
（作差法）
log－log＝
＝＞0
∴log＞log
解法二：
（中介法，常以“－1，0，1”作中介）
∵函数y＝logx和y＝logx在（0，＋∞）上是减函数且＞
∴log＞log＝1，log＜log＝1
∴log＞log.
4.如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小.
[生J]解：
（－1）2－（＋1）2
=（x－2＋1）－（x＋2＋1）＝－4
∵x＞0∴＞0∴－4＜0
∴（－1）2＜（＋1）2
5.已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小.
[生Q]解：
（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）
＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2
∵a≠0，∴a2＞0∴－a2＜0
故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）.
［师点］4、5题的解答过程中，注意利用平方差公式、完全平方公式灵活变形，对提高解题效率起了重要作用.
议一议谋发展
[探究性学习]
（根据题目，学生探索、讨论、分析、归纳出解决问题的基本思想，写出正确的解答过程）
［例3］当x1＜x2＜0时，比较与的大小.
［学生探索］作差法适用于任何两实数的大小比较，但是要注意恒等变形彻底后，才能作出差是大于零或小于零，然后判定两个数的大小.本题若在第一步就根据函数y=的单调性对与进行比较，就失去了作差比较的意义.鉴于本题含有根式，应通过找有理化因式，因式分解后再加以判断，这是作差比较的实质.
［生P］由题意可知：
=
∵x1＜x2＜0
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0且
∴＞0
即.
［师点］本题启示：
n与互为有理化因式；a+m与a-m互为有理化因式；m+n与m-n互为有理化因式.
[高考误区警示]
（本栏目旨是通过学生在高考中易犯错误的实例，指出应怎样避免错误，使学生学会学习、学会思考、学会沟能、学会运用，实实在在提高学生的数学素养，培养他们的创新能力）
［例4］若0＜a＜b，c≠0，试比较ac与bc的大小.
［师点］此题用作差法比较最好，但也可用作商法比较，若用作商比较法应特别注意，两数必须是均正的.
［生R］方法一（作差法）
ac－bc＝c（a－b）
∵0＜a＜b∴a－b＜0
又∵c≠0
∴当c＞0时c（a－b）＜0即ac＜bc
当c＜0时c（a－b）＞0即ac＞bc.
［生X］方法二（作商法）
∵c≠0＝∴
∵0＜a＜b∴＜1
∴ac＜bc
［师评］方法二这一结论显然是错误的，其原因主要在于ac＜0，bc＜0，两负数作商比较是没有根据的.应如何作答呢？
请同学们继续思考.
［生Y］此题用作商法作答其正确步骤如下：
∵0＜a＜b
∴0＜＜1
∵c≠0∴
∴0＜＜1
∴当c＞0时，ac＞0，bc＞0
∴ac＜bc
当c＜0时，ac＜0，bc＜0
又＜1
∴ac＞bc（不等式基本性质3）
故当c＞0时ac＜bc；c＜0时，ac＞bc.
Ⅳ.课时小结
本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：
作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式.
第二步：
判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论.
第三步：
得出结论.
在某些特殊情况下（如两数均为正，且作商后易于化简）还可考虑运用作商法比较大小.它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系.
Ⅴ.课后作业
做一做肯定行
（一）课本P８习题6.1
1.比较（2a+1）（a-3）与（a-6）（2a+7）+45的大小.
2.比较（x+1）（x2++1）与（x+）（x2+x+1）的大小.
3.设x≥1，比较x3与x2-x+1的大小.
[答案]1.（2a+1）（a-3）<（a-6）（2a+7）+45；
2.（x+1）（x2++1）>（x+）（x2+x+1）；
3.x3≥x2-x+1.
（二）1.预习内容：
课本P５～６定理1，2，3及其推论.
2.预习提纲：
（1）定理1，理解不等式的反对称性；
（2）定理2，理解不等式的传递性；
（3）定理3，理解不等式的移项法则.
●板书设计
§6.1.1不等式的性质
（一）
读仪练定重点（概念性质）
试着做寻思路（例题探索）
练一练求稳固（内容巩固）
议一议谋发展（点击高考知识创新）
做一做肯定行（探究学习掌握策略）
2019-2020年高中数学6.1不等式的性质（第三课时）大纲人教版必修
●课题
§6.1.3不等式的性质（三）
●教学目标
（一）教学知识点
不等式的性质定理4及其推论1、推论2、定理5及其证明的方法.
（二）能力训练要求
1.证明并掌握定理4及其推论1、推论2.
2.会用反证法证明定理5，并熟练运用.
3.进一步巩固不等式的性质，并能用它们作为不等式证明或推理的依据.
（三）德育渗透目标
进一步巩固，熟练掌握不等式的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发创新思维，加强实践能力的培养，提高学生的辩证唯物主义思想.
●教学重点
不等式的基本性质的运用.用不等式的基本性质来推理判断和证明其他不等式.
●教学难点
不等式基本性质中的条件的运用及其对应用问题中字母的分类讨论.
●教学方法
启发式教学法
●教具准备
幻灯片一张
记作§6.1.3A
不等式的基本性质（上一节课）：
1.反对称性a＞bb＜a；
2.传递性a＞b，b＞ca＞c；
3.可加性a＞ba＋c＞b＋c；
4.加法法则a＞b，c＞da＋c＞b＋d.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
打出幻灯片§6.1.3A，使学生复习，巩固上一节课的内容.
［师］请同学们回顾一下，我们上一节课学习了不等式的哪些基本性质?
［生］上一节课我们学习了不等式性质中的三个定理和一个推论，它们分别是：
定理1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.
定理2如果a＞b，且b＞c，那么a＞c.
定理3如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
推论如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
通过学生回答后，教师演示幻灯片§6.1.3A，使学生对上一节所学内容有一个全面的概括，为本节课学习新的内容打下基础.
［师］请同学们思考下面问题：
若5＞2，则5×3与2×3谁大呢?
若5＞2，则5×（－3）与2×（－3）又如何?
［生］若5＞2，则5×3大于2×3；
若5＞2，则5×（－3）小于2×（－3）.
［师］可见，一个不等式两边同时乘以一个不为零的数，数的符号不同，所得结果也就不同.由此，我们有下面的定理.
Ⅱ.讲授新课
定理4如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc.
［师］我们观察此题，虽然是不等式问题，实际上是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则，通过作差，比较ac与bc的大小.请同学们试着完成定理4的证明.
［生］ac－bc＝（a－b）c.
∵a＞b∴a－b＞0
根据“同号相乘得正，异号相乘得负”，得
当c＞0时，（a－b）c＞0，即ac＞bc.
当c＜0时，（a－b）c＜0，即ac＜bc.
故如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc.
［师生共析］此证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的.注意定理4中对c的讨论，因为c的符号不同，结论也不同，但是，在定理4中，a，b可以是全体实数，也可以是式子，不要在强调c的符号时，限制了a，b的取值范围.
推论1如果a＞b＞0，且c＞d＞0，那么ac＞bd.
［师］请同学们仿照定理3的推论证明定理4的推论1.
［生］∵a＞b＞0，c＞0
∴ac＞bc①
又∵c＞d＞0，b＞0
∴bc＞bd②
由①②可知，ac＞bd.
［师生共析］很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：
推论2如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，且n＞1）.
定理5如果a＞b＞0，那么（n∈N，且n＞1）
［师］请同学们回顾我们用“反证法”证明题的一般步骤是什么?
［生］“反证法”证题的一般步骤是：
第一步：
假设命题的结论不成立，而命题结论的反面成立；
第二步：
根据已知条件，结合所学知识，推出与已知条件（或已知的真命题）相矛盾的结论，从而断定假设是错误的.
第三步：
肯定原命题的结论正确.
［师］请同学们考虑：
“a＞b”的反面是什么?
“a≥b”的反面呢?
［生］“a＞b”的反面是“a≤b”.
“a≥b”的反面是“a＜b”.
［师］针对定理5中结论“”，它的反面有两种情况：
或.请同学们完成定理5的证明过程（当学生遇到困难时，教师作适当的指导）.
［生］假定不大于，则有：
或.
由定理1和定理4的推论2可知：
当时，
∴
又∵a＞b＞0，n∈N，且n＞1
∴＞0
∴即b＞a
当时，显然有a＝b.
这些都同已知条件a＞b＞0相矛盾.
故如果a＞b＞0，那么（n∈N，且n＞1）.
［师生共析］同学们观察定理4的推论2和定理5，把两者结合起来，很容易把这一性质推广到正有理指数幂的情形，即如果a＞b＞0，S为正有理数，那么aS＞bS.
［例4］（P７）已知a＞b＞0，c＜0，求证.
［师］我们学习了不等式的性质，要掌握不等式每条性质及证明，每条性质的条件.理解不等式的性质，是不等式变形的依据.
分析：
思路一：
证明不等式问题，一般利用不等式的性质做为理论依据，通过推理论证求得结果.
（引导学生运用不等式的性质证明例4）
［生］∵a＞b＞0∴ab＞0
在a＞b的两边同时乘以正数，得
又∵c＜0，由定理4，得：
故a＞b＞0，c＜0时，有.
思路二：
证明不等式问题，常常转化为比较两实数的大小问题，即利用作差法，结合已知条件，通过变形（通分、有理化、因式分解等）比较的大小，就可得证.
（请同学们自己完成证明过程）
［生］
.
∵a＞b＞0，c＜0
∴ab＞0，b－a＜0，c（b－a）＞0
∴
故.
Ⅲ.课堂练习
1.判断下列各命题的真假，并说明理由：
（1）如果ac＜bc，那么a＜b；
（2）如果ac2＞bc2，那么a＞b.
分析：
以不等式性质定理为理论依据，注意不等式性质定理的应用条件，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真.
答案：
（1）假.因c的正负不确定，故不能两边同除以c后得与原不等式同向的不等式.
（2）真.因为由ac2＞bc2c2≠0c2＞0，不等式两边同除以一个正数，与原不等式同向.
2.回答下列问题：
（1）如果a＞b，c＞d，是否可以推出ac＞bd?
举例说明；
（2）如果a＞b，c＜d，且c≠0，d≠0，是否可以推出？
举例说明.
分析：
以不等式性质作为理论依据，进行分析判断.举反例时，只要举出一例即可否定命题的正确.
答案：
（1）不能确定.因a＝5，b＝－3，c＝2，d＝－6时满足a＞b，c＞d，而ac＝10，bd＝18有ac＜bd.
（2）不能确定.因a＝5，b＝－6，c＝－1，d＝2满足a＞b，c＜d，而有.
3.求证：
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