数学建模论文图书馆的馆藏图书分配.docx
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数学建模论文图书馆的馆藏图书分配
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
宁波工程学院
参赛队员（打印并签名）：
1．李瑜苗
2．杨路捷
3．吴建明
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数模组
日期：
2010年8月7日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
图书馆的馆藏图书分配
摘要
本文根据题意将数据进行分析处理，建立三个模型得到各类图书的综合权重，以综合权重来确定应有的册数比例，给图书馆提供合理的图书采购方案．
对于问题一，利用已知的信息，采用AHP层次分析法[1]和模糊综合评价法[2]，综合考虑各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布五个指标，确定各指标对各类图书隶属度关系和模糊矩阵，从而得到相对重要程度的权重．
即各类书的相对重要程度的权向量分别为：
0.04840.05080.03670.04180.04050.05640.0368
0.06210.05540.04180.03750.04720.03570.0556
0.04950.03620.04140.04480.06730.05210.0357
对于问题二，采用和问题一类似的方法，对确定了的一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率三个指标进行处理，从而得到书籍在该校的实际使用价值的相应权重．但值得注意的是，在问题二的处理过程中，采用了熵值法对三个指标赋权，减少了主观因素对反映实际使用价值过程的影响．
即各类书的实际使用价值的权向量分别为：
0.04150.05330.04020.04320.05060.05420.0389
0.05820.04970.04680.04210.05810.04360.0564
0.05490.03540.04730.04470.05850.05350.0288
由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大．
对于问题三，引进了一种“席位分配[4]”的数学模型，在满足各类图书的最低更新率的基础上，使得结果的相对不公平指标最小，从而得到了最优化的购书分配方法．即A、B类书增加270册，C、N类书增加520册,D类书增加164册,E、R、S、U、V类书增加218册,X类书增加1773册,F类书增加1058册,G类书增加191册,H3类书增加599册,I类书增加898册,J类书增加213册,K类书增加234册,Q类书增加247册,P类书增加1987册,O类书增加966册,TH类书增加1068册,TM、TS类书增加109册,TN类书增加143册,TQ类书增加483册,TP类书增加693册,TU、TV类书增加315册,Z类书增加965册．
对于问题四，通过所编写的MATLAB的程序，不善于数学建模的人只需要输入上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况和下一年计划投入的总资金额这两个数据，就可以得到图书馆下一年的购书资金分配方案．
关键词：
AHP层次分析法熵值法图书分配席位分配
一、问题的提出
现代化图书馆馆藏图书，主要目的不是为了收藏而是为了使用．除了国家图书馆等特大型的图书馆以外，一般图书馆都有特定的服务群体，办馆宗旨就是要尽量好地为这些特定群体服务，提高馆藏资源的利用率、读者文献信息需求的满足率以及对图书馆服务功能的满意率．图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分配使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一．
以某学校图书馆为例，要实现办馆效益，必须做到入藏文献合乎本校教师、学生（有时也兼顾社会）的需求，使图书馆藏书结构（学科结构、文种结构、文献类型结构等）能满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适应．所购图书要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构尽量吻合，以便减少读者借不到图书的现象，即降低读者拒借的比率、增加满足率．文献只有在流通中才能传播信息，产生效益．文献资料得不到利用，购置文献资料所耗费的资金就体现不出其价值．因此，图书馆在增加藏书规模的同时，要千方百计地把文献提供给读者，以增加图书的出借次数、出借时间以及在借图书的数量等，力求使有限的价值投入获得最大的办馆效益．
该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、具有较完整的中外文文献资源．如何合理分配资金用于各种图书的购置成为一个非常有价值的问题．
二、基本假设
1、假设该校各专业学生比例大致不会变且总人数相对稳定；
2、假设所借的图书没有不归还或丢失；
3、假设每年借书人数相对稳定；
4、假设题目给的数据真实有效．
三、定义符号说明
符号
说明
、
：
指标权重向量
：
各个权向量对应的权重
：
模糊关系矩阵
：
最大特征根
CI：
一致性指标
RI：
随机一致性指标
、
：
模糊综合评价结果的向量
：
标准矩阵
p：
各指标同度量化
：
熵值
：
差异性系数
：
各指标对各类图书模糊矩阵
：
三项指标的权向量
每个综合评价值所对应的图书册数
剩余的资金
按每个综合评价值分配得到的图书对应的资金
综合评价值
四、模型的分析、模型的建立及求解
4．1问题一的分析及模型建立：
4．1．1问题一的提出和分析
已知：
①该普通高校的重点学科、重点专业的设置情况；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表．
要求：
同时考虑重点实验室和重点学科建设的需求、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书（如英语、计算机类）的普通要求等几个方面，以确定各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重）．
分析：
根据题目要求，我们以各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布这五个指标来衡量各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重）．
首先，通过层次分析法[1]确定个指标之间的权重，利用方根法计算出反映各指标相对权重的权向量，并进行一致性检验；然后，确定各类图书与各指标之间的隶属度关系，最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价[2]结果，得到各类图书对于该学校图书馆的相对重要程度（即相对权重）．
4.1.2模型一的建立及求解
首先，用层次分析法确定权重,判断矩阵由A．L．Saaty的1～9比率标度方法确定,结果见下关系表如下表1：
重点学科
常用热门
公共课
技能课
出借册数
重点
1
4/3
2
4
5
常用
3/4
1
2
3
4
公共
1/2
1/2
1
2/1
3/1
技能
1/4
1/3
1/2
1
3/2
出借册数
1/5
1/4
1/3
2/3
1
表一
由表可得
用方根法计算得出权向量：
进行一致性检验：
最大特征根
，一致性指标
，平均随机一致性指标
，随机一致性比率CR=
，因此该判断矩阵具有满意的一致性．故通过一致性检验．
然后，分别给21类书在5个指标上进行打分
图书类别
重点学科和重点专业
常用
重要公共课
技能课图书
出借册数
A、B
3
3
6
3
7433
C、N
3
4
3
3
20209
D
3
2
3
3
3773
E、R、S、U、V
3
3
3
3
5900
X
3
3
3
3
1725
F
3
4
3
3
38194
G
3
2
3
3
4007
H3
3
4
6
6
23893
I
3
4
3
3
34937
J
3
3
3
3
5681
K
3
2
3
3
6164
Q
3
4
3
3
8670
P
3
2
3
3
462
O
3
4
6
3
2987
TH
5
4
3
3
2997
TM、TS
3
2
3
3
2236
TN
3
3
3
3
4413
TQ
5
3
3
3
2274
TP
5
4
6
6
27314
TU、TV
5
4
3
3
11435
Z
3
2
3
3
558
表二
利用MATLAB软件对其进行归一化处理：
图书类别
重点
常用
公共课
技能书
出借册数
A、B
0.
0.
0.
0.
0.03453
C、N
0.
0.
0.
0.
0.
D
0.
0.
0.
0.
0.
E、R、S、U、V
0.
0.
0.
0.
0.
X
0.
0.
0.
0.
0.
F
0.
0.
0.
0.
0.17743
G
0.
0.
0.
0.
0.
H3
0.
0.
0.
0.
0.
I
0.
0.
0.
0.
0.1623
J
0.
0.
0.
0.
0.
K
0.
0.
0.
0.
0.
Q
0.
0.
0.
0.
0.
P
0.
0.
0.
0.
0.
O
0.05618
0.
0.
0.
0.
TH
0.05618
0.
0.
0.
0.
TM、TS
0.
0.
0.
0.
0.
TN
0.
0.
0.
0.
0.
TQ
0.05618
0.
0.
0.
0.
TP
0.05618
0.
0.
0.
0.
TU、TV
0.05618
0.
0.
0.
0.
Z
0.
0.
0.
0.
0.
表三
确定各指标对各类图书的隶属度，得到模糊矩阵R
利用加权平均型合成算子，将权向量
与模糊关系矩阵R合成，得到模糊综合评价结果向量
：
即各类书的相对重要程度的权向量分别为：
0.04840.05080.03670.04180.04050.05640.0368
0.06210.05540.04180.03750.04720.03570.0556
0.04950.03620.04140.04480.06730.05210.0357
4．2问题二的分析及模型建立：
4．2．1问题二的提出及分析
已知：
①图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表．
要求：
评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等，并根据该校上一年各类图书的出借情况，提出一种评价图书在该校实际使用价值的方法．
分析：
与问题一类似，我们同样先给出用来评价图书在该校的实际使用价值的三个指标：
一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率．然后，我们采用熵值法[3]对这三个指标进行赋权处理，从而得到指标的权向量；利用MATLAB软件对各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化，从而得到各指标对各类图书的隶属度模糊矩阵．最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价结果，得到各类图书在该学校图书馆的实际使用价值．
4．2．2模型二的建立及求解
图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率．因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等多方面的指标．
在模型二的评价中，设定了三个指标来评价图书在该校的实际使用价值，三个指标如下：
一年内的相对流通量（出借册数/册数）、图书平均借用时间（出借总时间/出借册数）、图书利用率（出借种类数/内容种类数）（数据见下表）．
图书类别
一年内的相对流通量（出借册数/册数）
图书平均借用时间（出借总时间/出借册数）
图书利用率（出借种类/内容种类）
A、B
0.8267
33.998
0.
C、N
1.1667
45
0.
D
0.6884
38.9973
0.
E、R、S、U、V
0.812
42
0.
X
0.9965
50.9948
0.
F
1.0833
46
0.
G
0.6285
41.0015
0.
H3
1.1957
51.0004
0.
I
1.1667
35
0.
J
0.8
47.9982
0.
K
0.7909
40.0023
0.
Q
1.0547
54.997
0.
P
0.621
51.0368
0.
O
1.0481
54.0027
0.
TH
1.1039
51.006
0.
TM、TS
0.6134
32.0009
0.
TN
0.9257
40.0029
0.69961
TQ
0.8133
44.0018
0.
TP
1.1818
50.0003
0.
TU、TV
1.0887
45.9989
0.75
Z
0.4143
29.9821
0.44898
采用熵值法对三个指标进行赋权处理：
1．对原始数据进行标准化处理，得到标准矩阵
计算公式为
其中
为第
个指标的最大值．
得到Y矩阵（见附录1）
2．将各指标同度量化，计算第
项指标下第
类书指标值的比重
得到p矩阵（见附录2）
3．计算第
项指标的熵值
其中
则
．
得到
矩阵（见附录3）
4．计算第
项指标的差异性系数
，其值越大，指标就越重要；
5．确定指标权重，第
项指标的权数
．
得到
的一个指标权重向量
．
利用MATLAB软件对模型二中各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化处理得到：
图书类别
一年内的相对流通量（出借册数/册数）
图书平均借用时间（出借总时间/出借册数）
图书利用率（出借种类/内容种类）
A、B
0.
0.
0.
C、N
0.
0.
0.
D
0.
0.
0.
E、R、S、U、V
0.
0.
0.
X
0.
0.
0.
F
0.
0.
0.
G
0.
0.
0.03935
H3
0.
0.
0.
I
0.
0.
0.
J
0.
0.
0.
K
0.
0.
0.
Q
0.
0.
0.
P
0.
0.
0.
O
0.
0.05838
0.
TH
0.
0.05514
0.
TM、TS
0.
0.
0.
TN
0.
0.
0.
TQ
0.
0.
0.
TP
0.
0.
0.
TU、TV
0.
0.
0.
Z
0.
0.
0.
确定各指标对各类图书的隶属度，得到模糊矩阵
利用加权平均型合成算子，将权向量
与模糊关系矩阵
合成，得到模糊综合评价结果向量
：
即各类书的实际使用价值的权向量分别为：
0.04150.05330.04020.04320.05060.05420.0389
0.05820.04970.04680.04210.05810.04360.0564
0.05490.03540.04730.04470.05850.05350.0288
由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大．
4．3问题三的分析及模型建立
4．3．1问题三的提出及分析
已知：
①通过前两问研究，我们得到了各类图书的相对重要程度和其在该校的实际使用价值所对应的权重；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表；③图书馆计划投入100万元用于购置各种图书．
要求：
在所确定的购书资金分配方案应尽可能符合学校学科发展的需要和教学科研需要，又应当尽可能提高读者的满意率，与此同时，图书馆自然还应当注意到各类馆藏图书的更新率，以及用于购书的总经费是有限制的这四个条件的约束下，尽可能满足目标函数（所购图书实际效益最大）．
分析：
在前两问的研究基础之上，我们引进两个新概念———读者满意度（（册数/内容种类数）/（出借册数/出借种类数））和实际效益的综合评价值．但由于读者满意度越大，图书所需更新的比率应该相对越小，所以用读者满意度的倒数来作为衡量综合评价值的第三指标．于是，就有了衡量综合评价值的三项指标，即图书相对重要权重、图书实际使用价值权重、读者满意度的倒数．然后，利用熵值法来可以确定综合评价实际效益中三个指标之间的相对权重，继而得到各类图书综合评价值．
在制定购书资金的分配方案时，我们又引进一个称为“席位分配”的数学模型．这个模型从每个席位对应的人数出发，定义了一个相对不公平指标，将有限的代表席位逐个分配到各个小组，结果使得相对不公平指标最小．而不公平程度以各类图书的
（每个综合评价值所对应的图书册数）的方差值来衡量，方差值越小，不公平程度也越小．而在图书更新过程中，还应该注意到各类书的更新率．通过资料查找，我们发现图书馆的各类图书的更新率至少应达到3%．所以，采用在满足最低更新率的基础上，进行“席位分配”的方法，利用MATLAB软件所编程序，最终得到最优的购书资金分配方案．
4．3．2模型三的建立及求解
应用模型二提到的熵值法，确定该三项指标在综合评价中的权重．（附录）
得到三项指标的权向量：
再运用模糊综合评价的方法，求得21类书的综合评价值
为：
0.04610.05480.03970.04520.04970.05370.03910.05850.05520.04440.04300.05050.03900.05370.05330.03740.04560.04600.05930.05280.0327
在本模型中，以该类书的综合权重反映书的应有册数比重．
要考虑21类书的购书比例，假设有A、B两类书的综合评价值为
、
，该类书原有的册数为
、
，模型希望达到的是
，若
，则认为A书是亏欠的，应补．推广到21类书，为了保证每类书都有一定更新率，在满足各类图书最低分配率的基础上，将剩余的经费分配给其余亏欠的图书，直到达到资金上限（100万）．具体步骤如下：
1．先满足每类书3%的更新率，判断剩余的资金
是否大于零，若
，则转步骤2；若
，则转步骤4．
2．比较所有的
，值最小的那类书，所对应的
，即购一本书，然后
，
，对更新的比值计算方差．
3．再判断
，若
，则转步骤2；若
，则转步骤4．
4．各类书的购书过程结束，输出每类书所购的册数，及每循环一次所得的方差．选择方差最小的所对应的购书比值（即最符合各类书应有的册数比），剩余的资金再按照册数符合综合权重的原则分配．
5．输出最终各类书的所购的册数以及所花费的资金．
利用MATLAB软件的程序运行得到最优的分配方案为：
类别
A、B
C、N
D
E、R、S、U、V
X
F
G
新增册数
270
520
164
218
1773
1058
191
类别
H3
I
J
K
Q
P
O
新增册数
599
898
213
234
247
1987
966
类别
TH
TM、TS
TN
TQ
TP
TU、TV
Z
新增册数
1068
109
143
483
693
315
965
共花费总资金100万元．
4．4问题四的分析及求解
问题四是前三问的分析综合得到的权重以确定图书的采购方案，根据题意只要简要的阐述馆方输入哪些数字，怎样操作获得合理的购书方案即可．
我们决定编一个小系统，馆方只需两个数据的txt文件（其中第一个txt数据为：
重点学科和重点专业常用重要公共课技能课图书出借册书；第二个txt数据为：
出借册数册数出借时总时间出借种类内容种类）和一个计划投入总资金，利用MATLAB软件读取上面的数据就可以得到比较合适的购书方案．（matlab程序见附录问题四）
五、结果分析
由综合评价值
矩阵可知“自动化技术、计算机技术综合权重”最大，“常用外国语”“文学”“经济”“数理科学和化学”“机械仪表工业”“建筑科学、水利工程”也较大，将模型出来的结果与题目给出的数据进行比较，可知权重大的重点类建设对象或是重点学科．而“综合性图书”权重最小，与题目给的数据也较符合．
根据综合权重的柱状图与原册数的实际比例作对比
综合权重大的原有册数也多，但有存在例外．并且模型得出的权重大小波动较小，而原有册数差距较大．
分析原因：
1：
图书馆现有图书分布并不合理；
2：
模型中设置的权重并不很合理．
六、模型推广
本题不仅可以用于优化图书的采购方案问题，也可以用于各类相似的评价问题中．模型三用到的席位分配模型，可以用以解决生活、工作中可能产生的资源分配公平与否的问题．
与此同时，本文涉及的模型可以用以评价多种属性（指标）的对象．
七、模型的评价与改进
优点：
1、利用多种方法确定权重，一定程度上减少了主观因素对结果的影响．
2、基于层次分析、模糊综合评价模型并进行改进，结果符合实际．
3、模型三的算法逻辑清晰、易懂，运用软件，减少大量计算量．
缺点：
1、模型一中，运用层次分析法确定五个指标的权重，带有主观因素，一定程度上影响结果．
2、多次运用模糊综合评价，算法较单一．
参考文献：
[1]吴祈宗，运筹学与最优化方法，北京：
机械工业出版社，2003年；
[2]张秀兰，基于模糊综合评判法的研究及应用，科技信息2008年14期：
91—92，2008年；
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