小学数学知识要点分类整理.docx
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小学数学知识要点分类整理
第一章数和数的运算
一、概念
（一）整数
1、整数的意义
0和正整数都是自然数，负整数、0、正整数统称整数。
2、自然数
用来表示物体个数的0，1，2，3……叫做自然数。
一个也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
（1）整除和被？
整除
整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
（2）约数和倍数
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
（3）能被2、3、5、9、4、（25）、8、（125）整除的数的特征
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，。
个位上是0或5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
（4）奇数和偶数
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
（5）质数和合数
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
（6）质因数和分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：
28＝2*2*7
（7）公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数、互质数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
纯小数：
整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：
整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25、5.26都是带小数。
有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33……3.1415926……
无限不循环小数：
一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
.π
循环小数：
一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。
例如：
3.777……简写作3.70.5302302……简写作0.5302。
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。
纯循环小数：
循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111……0.5656……
混循环小数：
循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
（三）分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数：
假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二、方法
（一）数的读法和写法
1、整数的读法：
从高位到低位，一级一级地读。
读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
2、整数的写法：
从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1、准确数：
在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿。
2、近似数：
根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3、四舍五入法：
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。
进一法：
省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
去尾法：
省略的位上都要去掉。
4、大小比较
（1）比较整数大小：
比较整数的大小，位数相同，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
（2）比较分数的大小：
分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
（四）数的整除
1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。
合数=质数×质数×质数……
2、求几个数的最大公约数的方法是：
先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3、求几个数的最小公倍数的方法是：
先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4、成为互质关系的两个数：
1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
（五）约分和通分
约分的方法：
用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：
在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。
分数基本性质：
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（二）分数与除法的关系
1、被除数÷除数=被除数/除数
2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3、被除数相当于分子，除数相当于分母。
四运算的意义
运算顺序
1、小数、分数、整数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3、没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
4、有括号的混合运算:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5、第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6、第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五应用
（一）整数和小数的应用
（1）常见的数量关系：
总价=单价×数量
路程=速度×时间
总产量=单产量×数量
工作总量=工作效率×工作时间
铺地总面积=每块面积×块数
咬合齿轮总数=每圈齿轮数×圈数
影长：
杆高=比值（一定）（同一地点）
图上距离：
实际距离=比例尺（一定）（同一地图）
行程问题数量关系式：
-同时同地相背而行：
路程=速度和×时间。
-同时相向而行：
相遇时间=速度和×时间
-同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：
追及时间=相距路程÷速度差。
-同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：
相距路程=速度差×时间。
船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
路程=顺流速度×顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
植树问题：
沿线段植树
棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树-棵树=总路程÷株距-株距=总路程÷棵树-总路程=株距×棵树
4、生活中的百分率
税率=应纳税额/各种收入×100%
利息=本金×利率×时间
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率。
其他1、常用数据
（1）
＝0.5=50%
＝0.25=25%
＝0.75=75%
＝0.2=20%
＝0.4=40%
＝0.6=60%
＝0.8=80%
＝0.125=12.5%
＝0.375=37.5%
＝0.625=62.5%
＝0.875=87.5%
＝0.05=5%
＝0.04=4%
=2%
＝0.008=0.8%
=0.333…≈33.3%
=0.1666…≈16.7%
=0.142857…≈14.2%
=0.111…≈11.1%
（2）
314
×1=
314
11
×11=
121
13
×1=
13
314
×2=
628
12
×12=
144
13
×2=
26
314
×3=
942
13
×13=
169
13
×3=
39
314
×4=
1256
14
×14=
196
13
×4=
52
314
×5=
1570
15
×15=
225
13
×5=
65
314
×6=
1884
16
×16=
256
13
×6=
78
314
×7=
2198
17
×17=
289
13
×7=
91
314
×8=
2512
18
×18=
324
13
×8=
104
314
×9=
2826
19
×19=
361
13
×9=
117
2、运算定律：
（1）加法交换律：
a+b=b+a
（2）加法结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
（3）乘法交换律:
a×b=b×a（4）乘法结合律:
（a×b）×c=a×（b×c）
（5）乘法分配律:
（a+b）×c=a×c+b×c（6）减法的性质:
a-b-c=a-（b+c）
（7）除法的性质:
a÷b÷c=a÷（b×c）
（8）同级运算中，数字跟着前面的符号一起移。
（9）同级运算中，减号后面添括号，括号里面要变号；减号后面去括号，括号里面也变号。
（10）同级运算中，除号后面添括号（或去括号），括号里面要变号。
★乘法分配律:
（a+b）×c=a×c+b×ca×c+b×c=（a+b）×c
3、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
1、数量关系式：
部分数＋部分数＝总数
部总关系
总数－一个部分数＝另一个部分数
每份数×份数＝总数
份总关系总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
（1）速度×时间＝路程
（2）单价×数量＝总价（3）工作效率×工作时间＝工作总量
路程÷速度＝时间总价÷单价＝数量工作总量÷工作效率＝工作时间
路程÷时间＝速度总价÷数量＝单价工作总量÷工作时间＝工作效率
较大数－较小数＝相差数
相差关系较大数－相差数＝较小数
较小数＋相差数＝较大数
1倍数×倍数＝几倍数标准量“1”×分率＝对应量
倍数关系几倍数÷1倍数＝倍数倍数关系对应量÷标准量“1”＝分率
几倍数÷倍数＝1倍数对应量÷分率＝标准量“1”
2、百分数、倍数关系：
1、甲数是乙数的20%2、科技书比故事书多25%
3、合唱队人数比舞蹈队人数的
少12人
相差关系：
第二章度量衡
一、长度
（一）什么是长度
长度是一维空间的度量。
（三）单位之间的换算
*1千米＝1000米*1米=10分米*1分米＝10厘米*1厘米＝10毫米
二、面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。
对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
（三）面积单位的换算
*1平方千米＝100公顷*1公倾=100公亩*1公倾＝10000平方米
*1平方米＝100平方分米*1平方分米=100平方厘米*1平方厘米＝100平方毫米
三、体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（三）单位换算
1体积单位
*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米*1立方厘米=1000立方毫米
2容积单位
*1升=1000毫升*1升=1立方分米*1毫升=1立方厘米
四、质量
（一）什么是质量质量，就是表示表示物体有多重。
（三）常用换算
*1吨=1000千克*1千克=1000克
五、时间
（一）什么是时间是指有起点和终点的一段时间
（三）单位换算
*1世纪=100年*1年=365天平年
*一年=366天闰年*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天
*四、六、九、十一是小月小月小月有30天
*平年2月有28天闰年2月有29天
*1天=24小时*1小时=60分*1分=60秒
六、货币
（一）什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。
货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
（三）单位换算*1元=10角*1角=10分
第三章代数初步知识
一、用字母表示数
1、用字母表示数的意义和作用
*用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
用含有字母的式子表示问题的答案时，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
二、简易方程
（一）方程和方程的解
1方程：
含有未知数的等式叫做方程。
-注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
-方程和算术式不同。
算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。
方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
2方程的解：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程
解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
解方程时：
1、能算的先算，不能算的看成一个数；移项（数）时，移过等号要变号。
2、有几个未知数x的，要合并成一个x。
五、比和比例
1、比的意义和性质
（1）比的意义-两个数相除又叫做两个数的比。
比的后项不能是零。
比的前项相当于被除数（分子），后项相当于除数（分母），比值相当于商（分数值）。
比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值
-用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
-比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺
-图上距离：
实际距离=比例尺（放大或缩小）图形比例=现图距离：
原图距离
-线段比例尺：
在图上（每隔1厘米的线段）附有实际长度数目，用来表示和地面上相对应的实际距离。
2、比例的意义和性质
（1）比例的意义
-表示两个比相等的式子叫做比例。
-组成比例的四个数，叫做比例的项。
-两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质
-在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
3、正比例和反比例
（1）成正比例的量
-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
-用字母表示y/x=k（一定）
（2）成反比例的量
-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
-用字母表示x×y=k（一定）
第四章几何的初步知识
一、线和角
（1）线
*直线-直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
*射线-射线只有一个端点；长度无限。
*线段-线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
*平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
*垂线-两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
-从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类
-锐角：
小于90°的角叫做锐角。
-直角：
等于90°的角叫做直角。
-钝角：
大于90°而小于180°的角叫做钝角。
-平角：
角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。
平角180°。
-周角：
角的一边旋转一周，与另一边重合。
周角是360°。
二、平面图形
1、长方形-对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
2、正方形-四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
3、三角形-由三条线段围成的图形。
内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
（3）分类-按角分
-锐角三角形：
三个角都是锐角。
-直角三角形：
有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
-钝角三角形：
有一个角是钝角。
-按边分
-不等边三角形：
三条边长度不相等。
-等腰三角形：
有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
-等边三角形：
三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4、平行四边形-两组对边分别平行的四边形。
-相对的边平行且相等。
对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。
平行四边形容易变形。
5、梯形-只有一组对边平行的四边形。
-中位线等于上下底和的一半。
-等腰梯形有一条对称轴。
6、圆
（1）圆的认识-平面上的一种曲线图形。
-圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母o表示。
-半径：
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
-在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
-通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
-同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
-同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
-圆的大小由半径决定。
-圆有无数条对称轴。
9、轴对称图形
（1）特征-如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
-正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。
-等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴。
-等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
-菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。
一般平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴
三、立体图形
（一）长方体
-六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
-相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
-有8个顶点。
（二）正方体
-六个面都是正方形-六个面的面积相等-12条棱，棱长都相等-有8个顶点
-正方体可以
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