(完整版)无穷级数练习题.doc
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（完整版）无穷级数练习题
无穷级数习题
一、填空题
1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。
2、幂级数的收敛域为。
3、幂级数的收敛半径。
4、幂级数的收敛域是。
5、级数的收敛域为。
6、级数的和为。
7、。
8、设函数的傅里叶级数展开式为
，则其系数的值为.
9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的敛于。
10、级数的和。
11、级数的收敛域为。
参考答案：
1、2、3、4、5、
6、7、8、9、10、11、
二、选择题
1、设常数,而级数收敛,则级数是（）.
（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛与有关
2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
（A）若条件收敛,则与都收敛。
（B）若绝对收敛，则与都收敛。
（C）若条件收敛，则与的敛散性都不一定.
（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
3、设,若发散，收敛，则下列结论正确的是（）。
（A）收敛，发散。
（B）收敛,发散.
（C）收敛。
（D）收敛。
4、设为常数，则级数是（）
（A）绝对收敛。
（B）条件收敛.（C）发散.（D）收敛性与取值有关。
5、级数（常数）是（）
（A）发散。
（B）条件收敛。
（C） 绝对收敛。
（D）收敛性与有关.
6、设，则级数
（A）与都收敛。
（B）与都发散。
（C）收敛而发散.（D）发散而收敛.
7、已知级数，则级数等于（）。
（A）3。
（B）7.（C）8.（D）9。
8、设函数，而
，
其中，，则等于（）.
（A）。
（B）.（C）。
（D）。
9、设，
其中则等于（）。
（A）。
（B）.（C）。
（D）.
10、设级数收敛，则必收敛的级数为
（A）。
（B）.（C）.（D）.
11、已知级数，,则级数等于（）。
（A）3.（B）7.（C）8。
（D）9。
12、若级数收敛，则级数（）
（A）收敛。
（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛。
13、若在处收敛，则此级数在处（）。
（A）条件收敛。
（B）绝对收敛.（C）发散。
（D）敛散性不能确定.
14、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（）
（A）5.（B）（C）（D）
参考答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
C
B
D
C
C
C
B
C
D
C
D
B
A
三、解答题
1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数,且，证明级数绝对收敛。
【分析一】表明时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的无穷小，这就证明了绝对收敛。
【证明一】由及的连续性.再由在邻域有二阶连续导数及洛必达法则
由函数极限与数列极限的关系
因收敛收敛,即绝对收敛.
2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？
【分析与求解】因单调下降有下界极限。
若，由莱布尼兹法则，并错级数收敛,与假设矛盾,于是.
现在对正项级数可用根值判别法：
因为
所以原级数收敛.
3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
【分析与求解】直接用求收敛半径的公式,先求
于是收敛半径，收敛区间为
当时是正项级数：
而发散,
发散，即时原幂级数发散。
当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
因收敛，
收敛，又收敛收敛,即时原幂级数收敛.
4、
（1）验证函数满足微分方程
；
（2）利用
（1）的结果求幂级数的和函数.
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令,则
原级数
由
，从而时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
，，
于是
级数的线性性质
（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）
（2）因为幂级数的和函数满足微分方程
①
又知②
所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为
特征根为相应齐次方程的通解为
设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得
非齐次方程①的通解为
令,由初始条件②
因此
5、求幂级数的收敛区间与和函数
【分析与求解】这是缺项幂级数，令考察，其中
由
的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为.
下面求和函数：
，
注意，积分两次得
，
因此，
6、求级数的和.
【分析与求解】先将级数分解:
第二个级数是几何级数,它的和已知
求第一个级数的和转化为幂级数求和,考察
因此原级数的和
7、求级数的和.
【分析与求解】先用分解法将原级数分解.
记
要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是，即
于是
因此
8、将函数展为的幂级数。
【分析与求解】容易展开.
由，得
①
在幂级数的收敛区间内可逐项积分得
②
且收敛区间不变，当时，②式右端级数均收敛，而左端在连续,在无定义，因此
9、将函数展开成的幂级数。
【分析与求解】，先求的展开式
积分得
10、设试将展开成的幂级数，并求级数的和.
【分析与求解】关键是将展成幂级数，然后约去因子，再乘上并化简即可.直接将展开办不到，且易展开，即
①
积分得
②
因为右端级数在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立.
现将②式两边同乘得
上式右端当时取值为1，于是
上式中令
11、将函数展成以为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和。
【分析与求解】按傅氏系数公式，先求的傅氏系数与。
因为偶函数
注意到在分段单调，连续且，于是有傅氏展开式
为了求的值,上式中令得
即
现由
12、将函数展开成周期为4的余弦级数.
【分析与求解】这就是将作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得的傅氏系数：
=
由于（延拓后）在分段单调、连续且于是有展开式
13、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。
解：
设
收敛区间
当时，
而发散原级数在处发散。
当时，
记
收敛,又收敛。
故原级数在处收敛收敛域内
14、将函数展开成的幂级数。
分析先将分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。
解：
15、将函数展开成的幂级数，并求级数的和。
分析直接展开较困难，先将展开，再递项积分得出的展开式
解
当时，收敛（莱布尼兹判别法）
当时,收敛
又
16、求幂级数的收敛域及和函数
解：
求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数,则直接用比值判别法求之,设
当,即时，原级数绝对收敛;
当即时，原级数发散。
所以原级数的收敛半径为1,收敛区间是
当时，绝对收敛
同理,当时，绝对收敛，
因此，该级数的收敛域为
17、求幂级数的收敛区间与和函数.
解:
此级数是缺项的幂级数
令
当，即时，级数绝对收敛；
当，即时，级数发散.
级数的收敛区间为
记
18、
（1）讨论级数的敛散性,
（2）已知级数和都收敛，试证明级数绝对敛.
（1）解
收敛
（2）证与都收敛收敛收敛
即绝对收敛。
19、设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一的正实根,并证明当时，级数收敛.
分析
（1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性
（2）用比较判别法证明收敛。
证
（1）取,则在上连续，且
使，
又在上严格递增方程
存在唯一正实根
由且，有
又收敛收敛。
20、设
（1）试证：
（2）试证:
对任意常数，级数收敛。
（1）解直接求的表达式
（2）证令
于是
由于收敛
因此收敛。
21、求级数的收敛域.
【解】因系数故
因此当,即时级数绝对收敛。
当时,得交错级数；当时，得正项级数，二者都收敛，于是原级数的收敛域为
22、已知函数试计算下列各题：
；
【解】用分段积分法,分部积分法和换元积分法，分别可得
；
；
；
利用以上结果,有
23、设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值为。
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；
（2）求级数的和。
【解】
（1）用与分别表示两条抛物线
与与
有两个交点与，如图
令，容易求得，利用定积分还可求得两抛物线围成的平面图形的面积.
（2）因为,
于是
故
24、设，求
【解】由，有
令，因其收敛半径，且，故在内有
于是
令，
即得
从而
25、已知满足（为正整数）,且，求函数项级数之和。
【解】由已知条件可知满足一阶线性微分方程
其通解为
由条件，得，故从而
记，其收敛域为时,有
故
由与在的连续性知，上述和函数公式在处也成立,于是,当时，有
26、
（1）验证函数满足微分方程;
利用的结果求幂级数的和函数。
【解】因为幂级数
的收敛域是,因而可在上逐项求导数，得
所以
（2）与
相应的齐次微分方程为,
其特征方程为，特征根为
因此齐次微分方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得
即有
于是，方程通解为
当时，有
于是幂级数的和函数为
27、求幂级数的和函数及其极值。
【解】将等式逐项求导，得
上式两边从到积分,有
由于,故得到了和函数的表达式
令，可求出函数有惟一驻点,因为
，
可见在点处取得极大值，且极大值为
28、设级数的和函数为，求：
所满足的一阶微分方程；的表在式.
【解】
易见，且幂级数的收敛域为,在上逐项求导，得
因此是初值问题，的解。
方程的通解为
由初始条件求得
故,因此和函数
29、求幂级数在区间内的和函数
【解】不难发现,从而，只需求当时和函数的表达式,注意
其中
逐项求导,得
将上式两端的改写成，并分别从到求定积分,可得
又因，于是
综合以上讨论，即得
1．判别下列级数的敛散性：
解：
1），而收敛,
由比较审敛法知收敛.
2），而发散,
由比较审敛法的极限形式知发散。
3）,
，由比值审敛法知收敛。
4），
，由根值审敛法知收敛。
2．判别下列级数是绝对收敛,条件收敛，还是发散？
；；。
解:
1）对于级数,
由，知级数绝对收敛，
易知条件收敛，故条件收敛。
2）,由，知级数收敛，
故绝对收敛。
3）记，，而发散，故发散，
令，，当时，，故在区间内单
调增加，由此可知,又，故收敛,但非绝对收敛,即为条件收敛。
3．求幂级数的收敛区间.
解:
收敛半径为，
当时，得级数，发散；
当时，得交错级数,收敛。
所求收敛区间为。
4．证明级数当时绝对收敛，当时发散。
注：
数列单调增加，且。
证：
收敛半径，
当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，
当时，得级数,，,因单调增加，且，故，于是得,由此，故级数发散。
5．在区间内求幂级数的和函数。
解:
设（）,，
，
，
（）。
6．求级数的和。
解:
设（）,则
其中，（）。
设，则,
于是，
从而
（）。
因此。
7．把展开成的幂级数,并求级数的和。
解:
（），
（），
因在点处连续，而在点处收敛，
从而（）.
于是。
8．设（）证明
1）存在；2）级数收敛。
证：
1）因，
，
故是单调减少有下界的数列，所以存在。
2）由
（1）知,
记，因存在，故存在，所以收敛,由比较审敛法知收敛.
9．设,
求的值；
试证：
对任意的常数，级数收敛.
证：
1）因为
，
，
所以.
2）因为，所以,
由知收敛，从而收敛。
10．设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？
并说明理由。
解：
级数收敛。
理由：
由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。
若，则由莱布尼兹定理知收敛,与题设矛盾，故.
因为，由根值审敛法知级数收敛。
11．已知[参见教材246页]，计算
解：
由（），
得
。
12．计算。
解：
由,
得，
于是，
从而
27
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