物理高考一轮复习 第1章 第3节 运动图象追及和相遇问题.docx
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物理高考一轮复习第1章第3节运动图象追及和相遇问题
第三节 运动图象、追及和相遇问题
（对应学生用书第9页）
[教材知识速填]
知识点1 直线运动的图象
1．xt图象
（1）物理意义
反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．
（2）两种特殊的xt图象
①若xt图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动．
②若xt图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．
2．vt图象
（1）物理意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．
（2）两种特殊的vt图象
①若vt图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动．
②若vt图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动.
易错判断
（1）无论是xt图象还是vt图象都只能描述直线运动．（√）
（2）xt图象交点表示相遇，vt图象的交点表示速度相同．（√）
（3）xt图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．（×）
知识点2 追及和相遇问题
1．追及问题的两类情况
（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
（2）若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．
2．相遇问题的两类情况
（1）同向运动的两物体追及即相遇．
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
易错判断
（1）两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小．（×）
（2）速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小的匀速运动的汽车相撞．（×）
[教材习题回访]
考查点：
速度—时间图象
1．（人教必修1P33T2改编）（多选）a、b、c三辆汽车在同一平直公路上行驶，它们的vt图象如图1 3 1所示，由图象可知（）
图1 3 1
A．a汽车做匀速直线运动
B．c汽车做匀速直线运动
C．0～4s内a、b两汽车运动方向相同
D．第3s末，b、c两汽车的加速度相同
[答案] AC
考查点：
两类图象比较
2．（鲁科必修1P37T4改编）甲质点做直线运动的s-t图象如图1 3 2（a）所示，乙质点做直线运动的v-t图象如图1 3 2（b）所示．则（）
（a）（b）
图1 3 2
A．甲质点在0～3s内的位移为2m
B．甲质点在0～1s内做匀速直线运动
C．乙质点在0～1s内做匀速直线运动
D．乙质点在1～3s内做匀速直线运动
[答案] C
考查点：
追及相遇问题
3．（鲁科必修1P37T5改编）（多选）在同一地点，甲、乙两物体同时沿同一方向做直线运动的速度—时间图象如图1 3 3所示，对0～6s过程，下列说法正确的是（）
图1 3 3
A．两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末
B．4～6s甲在乙后面
C．两物体相距最远的时刻是2s末
D．乙物体先向前运动2s，随后向后运动
[答案] AB
考查点：
位移—时间图象
4．（人教必修1P41T5改编）如图中图线Ⅰ为某品牌汽车性能
测试时在某段时间内的x-t图象，试通过分析回答以下问题．
（1）由图线Ⅰ尽可能详细地描述0～10s,10～20s,20～40s三段时间内汽车的运动性质（含位移、速度、加速度的大小和方向）；
（2）若图象的纵坐标改为速度v（单位为m/s）、数据不变、重新回答问题
（1）；
（3）若另一辆汽车的x-t图线如Ⅱ所示，试说明两汽车的位置关系．（汽车可看作质点，两汽车分别在靠近的两直线上）
[解析]
（1）在0～10s内，汽车以3m/s的速度沿正方向做匀速直线运动，其加速度为0，位移为30m；在10～20s内，汽车在离原点30m处静止不动；在20～40s内，汽车以1.5m/s的速度沿负方向做匀速直线运动，其加速度为0，位移为－30m.
（2）在0～10s内，汽车以3m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，位移为150m；在10～20s内，汽车以30m/s的速度做匀速直线运动，加速度为0，位移为300m；在20～40s，汽车以－1.5m/s2的加速度，沿正方向做匀减速直线运动，位移为300m.
（3）由x-t图象知，另一汽车静止在距原点20m处，测试汽车从原点处匀速运动，在20m处越过另一汽车到达30m处，停止10s又反向返回，两图线的两次交点均为测试汽车经过另一汽车旁侧对应的位置和时刻．
[答案] 见解析
（对应学生用书第10页）
运动图象的理解
两类图象的比较
x-t图象
v-t图象
轴
纵轴——位移
横轴——时间
纵轴——速度
横轴——时间
线
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
斜率
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
点
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
截距
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
[题组通关]
1．如图1 3 4所示是物体做直线运动的v-t图象．由图可知，该物体（）
图1 3 4
A．第1s内和第3s内的运动方向相反
B．第3s内和第4s内的加速度相同
C．第1s内和第4s内的位移大小不相等
D．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等
B [第1s内和第3s内的速度都为正值，运动方向相同，A项错误；第3s内和第4s内的图象斜率相同，因此加速度相同，B项正确；第1s内和第4s内的位移大小都等于图线与横轴所围面积的大小，大小都为x＝
×1×1m＝0.5m，C项错误；0～2s内的位移和0～4s内的位移相同，但由于时间不同，因此平均速度不同，D项错误．]
2．（2018·山西晋中高三联考）（多选）如图1 3 5甲、乙所示的位移—时间（x-t）图象和速度—时间（v-t）图象中，给出了四条曲线1、2、3、4，代表四个不同物体的运动情况，则下列说法中错误的是（）
【导学号：
84370025】
甲乙
图1 3 5
A．图线1、3表示物体做曲线运动
B．x-t图象中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C．v-t图象中0～t4时间内物体3的速度大于4的速度
D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
ACD [x-t图象和v-t图象只能表示物体做直线运动，故A错误．由平均速度
＝
知x-t图象中0～t1时间内两物体的位移Δx相同，时间Δt相等，则平均速度相等，故B正确．由v-t图象知物体3的瞬时速度不是总大于物体4的瞬时速度，故C错误．x-t图线的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动，斜率小于0，表示物体沿负方向运动，t2时刻之前物体2沿正方向运动，t2时刻之后物体2沿负方向运动，故t2时刻物体2开始反向运动；v-t图象中速度的正负表示运动方向，0～t5这段时间内物体4始终沿正方向运动，故D错误．本题选错误的，故选A、C、D.]
[反思总结] 关于运动图象的三点提醒
（1）xt图象、vt图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应.
（2）xt图象、vt图象的形状由x与t、v与t的函数关系决.
（3）无论是xt图象还是vt图象，所描述的运动都是直线运动.
运动图象的应用
1．读图
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
[多维探究]
考向1 图象的分析判断
1．（2018·高密模拟）设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是（）
[题眼点拨] “单向直线运动”指速度方向不变，与加速度无直接关系．
C [对A项，由位移—时间图象可知，位移随时间先增大后减小，1s后反向运动，故A错误；对B项，由速度—时间图象可知，物体2s内沿正方向运动，2～4s沿负方向运动，方向改变，故B错误；对C项，由图象可知物体在第1s内做匀加速运动，第2s内做匀减速运动，2s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；对D项，由图象可知物体在第1s内做匀加速运动，1～3s内做匀减速运动，2s末速度减为0，第3s内沿负方向运动，不是单向直线运动，故D错误．]
2．A物体从离地面高10m处做自由落体运动，1s后B物体从离地面高15m处做自由落体运动，下面物理图象中对A、B的运动状态描述合理的是（）
【导学号：
84370026】
A [两者都做自由落体运动，速度在增大，C错误；根据公式可得位移是关于时间t的二次函数，D错误；因为A先下落，所以当B开始运动时，A已有了一定的速度，故A正确．]
小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（）
A [由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋
mv2＝E，可变形为x＝－
＋
，由此方程可知图线为开口向左、顶点在（
，0）的抛物线，故选项A正确．]
[反思总结] “三步”巧用图象分析物理问题
（1）认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定横、纵坐标所表示的物理量.
（2）根据题意，结合具体的物理过程，应用相应的物理规律，将题目中的速度、加速度、位移、时间等物理量的关系通过图象准确直观地反映出来.
（3）题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中的三个量的关系，作图时要通过这三个量准确确定图象，然后利用图象对第四个量作出判断.
考向2 图象间的转换
3．（2018·武汉模拟）一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图1 3 6所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的vt图象正确的是（）
图1 3 6
[题眼点拨] ①“由静止开始”指初速度为0；②“开始运动的方向为正”指初始加速度的方向为正．
C [在0～1s内，a1＝1m/s2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度图象是一条直线，1s末速度v1＝a1t＝1m/s，在1～2s内，a2＝－1m/s2，物体将仍沿正方向运动，但要减速，2s末时速度v2＝v1＋a2t＝0,2～3s内重复0～1s内运动情况，3～4s内重复1～2s内运动情况，则C正确．]
4．某物体做直线运动的v-t图象如图1 3 7所示，据此判断四个选项中（F表示物体所受合力，x表示物体的位移）正确的是（）
【导学号：
84370027】
图1 3 7
ABCD
B [根据v-t图象的斜率可知：
0～2s内与6～8s内物体的加速度大小相等、方向相同，故所受合力相同，A错误.2～6s内物体的加速度恒定，合力恒定，且大小与0～2s内的相同，方向与0～2s内相反，B正确．根据v-t图象可知，0～4s内物体先沿正方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，4～8s内先沿负方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，再结合v-t图线包围面积的意义可知，0～4s内物体的位移不断增大，4s末达到最大值，8s末返回到出发点，C、D错误．]
[反思总结] “图象转换”的思路及三个注意点
（1）图象转换是近几年高考的热点，有一定的综合性和拓展空间.其分析思路如下：
（2）转换时要注意以下三点：
①合理划分运动阶段，分阶段进行图象转换；②注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接；③注意图象转换前后核心物理量间的定量关系，如例题中v与a的关系和a与F的关系，这是图象转换的依据.
一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图象如图所示．下列v-t图象中，可以正确描述此物体运动情况的是（）
AB C D
D [由a-t图象可知，0～
时间内，a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0＜0，物体做匀减速运动，选项B、C错误．由于T～2T时间内，a＝－a0＜0，故物体在v0≥0时做匀减速运动，且图线斜率的绝对值与0～
时间内相同，选项A错误，D正确．]
追及和相遇问题
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
（1）一个条件：
即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
（2）两个关系：
即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
2．追及相遇问题常见的三种情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：
（1）A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
（2）要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
（3）若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解答追及相遇问题的三种常用方法
（1）物理分析法：
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．
（2）数学极值法：
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况．
（3）图象法：
将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．
[母题] 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？
此时距离是多少？
（2）什么时候汽车能追上自行车？
此时汽车的速度是多少？
【自主思考】
（1）两车相距最远的条件是什么？
[提示] 两车车速相等
（2）汽车追上自行车的条件是什么？
[提示] 两车位移相等
[解析]
（1）解法一：
（物理分析法）汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝
＝2s
Δx＝v自t1－
at
＝6m.
解法二：
（极值法） 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－
at
代入已知数据得Δx＝6t1－
t
由二次函数求极值的条件知t1＝2s时，Δx有最大值6m.
所以经过t1＝2s后，两车相距最远，为Δx＝6m.
解法三：
（图象法）自行车和汽车的v-t图象如图所示．由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝
＝
s＝2s
Δx＝
＝
m＝6m.
（2）解法一：
当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝
at
解得t2＝
＝
s＝4s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12m/s.
解法二：
由前面画出的v-t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4s，v1′＝at2＝3×4m/s＝12m/s.
[答案]
（1）2s 6m
（2）4s 12m/s
[母题迁移]
迁移1 与运动图象相结合
1．如图1 3 8甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t＝0），A、B两车的v-t图象如图乙所示．已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m.
甲乙
图1 3 8
（1）求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t＝0）两车的距离s0应满足什么条件？
【导学号：
84370028】
[题眼点拨] ①“B车在1s内…距离缩短…”结合vt图象知即为第1s内B车行驶距离；②“距离s0应满足…”即指s0应大于5s内两车位移之差．
[解析]
（1）在t1＝1s时A车刚启动，两车间缩短的距离
x1＝vBt1①
代入数据解得B车的速度vB＝12m/s②
a＝
③
将t2＝5s和其余数据代入解得A车的加速度大小a＝3m/s2.④
（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v-t图象的t2＝5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则
s＝
vB（t1＋t2）⑤
代入数据解得s＝36m⑥
因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离s0应满足条件s0>36m．⑦
[答案]
（1）12m/s 3m/s2
（2）s0＞36m
甲、乙两车从相距110m的两地相向运动，它们的v-t图象如图所示，忽略车掉头所需时间．
（1）求t＝4s时甲、乙两车各自的位移大小；
（2）通过计算说明两车是否相遇．如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的最小距离．
[解析]
（1）由v-t图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小a1＝4m/s2
乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为
a2＝10m/s2和a2′＝30m/s2
t＝4s时甲的位移大小为x1＝v0t－
a1t2＝48m
乙的位移大小为x2＝
×4×30m＝60m.
（2）乙车t＝4s时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙两车此时相距
Δx＝110m－x1－x2＝2m，
甲的速度大小为v1＝v0－a1t＝4m/s
假设两车从t＝4s时再经t1时间能够相遇
乙的位移大小x2′＝
a2′t
甲的位移大小x1′＝v1t1－
a1t
两车相遇应满足x2′＝x1′－Δx
联立并整理得17t
－4t1＋2＝0，由判别式可知方程无解，所以假设不成立，两车不能相遇．
设从t＝4s时再经t2时间两车速度相等，即两车相距最近，有a2′t2＝v1－a1t2，可得t2＝
s
即两车间最小距离
xmin＝
a2′t
＋Δx－（v1t2－
a1t
）＝1.76m.
[答案]
（1）48m 60m
（2）1.76m
迁移2 与实际问题相结合
2．（2018·济宁模拟）A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，其速度vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能停止，问：
B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？
若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【导学号：
84370029】
[解析] 设B车刹车过程的加速度大小为aB，
由v2－v
＝2ax
可得02－302＝2（－aB）×180
解得aB＝2.5m/s2
设经过时间t两车相撞，则有vBt－
aBt2＝x0＋vAt，
即30t－
×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，t1＝8s
此过程中xB＝vBt1－
aBt
＝160m
xA＝vAt1＝80m，
两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5m.
[答案] 不会相撞 5m
甲、乙两车相距40.5m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16m/s，加速度a1＝2m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4m/s，加速度a2＝1m/s2，与甲同向做匀加速直线运动．求：
（1）甲、乙两车相遇前相距的最大距离；
（2）乙车追上甲车经历的时间．
[解析]
（1）甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则
v1－a1t1＝v2＋a2t1
即16－2t1＝4＋t1，解得t1＝4s
对甲车x1＝v1t1－
a1t
＝48m
对乙车x2＝v2t1＋
a2t
＝24m
故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：
xmax＝x0＋x1－x2＝64.5m.
（2）甲车运动的时间t2＝
＝8s
在甲车运动时间内，甲车位移：
x1′＝
t2＝64m
乙车位移x2′＝v2t2＋
a2t
＝64m
故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5m，甲车停止时，乙车的速度v2′＝v2＋a2t2＝12m/s，
故x＝v2′t3＋
a2t
即40.5＝12t3＋
t
，解得t3＝3s
乙车追上甲车的时间t＝t2＋t3＝11s.
[答案]
（1）64.5m
（2）11s
[反思总结] 求解追及问题的“四点”技巧
（1）紧抓“一图三式”，即：
过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式.
（2）追及者与被追及者的速度相等，往往是追上、追不上或二者相距最近、最远的临界条件，也是分析解决问题的突破口.
（3）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否已停止运动.对物体的实际运动情景、运动时间要做出判断.
（4）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.）
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