最新版人教版七年级数学全册知识点.docx
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最新版人教版七年级数学全册知识点
人教版七年级数学全册知识点
第一章:
有理数
知识框架:
正整数
0整数
负整数
有理数
有理数的运算
正分数
分数
负分数
点与数的对应
数
轴
比较大小
基本概念:
1.大于0的数叫做正数。
2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.整数和分数统称为有理数。
4.
人们通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做
数轴。
5.
在直线上任取一个点表示数
0,这个点叫做原点。
6.
一般的,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数
a的绝对值。
7.由绝对值的定义可知:
加法减法
交换律
分配律
结合律
乘法乘方
除法
(1)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
(2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数。
(3)两个负数,绝对值大的反而小。
8.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
9.有理数的加法中,两个数相加,交换交换加数的位置,和不变。
10.有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
11.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
12.有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值向乘。
任何数同0相乘,都得0。
13.有理数中仍然有:
乘积是1的两个数互为倒数。
14.一般的,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
15.一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
16.有理数除法法则
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得
0。
n
17.求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在a中,a叫做底数,n叫做指数
18.根据有理数的乘法法则可以得出
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
显然,正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0。
19.做有理数混合运算时,应注意以下运算顺序:
先乘方,再乘除,最后加减;
同级运算,从左到右进行;
如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
20.
把一个大于10数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,
n是正整数),使用的是科学计数法。
21.
接近实际数字,但是与实际数字还是有差别,这个数是一个
近似数。
22.
从一个数的左边的第一个非
0数字起,到末尾数字止,所有的数字都是这个数的
有效数字。
二:
整式的加减
知识框架:
用字母表示数
单项式
合并同类项
列示表示数量关系整式整式的加减运算
去括号
多项式
基本概念:
1.都是数或字母的积的式子叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个
单项式的次数
。
4.
几个单项的和叫做多项式,其中,每个单项式叫做多项式的
项,不含字母的项叫做
常数项
5.多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
6.把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变。
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
三:
一元一次方程
知识框架:
设未知数
-列方程
数学问题
实际问题
(一元一次方程)
一般步骤:
解去分母
方去括号
作
程移项同类项
答
合并
系数化为一
实际问题
检验
数学问题的解
的答案
(x=a)
基本概念:
1.列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出还有未知数的等式——方程。
2.含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。
3.分析实际问题中的数量关系,利用其中的等量关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。
4.等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
5.
等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以一个不为
0的数,结果仍相等。
6.
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做
移项。
7.应用:
行程问题:
s=v×t工程问题:
工作总量=工作效率×时间
盈亏问题:
利润=售价-成本利率=利润÷成本×100%
售价=标价×折扣数×10%
储蓄利润问题:
利息=本金×利率×时间本息和=本金+利息
四:
图形初步认识
知识框架:
从不同的方向看立体图形
立体图形
平面图形
展开立体图形
几
两点确定一条直线
何
展开
折叠
直线、射线、线段
图
形
两点之间、线段最短
平面图形
角的度量换算
角角的大小比较角的平分线方位角
余角和补角
等角的补角相等
等角的余角相等
基本概念:
1.我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。
2.
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是
立体图形。
3.
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是
平面图形。
4.
将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的
展开图。
5.几何体简称为体。
6.包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种。
7.面与面相交的地方形成线,线和线相交的地方是点。
8.点动成面,面动成线,线动成体。
9.经过探究可以得到一个基本事实:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
简述为:
两点确定一条直线(公理)。
10.当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。
11.点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,点M叫做线段AB的中点。
12.
经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实:
两点的所有连线中,线段最短。
简单说成:
两点之间,线段最短。
(公理)
13.
连接两点间的线段的长度,叫做这两点的
距离。
14.角∠也是一种基本的几何图形。
15.把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°;
把一度的角
60等分,每一份叫做
1分的角,记作
1′;
把1分的角
60等分,每一份叫做
1秒的角,记作
1″。
16.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个
角的平分线。
17.如果两个角的和等于90°(直角),就是说这两个叫互为余角,即其中的每一个角是另一个角的余角。
18.如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角
19.等角的补角相等,等角的余角相等。
第五章相交线与平行线
相交线
相交线垂线
同位角、内错角、同旁
内角
平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线
定义:
____________________________
平行线及其判定
判定1
:
同位角相等,两直线平行
判定2
:
内错角相等,两直线平行
平行线的判定
相交线与平行线
判定3
:
同旁内角互补,两直线平行
判定4
:
平行于同一条直线的两直线平行
性质1:
两直线平行,同位角相等
性质2:
两直线平行,内错角相等
平行线的性质性质3:
两直线平行,同旁内角互补
性质4:
平行于同一条直线的两直线平行
命题、定理
平移
一、知识网络结构
二、知识要点
1、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:
相交和平行,垂直是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有一个公共点,称这两条直线相交;如果
两条直线没有公共点,称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是
21
34
图1
邻补角。
邻补角的性质:
邻补角互补。
如图1所示,∠1与∠2互为邻补角,∠2与∠3互为邻补角,∠3与∠4互为邻补角,∠4与∠1互为邻补角。
∠1+∠2=180°;∠2+∠3=180°;∠3+∠4=180°;∠4+∠1=180°。
4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的
反向延长线
,这样的两个角互为
对
顶角。
对顶角的性质:
对顶角相等。
如图1所示,∠1与∠3互为对顶角,∠
1与∠3互为对顶角。
∠1=∠3;∠2=∠4。
a
b
5、两条直线相交所成的角中,如果有一个是
直角或90°时,称这两条直线互相垂直,
2
1
34
其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示,当∠1或∠2或∠3或∠4=90°时,a⊥b
。
图2
垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
垂线段最短。
性质3:
如图2所示,当a⊥b时,∠1=∠2=∠3=∠4=90°。
点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的
垂线段的长度叫点到直线的距离。
c
2
1
a
34
7
6
5
8
b
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征:
①在两条直线(被截线)的同一方,都在第三条直线(截线)的同一侧,这样
的两个角叫同位角。
图3中,共有4对同位角:
∠1与∠5是同位角;
∠2与∠6是同位角;∠3与∠7是同位角;∠4与∠8是同位角。
②在两条直线(被截线)之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,这样的两个角叫内错角。
图3中,共有2
对内错角:
∠1与∠7是内错角;∠4与∠6是内错角。
③在两条直线(被截线)的之间,都在第三条直线(截线)的同一旁,这样的两个角叫同旁内角。
图3中,共有
2对同旁内角:
∠1与∠6是同旁内角;∠4与∠7是同旁内角。
7、平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等。
如图4所示,如果a∥b,
c
2
3
1
6
4
a
7
5
8
b
性质2
:
两直线平行,内错角相等。
如图
4所示,如果a∥b,则∠1=∠7;∠4=∠6。
图4
性质3
:
两直线平行,同旁内角互补。
如图
4所示,如果a∥b,则∠1+∠6=180°;∠4+∠7=180°。
性质4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则b∥c。
8、平行线的判定:
c
2
3
1
4
65
a
7
8
b
判定1:
同位角相等,两直线平行。
如图5所示,如果∠1=∠5或∠2=∠6或∠3=∠7或图5
∠4=∠8,则a∥b。
判定2:
内错角相等,两直线平行。
如图5所示,如果∠1=∠7或∠4=∠6,则a∥b。
判定3:
同旁内角互补,两直线平行。
如图5所示,如果∠1+∠6=180°或∠4+∠7=180°,则a∥b。
判定4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则b∥c。
9、判断一件事情的语句叫命题。
命题由题设和结论两部分组成,有真命题和假命题之分。
如果题设成
立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;如果题设成立,那么结论不一定成立,这样的命题叫假命
题。
真命题的正确性是经过推理证实的,这样的真命题叫定理,它可以作为继续推理的依据。
10、平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。
平移后,新图形与原图形的形状和大小完全相同,改变的是图形的位置。
平移后得到的新图形中每一点,都
是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
平移性质:
平移前后两个图形中①对应点的连线段平行且相等;②对应线段相等;③对应角相等。
第六章实数
【知识点一】实数的分类
1、按定义分类:
正有理数
实数
有理数
零
负有理数
正无理数
有限小数和无限循环小数
无理数
无限不循环小数
负无理数
2、按性质符号分类:
正有理数
正实数
实数
0
负实数
正无理数
负有理数
负无理数
注:
0既不是正数也不是负数.
【知识点二】实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义:
只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数。
0的相反数是0。
(2)几何意义:
在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数,或数轴上,互为相反数
的两个数所对应的点关于原点对称。
(3)互为相反数的两个数之和等于0。
若a、b互为相反数,则a+b=0。
2.绝对值|a|≥0。
正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值等于0。
3.倒数
(1)0没有倒数
(2)乘积是1的两个数互为倒数。
若a、b互为倒数则ab=1。
4.平方根
(1)如果一个数的平方等于
a,这个数就叫做
a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0
有一个平
方根,它是
0本身;负数没有平方根.
a(a≥0)的平方根记作
a。
(2)一个正数
a的正的平方根,叫做
a的算术平方根。
0的算术平方根是
0。
a(a≥0)的算术平方根记作
a
。
5.立方根
如果x3=a,那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根
是零.a的立方根记作
3
a。
如果两个被开方数互为相反数,则它们的立方根也互为相反数,反之亦然。
即有
3
-a
3
a
。
【知识点三】实数与数轴
数轴定义:
规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可。
【知识点四】实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大。
2.正数都大于0,负数都小于0,两个正数,绝对值较大的那个正数大;两个负数,绝对值大的反而小.
3.无理数的比较大小:
对于开平方,被开方数越大,它的算术平方根越大。
对于开立方,被开方数越大,它
的立方根越大。
其他方法:
有理化法、作差法等。
【知识点五】实数的运算
1.加法
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的
号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得
2.减法:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法
几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有
积为负。
几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。
异号两数相加,取绝对值较大的加数的符
0;一个数同0相加,仍得这个数。
偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,
4.
除法
除以一个数,等于乘上这个数的
倒数。
两个数相除,同号得
正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一
个不等于0的数都得0。
5.
乘方与开方
(1)an所表示的意义是n个a相乘,正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。
(2)正数和0可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和0都可以开立方。
(3)零指数与负指数
【知识点六】有效数字和科学记数法
1.有效数字:
一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字。
2.科学记数法:
把一个数用a10n(1≤a<10,n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法。
第七章平面直角坐标系
一、知识网络结构
有序数对
平面直角坐标系
平面直角坐标系
用坐标表示地理位置
坐标方法的简单应用
用坐标表示平移
二、知识要点
1、有序数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记作(a,b)。
2、平面直角坐标系:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3、横轴、纵轴、原点:
水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角
坐标系的原点。
4、坐标:
对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别
叫点P的横坐标和纵坐标,记作P(a,b)。
5、象限:
两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、
第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6、各象限点的坐标特点①第一象限的点:
横坐标>0,纵坐标>0;②第二象限的点:
横坐标<0,纵坐标>0;
③第三象限的点:
横坐标<0,纵坐标<0;④第四象限的点:
横坐标>0,纵坐标<0。
7、坐标轴上点的坐标特点
①x
轴正半轴上的点:
横坐标
>0,纵坐标
=0;②x
轴负半轴上的点:
横坐标
<0,纵
坐标=0;③y轴正半轴上的点:
横坐标=0,纵坐标>0;④y轴负半轴上的点:
横坐标=0,纵坐标<0;⑤坐标原点:
横坐标=0,纵坐标=0。
(填“>”、“<”或“=”)
8、点
P(a,b)到x
轴的距离是
|b|
,到
y轴的距离是
|a|
。
9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点,横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的两个点,
纵坐标相等,横坐标互为相反数;③关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标分别互为相反数。
10、点P(2,-3)到x轴的距离是3;到y轴的距离是2;点P(2,3)关于x轴对称的点坐标为(2,-3);点P(2,
-3)关于y轴对称的点坐标为(-2,3)。
11、如果两个点的
横坐标相同,则过这两点的直线与
y
轴平行、与
x轴垂直;如果两点的
纵坐标相同,则过
这两点的直线与
x轴平行、与
y轴垂直。
如果点
P(2,3)、Q(2,6),这两点横坐标相同,则
PQ∥y轴,PQ⊥x
轴;如果点
P(-1,2)、Q(4,2),这两点纵坐标相同,则
PQ∥x
轴,PQ⊥y轴。
12、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴的直线上的点的横坐标相同;在一、三象限角平分线上
的点的横坐标与纵坐标
相同;在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。
如果点P(a,b)
在一、
三象限角平分线上,则
P点的横坐标与纵坐标相同,即a=b;如果点P(a,b)在二、四象限角平分线上,则P
点的横坐标与纵坐标互为相反数,即
a=-b。
13、表示一个点(或物体)的位置的方法:
一是准确恰当地建立平面直角坐标系;二是正确写出物体或某地所在的
点的坐标。
选择的坐标原点不同,建立的平面直角坐标系也不同,得到的同一个点的坐标也不同。
14、图形的平移可以转化为点的平移。
坐标平移规律:
①左右平移时,横坐标进行加减