数学建模太阳能小屋的设计模型.docx
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数学建模太阳能小屋的设计模型
太阳能小屋的设计模型
摘要
本文通过附件所提供数据的分析，建立了太阳能小屋的光伏电池的优化铺设的模型，得到了贴附和架空的两种铺设方案，并根据要求设计了一个新的更高效的太阳能小屋，在此基础上分别求出在不同的方案下，小屋铺设的光伏电池在35年寿命期内的发电总量，经济效益，以及投资回收年限。
在对给定小屋仅考虑贴附铺设时，根据可用的逆变器，结合同一种光伏组件不同的串联组合方式，分别给出了光伏组件的可用的串联组合。
针对四个墙面和屋顶的不同的辐射水平，设计了一个判定光伏组件优先顺序的判定因子。
将光伏组件的铺设归结为一个装箱问题，基于光伏组件的优先因子设计了一个贪婪算法，对光伏组件分别在小屋的墙壁和屋顶进行了铺设。
在给定的铺设情况下，顶部可以在7年收回成本，且最后可以有13.7万的收益；东面可以在22年收回成本，且最后可以有0.8万的收益；西面可以在15年收回成本，且最后有2.5万的收益；南面可以在18年收回成本，且最后有1.5万的收益；对于整个房屋来说，可以在11年之内收回成本。
在考虑对给定小屋进行光伏电池的架空铺设时，考虑墙壁铺设的实际情况，采用了在墙壁上进行贴附铺设，而在屋顶进行架空铺设的方案。
针对屋顶的架空，利用太阳角计算法向辐射最值的方法求解太阳辐照的最佳接受角度为
，在此基础上，采用贪婪算法，给出了屋顶的优化铺设算法。
房屋的四周没有变化的情况下，屋顶改进后可以有14.8万的收益，在6年收回成本。
对于整体而言，可在10年收回成本。
设计太阳能小屋的时候，根据前面计算出的每个墙面和屋顶（架空）铺设的优化方案，首先计算了每一面墙和屋顶的单位面积的发电量，然后建立小屋设计的非线性规划模型，通过Lingo9.0软件的计算，给出了太阳能小屋的优化方案。
最后，对所建模型进行评价和改进，并且就太阳能小屋的设计和建造问题给出了具体的建议。
关键词：
光伏电池优先因子贪婪算法非线性优化最佳倾角
一、问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
针对该问题，我们需要研究如下的问题：
（1）根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
（2）：
电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
（3）：
根据附件7给出的小屋建筑要求，为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二、问题分析
对于在绿色小屋上铺设太能电池板最优解的问题，我们可以设定为是多因素限制的一个多变量的规划问题。
太阳能电池由电池板和逆变器构成，两个相互影响，只允许相同型号的光伏组件进行串联，不同型号的光伏组件只能并联。
电池板本身大小固定，很难完全铺设，这些都是限制因素，都要在模型中加以考虑。
根据逆变器的参数调整设计电池组件分组阵列串并联的方式以满足相应的输出电压和总功率，研究电池板型号对应于逆变器的关系来确定电池板的组件；
利用优先因子的办法来给组件排序，优先因子的获取依据光伏电池的大小，转换效率以及价格等因素获得，从而得到对于每个方向的组件的优先顺序。
结合优先因子，设计了一个贪婪算法来给每面墙进行铺设，以获得比较好的铺设方案。
对于最佳太阳辐射倾斜角的问题，我们采用了循环的方式，结合大同市的数据，用逐个尝试的方法来求出一个最优角度。
在问题2的求解基础上，给出了一个每面墙和屋顶的单位面积的产出电量，然后以此为基础，给出了一个设计最优太阳能小屋的非线性优化模型，并求出了结果。
三、基本假设
1.串联的光伏电池水平放置。
2.由于逆变器是一个将直流电转化为交流电的电子设备，不宜放在阳光直射的地方，也不易放在温度较高，温度变化较大的地方，所以我们假设逆变器的安装都是在室内，不会在外观上影响电池板的排布
3.为避免无序排列光伏电池，采用由逆变器控制光伏电池组件，以达到有序排列的目的。
4.光伏电池的铺设建立在35年内有经济收益的基础上。
5.光伏电池转换率低于原有转换率的5%时，光伏电池产生的电量忽略不计。
6.太阳能小屋的设计上，不考虑门的方向。
四、变量说明
E[365][24]---------一年内每天每小时的某一面的辐射量
m[35]--------35个组件对应的转化率
s[35]--------35个组件对应的面积
W---------发电量
η------电池对应的转化率
d-----当地的电价
组件对应逆变器的平均价格
组件对应的成本
太阳时
时角
赤纬角
太阳高度角
--太阳能小屋的长宽高房顶的高度屋顶的长度
太阳能小屋的门的长宽，各个墙面的长贺宽度
五、模型建立和求解
5.1组件优先因子模型
首先将同类型的光伏电池进行适当的串联，基于电池的大小和墙面的尺寸，我们这里仅对行1、2、3个同类型的光伏电池进行串联，然后对每一种串联的组合求解优先因子。
逆变器存在最大允许电压和最大电流，而每块电池板本身也有输出的额定电压和额定电流，所以电流板在连接到逆变器上就会存在限制条件。
通过计算最大的串联电压来设计组件。
通过计算一个逆变器电流的限制来控制组件的并联，
实际上，对于电压相同的逆变器，下一个逆变器的电流都比前一个大，更准确的说，对于电压相同的逆变器，若干的逆变器可以下一个逆变器来取代，已达到降低成本的效果
逆变器
允许电压
一个串联
两个串联
三个串联
SN1
21～32
c6c8c9c10
SN2
21～32
c6c8c9c10
SN3
42～64
a1a2a3a6b2b4b5
c2c11
SN4
42～64
a1a2a3a6b2b4b5c2
c11
SN5
42～64
a1a2a3a6b2b4b5c2c11
SN6
42～64
a1a2a3a6b2b4b5c2
c11
SN7
99～150
c4
c11
a1a2a3a4a5a6b1b2b3b4b5b6
b7c6
SN8
99～150
c4
c11
a1a2a3a4a5a6b1b2b3b4b5b6
b7c6
SN9
99～150
c4
c11
a1a2a3a4a5a6b1b2b3b4b5b6
b7c6
SN10
99～150
c4
c11
a1a2a3a4a5a6b1b2b3b4b5b6b7c6
SN11
180～300
c4
c2c3c5
SN12
180～300
c4
c2c3c5
SN13
180～300
c4
c2c3c5
SN14
180～300
c4
c2c3c5
SN15
180～300
c4
c2c3c5
SN16
180～300
c4
c2c3c5
SN17
250～800
c1
c1
SN18
330～800
c4
根据上表来设计组件出35个组件出来。
如图
组件名称
电池板
长
宽
对应的逆变器
组件1
ｃ６
310
355
ｓｎ１
组件2
ｃ８
615
355
ｓｎ１
组件3
ｃ９
920
355
ｓｎ１
组件4
ｃ１０
818
355
ｓｎ１
组件5
ａ１
1580
808
ｓｎ３
组件6
ａ２
1956
991
ｓｎ３
组件7
ａ３
1580
808
ｓｎ３
组件8
ａ６
1956
991
ｓｎ３
组件9
ｂ２
1956
991
ｓｎ３
组件10
ｂ４
1640
992
ｓｎ３
组件11
ｂ５
1956
992
ｓｎ３
组件12
ｃ２
1321
711
ｓｎ３
组件13
ｃ１１
1645
712
ｓｎ３
组件14
ｃ４
1400
1100
ｓｎ７
长
宽×２（３）
组件15
ｃ１１
3290
712
ｓｎ７
1645
1424
组件16
ｃ４
2800
1100
ｓｎ１１
1400
2200
组件17
ｃ１
2600
1100
ｓｎ１７
1300
2200
组件18
ａ１
4740
808
ｓｎ７
1580
2424
组件19
ａ２
5868
991
ｓｎ７
1956
2973
组件20
ａ４
4953
992
ｓｎ７
1651
2976
组件21
ａ５
4950
991
ｓｎ７
1659
2973
组件22
ａ６
5868
991
ｓｎ７
1956
2973
组件23
ｂ１
4950
991
ｓｎ７
1650
2973
组件24
ｂ２
5868
991
ｓｎ７
1956
2973
组件25
ｂ３
4446
992
ｓｎ７
1482
2976
组件26
ｂ４
4920
992
ｓｎ７
1640
2976
组件27
ｂ５
5868
992
ｓｎ７
1956
2976
组件28
ｂ６
5868
992
ｓｎ７
1956
2976
组件29
ｂ７
5004
1000
ｓｎ７
1668
3000
组件30
ｃ６
930
355
ｓｎ７
310
1065
组件31
ｃ２
3963
711
ｓｎ１１
1321
2133
组件32
ｃ３
4242
1114
ｓｎ１１
1414
3342
组件33
ｃ５
4200
1100
ｓｎ１１
1400
3300
组件34
ｃ１
3900
1100
ｓｎ１７
1300
3300
组件35
ｃ４
4200
1100
ｓｎ１８
1400
3300
右边多出两行是给出串联时电池横放和竖放的长宽。
优先因子模型和求解方法方法如下：
根据给出的35种组件，我们可以求出每个组件对应的功率和面积，
Y是关于性价比的目标函数，代表某一个组件在一个方向上的平均面积纯收益，代表上面程序算出的总发电量。
由Ｙ和
构建一个优先因子模型
Ａ，B是优化因子，根据平均收益和单位发电量的比重来决定，F是优化的目标函数。
（此处假设A=0.65，B=0.35）
对于某一个组件来说，五个方向都存在着这种优化公式，我们通过循环程序来计算出某个组件在五个方向上的总功率，进而求的单位面积上的发电功率（详见附录1）。
然后求出每一个组件在每一个方向的目标函数F，对于同一个方向的Ｆ进行排序，以确定在这个方向上优先考虑哪一个组件，如图（部分排序）
组件名称
电池板
组件9
ｂ２
1956
991
ｓｎ３
组件27
ｂ５
5868
992
ｓｎ７
组件34
ｃ１
3900
1100
ｓｎ１７
组件33
ｃ５
4200
1100
ｓｎ１１
组件32
ｃ３
4242
1114
ｓｎ１１
组件12
ｃ２
1321
711
ｓｎ３
顶部优先考虑以上组件；
组件名称
电池板
组件34
ｃ１
3900
1100
ｓｎ１７
组件14
ｃ４
1400
1100
ｓｎ７
组件32
ｃ３
4242
1114
ｓｎ１１
组件33
ｃ５
4200
1100
ｓｎ１１
组件12
ｃ２
1321
711
ｓｎ３
组件15
ｃ１１
3290
712
ｓｎ７
组件9
ｂ２
1956
991
ｓｎ３
组件13
ｃ１１
1645
712
ｓｎ３
组件35
ｃ４
4200
1100
ｓｎ１８
东面优先考虑以上组件；
组件名称
电池板
组件9
ｂ２
1956
991
ｓｎ３
组件34
ｃ１
3900
1100
ｓｎ１７
1300
3300
组件33
ｃ５
4200
1100
ｓｎ１１
1400
3300
组件32
ｃ３
4242
1114
ｓｎ１１
1414
3342
组件14
ｃ４
1400
1100
ｓｎ７
组件12
ｃ２
1321
711
ｓｎ３
组件17
ｃ１
2600
1100
ｓｎ１７
1300
2200
组件35
ｃ４
4200
1100
ｓｎ１８
1400
3300
西面优先考虑以上组件
组件名称
电池板
组件9
ｂ２
1956
991
ｓｎ３
组件34
ｃ１
3900
1100
ｓｎ１７
1300
3300
组件33
ｃ５
4200
1100
ｓｎ１１
1400
3300
组件32
ｃ３
4242
1114
ｓｎ１１
1414
3342
组件12
ｃ２
1321
711
ｓｎ３
组件14
ｃ４
1400
1100
ｓｎ７
组件17
ｃ１
2600
1100
ｓｎ１７
1300
2200
组件35
ｃ４
4200
1100
ｓｎ１８
1400
3300
组件15
ｃ１１
3290
712
ｓｎ７
1645
1424
南面优先考虑以上组件；
对于北面和北屋顶，任何F目标函数小于零，依次说明在那里铺设任何电板都是亏钱，不存在盈利，所以得出不用在北面和北屋顶铺设电池板的结论。
而且就北面铺设电板所产生的电量也是极少，不足影响其他四个面的电量。
5.2装箱模型
可以将此问题描述为,给定n个组件,分别具有n种类型,每个组件分别具有不同的特性（长度和宽度）;有6个箱子（4面墙和屋顶）,具有六种类型,每面墙和屋顶具有多个窗户和门，在组件的铺设上，需要规避这些门和窗户。
求将组件分铺设在各个墙面上，使得发电量达到最大的最优铺设方案。
这里称这种问题为带有多约束二维复杂装箱模型，这里的多约束是指物品特性和类型对于装箱的约束,以区别于传统装箱问题空间或重量这一单一约束。
由于普通的装箱问题为NP难问题，这里的装箱模型较之普通的装箱问题有更多的约束，它的求解难度只会比普通的装箱问题更难，这里采用贪婪算法，以求得该问题的近似最优解。
5.2.1贪婪算法
（1）首先计算每个组件的优先因子
（2）根据优先因子对组件进行排序
（3）在需要铺设的墙面上优先铺设优先因子大的组件，直至该组件排不开为止，然后选择下一级优先因子的组件进行铺设，直至整个墙面铺满为止。
、
（3）根据墙面铺设的组件的电压的情况进行并联，以降低逆变器的价格。
根据前面计算结果，基于贪婪算法，利用组件对每个面进行铺设，给出一些铺设结果；
南面图116个组件4和10个组件12逆变器：
SN1和SN3
南面图230个组件12和4个组件7逆变器：
SN3
南面图319个组件4和7个组件13逆变器：
SN1和SN3
东面图12个组件9和15个组件12逆变器：
SN3
东面图210个组件9逆变器：
SN3
西面图111个组件9逆变器：
SN3
顶面图125个组件9逆变器：
SN3
5.3贴附的铺设
经过计算比较，优化解为：
方向
电池板构成
逆变器
图像
东面
10个组件9
2个sn4
东面图2
西面
11个组件9
sn6
西面图1
南面
19个组件4和7个组件13
sn1和sn3
南面图3
顶面
25个组件9
sn3，sn5,sn6
顶面图1
在上图给定的铺设情况下，顶部可以有13.7万的收益，在7年收回成本；东面可以有0.8万的收益，在22年收回成本；西面可以有2.5万的收益，在15年收回成本；南面可以有1.5万的收益，在18年收回成本；对于整个房屋来说，可以在11年之内收回成本
5.4架空的铺设方式
5.4.1最佳倾角问题
参考文献可以得知，对于理想状态下，斜面太阳能电池板在倾斜角等于所在地的纬度时会接收到最大辐射量，从而能产生最大的发电量。
由资料可知，大同的纬度在40度左右。
实际情况要通过对大同市的辐射情况来进行计算：
是相对于电池板的法向而言的太阳角的分量，具体的三角函数：
由以上公式，利用C语言设计循环算法来计算哪一个角度才能使架空的太阳能电池板获得最大的辐射量。
（程序详见附录2）
计算出的结果显示，当β=30度时架空的电池板可以接受到最大的辐射量，屋顶一年之内可发出479Kw的电量。
（具体算法，详见附录3）
房屋的四周没有变化，屋顶改进后可以有14.8玩的收益，在6年收回成本。
对于整体而言，可在10年收回成本。
5.5太阳能小屋设计模型：
基于前面问题的求解，我们设计一个单边屋顶的太阳能小屋，如下图所示
为求得该房屋的具体数据，我们基于问题2求解的结果，给出房屋的各个墙面的各个墙壁和屋顶的单位面积下的发电量；作为新设计房屋的每个墙面和屋顶的单位面积的发电量的参考依据，可以求出分别为
，则得到一个非线性的规划模型如下所示：
5.4．1求解结果
X1=24.66667；X2=3.000000；X3=5.400000；X4=0.000000；
Y1=1.234568；Y2=1.234568；；Y3=；1.234568；；Y4=1.234568；Y5=1.234568；Y6=3.583568；Y7=1.234568；Y8=1.234568。
由结果可知，所设计的太阳能小屋是一个平房，屋顶的光伏电池为架空铺设，房屋的门开在北向。
六、模型评价
为求得光伏电池的合理的串并联组合和铺设方式，将该问题转化为一个二维的装箱问题，针对该装箱问题首先对相同类型的光伏电池进行串联，基于房屋的大小和光伏电池的尺寸，给出了一个合适的串联方式，组成了可以选用的组件。
将组件铺设的问题转化成一个二维的装箱问题，对于装箱问题的求解，由于该问题的算法复杂性为NP-难，故而采用了贪婪算法。
该贪婪算法的设计是基于一个组件的优先因子，按照优先因子的大小，优先对值大的进行排序。
取得了很好的结果。
对于架空的铺设方法，首先根据问题的实际情况，确立了仅在屋顶进行架空铺设的原则，然后建模计算出电池的在该地区的最佳倾角作为架空的依据。
采用贪婪算法进行了架空的排列。
对于太阳能小屋的设计，在问题2求解的基础上，给出一个每个墙面和屋顶的单位面积产出电量作为建模的依据，建立了一个非线性的优化模型，设计出了一个太阳能的小屋。
七、建议总结
从模型中可以看出，如果考虑经济效益的话，屋顶铺设光伏电池可以在较短的时间内收回成本，而墙面的铺设经济效益不高，回收年限时间长。
我们提出如下建议：
1.对于太阳能小屋的建设和光伏电池的铺设，应尽量采用屋顶铺设的原则，并采用沿最佳的接受太阳辐射的仰角架空铺设的方法。
2.应加大科研的力度，提高光伏电池的转换效率。
3.发明可以切割的光伏电池板，以提高铺设面的利用效率。
4.发明透明的光伏电池板，以避免窗户，天窗等对铺设的干扰，在保证采光的前提下，提高铺设面的利用效率。
八、参考文献
[1]韩斐，潘玉良，苏忠贤，固定式太阳能光伏板最佳倾角设计方法研究，工程设计学报，第16卷；348页-353页，2009年10月
[2]蒋兴波，吕自庆，刘成城，二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法，软件学报，第20卷；1528页-1538页，2009年6月
[3]姜启元，谢金星，叶俊，数学模型，北京市：
高等教育出版社，2003年8月第3版
九、附件清单
附录1、计算发电量
#include
#include
#include
voidmain（）
{
intm,n,y[35],i;
floata[365][24],x[35],z[35],sum[35]={0.0,0.0};
FILE*fp;
fp=fopen（"e:
\\4.txt","r"）;
if（fp==NULL）
{
printf（"cannotopenthisfile\n"）;
exit（0）;
}
for（m=0;m<365;m++）
for（n=0;n<24;n++）
fscanf（fp,"%f",&a[m][n]）;
fclose（fp）;
fp=fopen（"e:
\\5.txt","r"）;
if（fp==NULL）
{
printf（"cannotopenthisfile\n"）;
exit（0）;
}
for（m=0;m<105;m++）
{
if（m>=0&&m<35）
fscanf（fp,"%d",&y[m]）;
if（m>=35&&m<70）
fscanf（fp,"%f",&z[m-35]）;
if（m>=70&&m<105）
fscanf（fp,"%f",&x[m-70]）;
}
fclose（fp）;
for（i=0;i<35;i++）
for（m=0;m<365;m++）
for（n=0;n<24;n++）
{
if（y[i]==1）
if（a[m][n]<=200）
sum[i]=sum[i]+0;
elsesum[i]=sum[i]+a[m][n]*z[i]*x[i];
if（y[i]==2）
if（a[m][n]>=30）
if（a[m][n]>150||a[m][n]<250）
sum[i]=sum[i]+a[m][n]*z[i]*（x[i]+0.01）;
elsesum[i]=sum[i]+a[m][n]*z[i]*x[i];
if（y[i]==0）
if（a[m][n]>=80）
sum[i]=sum[i]+a[m][n]*z[i]*x[i];
}
for（i=0;i<35;i++）
printf（"%f\n",sum[i]）;
fp=fopen（"e:
\\6.tx
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