数学 实验版教案 五升六15 生活中的最优化问题.docx
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数学实验版教案五升六15生活中的最优化问题
第15讲统筹兼顾
——生活中的最优化问题
[教学内容]
《数学思维训练教程》暑期创新实验版,5年级升6年级第15讲“统筹兼顾——生活中的最优化问题”。
[教学目标]
知识技能
1.学生通过简单事例,初步体会统筹思想在实际问题中的应用。
2.体会解决问题策略的多样性,形成解决问题最优方案的意识。
数学思考
通过观察分析、合作探究让学生感受用不同的方法,进行有条理安排的数学统筹方式。
问题解决
从日常生活中体会时间的重要性,发现最优化的数学问题,并尝试解答。
情感态度
让学生感受到数学在生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
[教学重点和难点]
教学重点
在各种方案中寻求一个最合理,最省事,最节约的方案。
教学难点:
让学生经历探索统筹策略的过程,建立统筹思想。
[教学准备]
动画多媒语言体课件
第一课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、导入
(一)播放动画,引出课题
师:
同学们,今天上课之前,我们先来欣赏一个短篇:
课件播放《田忌赛马》的动画①
师:
从刚才的动画片中,你看到了什么,你能用自己的话来讲一讲这个故事吗?
后来谁赢了?
你认为他取胜的关键是什么?
(学生用自己的话说)
师:
同学们说得很好!
田忌赛马”的故事大家都很熟悉,通过适当的规划安排,三匹不好的马却赛过了三匹好马。
这告诉我们:
事物内部排列组合不同,安排的方案不同,往往会引起结果的不同,所以适当的规划安排,统筹兼顾,往往会达到最优结果。
这节课我们就来学习:
统筹兼顾——生活中的最优化问题。
(二)说明生活中的最优化问题
师:
大家说一说,什么问题是最优化问题呢?
②
师:
最优化问题,是指在日常生活中通过适当的规划安排,使得完成一件事所需的费用最少、时间最短、产值最高等的效率和分配问题,也就是在各种方案中,寻求一个最节约、合理的方案。
师:
听我说了这么多,你知道我们为什么要去寻找最优方案吗?
③
二、合作交流探索研究
师:
下面我们就在实际生活中找找看,都看看生活中会有哪些优化问题。
(一)教学例1
例1:
“城中”植物园成人门票每张8元,儿童票每张5元;两名成人可免费带一名儿童;5人一组的团体票,平均每张4元。
王老师带领5个小朋友来参观,遇见程老师和李老师,他们各带了4个小朋友。
怎样买票花钱最少?
最少要花多少钱?
(1)指名生读题,了解信息
师:
从题中你知道了什么?
你认为怎样花钱少?
为什么?
④
解析:
要想花钱少,应考虑免费的人数,还有买团体票。
(2)同桌合作,尝试设计方案
(3)展示汇报设计方案⑤
学生汇报,师根据学生汇报课件展示或板书:
方案1:
16÷5=3(组)……1(人)
方案2:
16=10+3+3
师:
说的太好了,大家给他们点掌声。
到底哪种方案最省钱呢?
大家算一算。
(4)学生计算
方案1:
16÷5=3(组)……1(人)
一组团体票的钱数:
4×5=20(元)
3组团体票的钱数:
3×20=60(元)
60+5=65(元)
方案2:
16=10+3+3
10÷5=2(组)
2组团体票的钱数:
20×2=40(元)
3名儿童的钱数:
3×5=15(元)
2名大人和1名儿童的钱数:
2×8=16(元)
一共所需钱数:
40+15+16=71(元)
(5)完成题目,选择最优方案
师:
通过计算,说一说哪种更省钱?
为什么团体票比两名成人带一名儿童便宜?
⑥
答案:
总人数:
1+5+(1+4)×2=16(人)
16÷5=3(组)……1(人)
一组团体票的钱数:
4×5=20(元)
3组团体票的钱数:
3×20=60(元)
60+5=65(元)
答:
买3张5人一组的团体票,1张儿童票;最少要花65元。
(6)回顾小结
师:
说一说,解决最优化的方法是什么?
⑦
师:
其实在我们的生活中有好多事情通过合理的安排,从而节省开支或时间。
比如说:
学校旅游租车问题。
(二)教学例2
例2:
学校五年级学生和老师共375人,一起乘甲、乙两种车去旅游,甲车每辆可坐65人,租金500元,乙车每辆可坐26人,租金260元。
要使每人都有一个座位,怎样租车最省钱?
(1)指名生读题,了解信息
师:
要求租车最省钱,你有什么好建议?
为什么?
⑧
师进一步提问:
他说的对吗?
除了尽量租大车,还有什么需要注意的?
⑨
解析:
甲车比较便宜,尽量先考虑甲车,但是也要考虑空座位尽量少。
下一步
(2)同桌合作,尝试设计方案
甲车(辆)
乙车(辆)
费用(元)
6
0
5
2
4
5
……
……
……
横线处可输入文字。
(3)全班汇报交流
答案:
租6辆大车最便宜,租金为:
500×6=3000(元)
答:
租6辆大车最便宜,租金为3000元。
(三)教学例3
例3:
理发店有甲、乙两位理发师,同时来了5位顾客赵、钱、孙、李、王,根据他们所要理的发型,分别需要18、20、23、28、32分钟,怎样安排他们的理发顺序,使这5人理发和等候所用的总时间和最少?
最少要花多少时间?
(1)指名生读题,了解信息
师:
5人理发的总时间变不变化?
等候时间变不变?
⑩
师:
为什么等候时间会变呢?
那要想总时间花的最少只能让什么时间最少?
(2)学生讨论并设计方案
师:
2位同学回答的都很不错。
说明认真思考了。
大家给他们2人一点掌声。
可是现在有2个理发师。
我怎么来把5个人分配一下呢?
大家相互讨论一下,写出自己的方案来。
(3)师生交流,展示学生不同的设计方案
(学生方案可能较多,不一一叙述)
解析:
先分为2组:
甲组和乙组。
考虑到李(28分)和王(32分)时间最长一定分别在2组的最后。
答案:
甲组:
赵(18)→钱(20)→王(32)
18×3+20×2+32×1=126(分)
乙组:
孙(23)→李(28)
23×2+28×1=74(分)
一共时间为:
126+74=200(分)
答:
最少要花200分钟。
(注:
本题解法多样,时间都为200分钟。
其中钱和孙、王和李的位置都可以调换)。
师:
理发问题可真不容易,在我们那么多人的帮助下终于解决了。
例4是怎样的问题呢?
我们一起来看看。
(四)教学例4
例4:
某合唱团必须在17分钟的时间内赶到桥对面的演唱会场,他们只有一只手电筒,一次可以有两人同时过桥,而过桥时必须持有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去,两人同行时以较慢者的速度为准,四人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟、10分钟,问他们要如何过桥,时间才能最短?
(1)学生读题,理解题意
师:
看来我们遇到的问题是越来越难了。
我再请一位同学读下题目,大家把题中的信息好好整理整理。
师:
题目中带给我们哪些信息?
师:
这句话说明什么?
师:
那你希望快的人回来还是慢的人回来?
师:
说的很好,这就是我们第一个要注意的问题。
4个人的时间1分钟、2分钟、5分钟、10分钟的。
你觉得他们如果2人一组过桥,谁和谁结伴过去最好?
解析:
(1)1分钟和2分钟的结伴;5分钟和10分钟结伴;
(2)让速度快的人将手电从对面送回来。
下一步
动画展示4人过桥的过程。
(2)同桌合作,探讨方法
师:
好了,题目中难理解的地方都被我们分析了,剩下来的工作就看你们的了。
同桌相互讨论一下,说说自己是怎么安排的?
(3)全班汇报交流
答案:
2+1+10+2+2=17(分钟)
答:
他们过桥的最短时间为17分钟。
三、教师小结
师:
这节课大家表现得让老师很满意,这节课我们分析的最优化问题常见的类型有哪几种啊?
②学生根据自己的理解说一说什么是最优化问题。
③可以节约时间和成本。
④学生说出题意后能分析出:
要想花钱少,应考虑免费的人
数,还有买团体票。
⑤生1:
首先我算了一下,一共有16人,尽量让他们买团体票。
16÷5=3(组)……1(人)
然后计算钱数。
生2:
我认为没有利用两名成人免费带儿童的条件我是这样设计的:
16=10+3+3
其中3人是2名大人带一名儿童;另外3名是3名儿童;剩下的10人买团体票。
然后计算钱数。
⑥2名大人和1名儿童的钱数:
2×8=16(元)
平均每人16÷3=5.
(元)
5人团体票每人4元,所以团体票更划算。
⑦在分析问题,确定原则的的基础上(例如本题确定花钱最少要想花钱少,应考虑免费的人数,还有买团体票的原则),尝试列出几种方案,然后比较选择最优方案。
⑧要尽量考虑甲车,因为甲车人均500÷65≈7.7(元)
乙车人均260÷26=10(元)甲车便宜。
⑨还需要让空座位尽量少。
⑩生1:
5人理发的总时间不变化,18+20+23+28+32=121(分)
但等候时间会变化。
生2:
因为如果让需要时间短的排在前面,那么其他人等候的时间总和就会少一些。
生1:
一次可以有两人同时过桥,而过桥时必须持有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去。
生2:
每次过去2个人,必须有一个人回来。
生3:
让速度快的人把手电筒从桥对面送回来,所花的时间才会少。
生4:
1分钟和2分钟的结伴;5分钟和10分钟结伴。
生:
买票问题,租车问题、排队问题和过河问题三种。
①把数学中解决问题的最优化问题与故事建立有效的联系,吸引了学生的注意力,为下面的学习打下知识基础和心理基础。
③使学生认识到寻找最优方案的益处。
培养学生观察和总结的能力
第二课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、导入
师:
上一节课我们学习了生活中最优化问题的四种不同类型,从同学们的表现上,老师感觉到每个人都有很大的收获。
不过第一节课的时间过的太快了,想必大家都还没来得及消化消化。
下面的几个大胆闯关的4个小题目,就留给大家自己独立解决。
我看看谁做的又快又好。
二、拓展延伸,大胆闯关
(一)大胆闯关1
1.学校组织同学去春游,有52个同学去划船,每条大船可以坐6人,每小时租金8元,每条小船可以坐4人,每小时租金6元。
(划船时间为1小时)
(1)请你设计三种租船方案(不留空位,又不超载),并算出相应的租金。
(2)请你找出最省钱的方案,并算出价钱。
解析:
不留空位的方案有多种:
方案一:
1条/4人和8条/6人
方案二:
4条/4人和6条/6人
方案三:
7条/4人和4条/6人
方案四:
10条/4人和2条/6人
方案五:
13条/4人
师:
(学生找不全,多找几位学生补充,根据方案让学生自己算价钱)
(2)对比几种方案的价格
方案一:
1×6+8×8=70(元)
方案二:
4×6+6×8=72(元)
方案三:
7×6+4×8=74(元)
方案四:
10×6+2×8=76(元)
方案五:
13×6=78(元)
生:
方案一最节省只要70元。
师:
(引导学生观察大船和小船的单人价格,发现大船单人价格较低。
说明大船租的越多,越省钱)
(二)大胆闯关2
2.门票价目表
从门票价目表可以知道,门票分两种:
个人票每人15元;满30人就可以购买团体票,团体票每人12元。
一个28人的旅游团,怎样购票最省钱呢?
(1)学生讨论
师:
当时我一看这个价目表,我就想坏了。
我们一共才28个人啊?
买个人票,不上算;买团体票,人不够。
这该怎么办?
难道老师我就不能省点钱吗?
大家快商量商量,帮我想想怎么买票?
(相互讨论交流,教师下台听取学生意见)
(2)学生交流
师:
现在只有28个人该怎么买票啊?
大家都来说说你们自己是怎么想的?
老师急需你们给老师出谋划策!
①
师:
谁有没有更省钱的方案了,省下来的钱我给你们买糖吃。
解析:
方案一:
买28张个人票;
方案二:
买一张30人的团体票;
(3)学生独立完成
答案:
个人票:
15×28=420(元)
团体票:
30×12=360(元)
答:
购买团体票更省钱。
(4)拓展延伸
师:
相信大家现在都能明白怎么一回事了吧。
那老师再考考大家一下,如果50人的旅游团呢?
怎么最省钱?
给大家2分钟时间独立思考?
第一个举手并回答正确的同学可以拿到一颗星。
生:
(思考并举手)满30人就可以买团体票,那50个人都买12元/张的团体票,一共花去50×12=600(元)钱。
师:
这位同学反应真的很快。
大家掌声送给他。
(三)大胆闯关3
3.小明骑在牛背上赶牛过河,共有甲乙丙丁四头牛,甲牛过河需1分钟,乙牛过河需2分钟,丙牛过河需5分钟,丁牛过河需6分钟,每次只能赶两头牛过河(包括所骑的一头),那么小明把四头牛全部赶过河,最少要用多少分钟?
(1)复习
师:
这类问题怎么解决?
②
(2)学生根据原则设计方案
师:
你能设计出最省时间的方案吗?
③
解析:
动画展示过河过程。
(3)学生独立完成
时间:
2+1+6+2+2=13(分钟)
过渡语:
刚刚听同学们说的3题,我真正的感觉到同学的学习能力真的很强。
会学、会做,而且讲的都讲的那么好。
如果大家对学习能抱有像这样的热情,我们还怕有什么会学不好的吗?
(四)大胆闯关4
☆4.(选做题)如图所示,在公路上,每隔100千米有一个仓库,共有5个仓库。
1号仓库存有10吨货物,2号仓库存有20吨货物,5号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,若每吨货物运输一千米需0.5元运输费,那么最少要花费多少元运费才行?
④
(看时间上是否允许,可以选择让有兴趣的学生回去思考后来问。
)
解析:
集中放到一个仓库里共有几种不同的方案?
每种方案分别花费多少钱?
答案:
全存在仓库1:
0.5×20×100+0.5×40×400=9000(元)
全存在仓库2:
0.5×10×100+0.5×40×300=6500(元)
全存在仓库3:
0.5×10×200+0.5×20×100+0.5×40×200=6000(元)
全存在仓库4:
0.5×10×300+0.5×20×200+0.5×40×100=5500(元)
全存在仓库5:
0.5×10×400+0.5×20×300=5000(元)
通过计算可知:
全存在仓库5运费最少。
四、小结
师:
今天我们学习了合理安排时间,你有什么收获?
对合理安排时间你有什么看法?
在我们的生活中还有哪些通过合理安排可以节省时间的事例呢?
①方案1:
老师人数不够30人,只能买个人票!
至少需要:
15×28=420(元)
方案2:
买30张票的话,就可以当作12元/张的团体票来买了。
12×30=360(元),虽然张数多买了2张,但是每张票的单价却少了。
所以通过计算我们发现现在的总钱数比420元节省了60元钱。
②每次必须让速度快的牛把从河对面回来,所花的时间才会少;过河时间为1分钟和2分钟的两只牛;5分钟和6分钟的两只牛必须同时过河,所花的时间才会少。
③过河过程如下:
小明骑着过河时间为1分钟和2分钟的两只牛先过河,然后其中一只牛把小明从河对面送回来,接着小明骑着过河时间为5分钟和6分钟的两只牛同时过河,再由已过河的三只牛中速度最快的一只把小明从河对面送回来,最后骑剩下的两只牛同时过桥。
④分5种方案讨论,可以让学生分组求解运费。
教后反思:
本讲教材及练习册答案:
教材:
探究类型1:
买3张5人一组的团体票,1张儿童票;最少要花65元。
探究类型2:
租6辆大车最便宜,租金为3000元。
探究类型3:
甲组:
赵(18)→钱(20)→王(32)
乙组:
孙(23)→李(28)
最少要花200分钟。
(注:
本题解法多样,时间都为200分钟。
其中钱和孙、王和李的位置都可以调换)。
探究类型4:
17分
大胆闯关:
1.
(1)方案一:
1条/4人和8条/6人
方案二:
4条/4人和6条/6人
方案三:
7条/4人和4条/6人
方案四:
10条/4人和2条/6人
方案五:
13条/4人
(2)方案一最节省只要70元。
2.购买团体票更省钱。
3.2+1+6+2+2=13(分)
4.全存在仓库1:
0.5×20×100+0.5×40×400=9000(元)
全存在仓库2:
0.5×10×100+0.5×40×300=6500(元)
全存在仓库3:
0.5×10×200+0.5×20×100+0.5×40×200=6000(元)
全存在仓库4:
0.5×10×300+0.5×20×200+0.5×40×100=5500(元)
全存在仓库5:
0.5×10×400+0.5×20×300=5000(元)
通过计算可知:
全存在仓库5运费最少。
练习册:
1.租5辆大车,1辆小车。
需要租金:
900×5+600×1=5100(元)
答:
租5辆大车,1辆小车最合算,最少需要租金5100元。
2.第一步:
3分钟的灰马和4分钟的黑马先过河;
第二步:
3分钟的灰马回来;
第三步:
6分钟的白马和9分钟的棕马过河;
第四步:
4分钟的黑马回来;
第五步:
3分钟的灰马和4分钟的黑马先过河。
所需时间4+3+9+4+4=24(分)
3.
(1)45÷10=4(组)……5(人)
甲单位买4张10人一张的团体票,买5张个人票最省钱。
最少需要:
4×30+5×=145(元)
答:
甲单位最少需要145元。
(2)208÷10=20(组)……8(人)
买21张团体票。
需要:
21×(30-3)=567(元)
答:
乙单位买21张团体票,最少需要567元。
4.杭州的3吨鱼全部运到乙县,再从宁波运2吨的鱼到乙县,宁波剩下的4吨鱼全部运到甲县。
500×4+500×3+700×2=4900(元)
补充练习:
1、旅游公司租车价目表:
大巴车
限坐44人
租金1350元(往返)
中巴车
限坐23人
租金800元(往返)
小客车
限坐10人
租金500元(往返)
一个28人的旅游团,怎样租车最便宜?
2.一条环形公路上有五个仓库(如图),数字表示各段路的千米数,A仓库存粮50吨,B仓库存粮5吨,C仓库存粮10吨,D仓库存粮35吨,E仓库没有存粮。
现在要调整存放数,每个仓库存粮各20吨。
已知每吨粮运1千米需要6元,那么完成上述调运计划,最节省的方案运费需要多少元?
3.妈妈星期天做家务,用洗衣机洗衣服需要20分钟,洗菜需要3分钟,淘米需要2分钟,用电饭锅做饭需要30分钟,炒菜需要14分钟,晾晒衣服需要5分钟。
妈妈从10点开始做家务,什么时候能做完?
4.小东、小明、小雪三个同学同时来到校医务室,
要使三个人等候时间的总和最短,应该怎么样安排他们的就诊顺序?
5.五名战士去执行任务,河边只有一艘只能坐2人的船。
A战士划船需要4分钟才能过河,B战士划船需要5分钟,C战士划船需要6分钟,D战士划船需要7分钟,E战士划船需要8分钟。
两人同时划船按照划船慢的那个人来算时间。
问5名战士全过河需要多少分钟?
补充练习答案:
1.方案一:
1350×1=1350(元)
方案二:
800×1+500×1=1300(元)
方案三:
500×3=1500(元)
答:
租一辆中巴车,一辆小客车便宜。
2.(15×2+10×3+15×2+3×5)×6=630(元)
3.淘米做饭共用32分钟,做饭的时候可洗衣服,晾晒衣服,洗衣服的同时可以洗菜,炒菜。
所以共用32分钟,到10:
32可以做完。
4.一分钟先就诊,3分钟再就诊,最后5分钟的就诊。
共需要等候1×3+3×2+5=14分。
5.第一步:
4分钟和5分钟先过,4分钟回来;
第二步:
6分钟和7分钟再过,5分钟回来;
第三步:
4分钟和8分钟再过,4分钟回来;
第四步:
4分钟和5分钟最后过去。
一共需要:
5+4+7+5+8+4+5=38(分)