数学 实验版教案 五升六15 生活中的最优化问题.docx
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数学实验版教案五升六15生活中的最优化问题
第15讲统筹兼顾
——生活中的最优化问题
[教学内容]
《数学思维训练教程》暑期创新实验版，5年级升6年级第15讲“统筹兼顾——生活中的最优化问题”。
[教学目标]
知识技能
1.学生通过简单事例，初步体会统筹思想在实际问题中的应用。
2.体会解决问题策略的多样性，形成解决问题最优方案的意识。
数学思考
通过观察分析、合作探究让学生感受用不同的方法，进行有条理安排的数学统筹方式。
问题解决
从日常生活中体会时间的重要性，发现最优化的数学问题，并尝试解答。
情感态度
让学生感受到数学在生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
[教学重点和难点]
教学重点
在各种方案中寻求一个最合理，最省事，最节约的方案。
教学难点：
让学生经历探索统筹策略的过程，建立统筹思想。
[教学准备]
动画多媒语言体课件
第一课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、导入
（一）播放动画，引出课题
师：
同学们，今天上课之前，我们先来欣赏一个短篇：
课件播放《田忌赛马》的动画①
师：
从刚才的动画片中，你看到了什么，你能用自己的话来讲一讲这个故事吗？
后来谁赢了？
你认为他取胜的关键是什么？
（学生用自己的话说）
师：
同学们说得很好!
田忌赛马”的故事大家都很熟悉，通过适当的规划安排，三匹不好的马却赛过了三匹好马。
这告诉我们：
事物内部排列组合不同，安排的方案不同，往往会引起结果的不同，所以适当的规划安排，统筹兼顾，往往会达到最优结果。
这节课我们就来学习：
统筹兼顾——生活中的最优化问题。
（二）说明生活中的最优化问题
师：
大家说一说，什么问题是最优化问题呢？
②
师：
最优化问题，是指在日常生活中通过适当的规划安排，使得完成一件事所需的费用最少、时间最短、产值最高等的效率和分配问题，也就是在各种方案中，寻求一个最节约、合理的方案。
师：
听我说了这么多，你知道我们为什么要去寻找最优方案吗？
③
二、合作交流探索研究
师：
下面我们就在实际生活中找找看，都看看生活中会有哪些优化问题。
（一）教学例1
例1：
“城中”植物园成人门票每张8元，儿童票每张5元；两名成人可免费带一名儿童；5人一组的团体票，平均每张4元。
王老师带领5个小朋友来参观，遇见程老师和李老师，他们各带了4个小朋友。
怎样买票花钱最少？
最少要花多少钱？
（1）指名生读题，了解信息
师：
从题中你知道了什么？
你认为怎样花钱少？
为什么？
④
解析：
要想花钱少，应考虑免费的人数，还有买团体票。
（2）同桌合作，尝试设计方案
（3）展示汇报设计方案⑤
学生汇报，师根据学生汇报课件展示或板书：
方案1：
16÷5＝3（组）……1（人）
方案2：
16＝10＋3＋3
师：
说的太好了，大家给他们点掌声。
到底哪种方案最省钱呢？
大家算一算。
（4）学生计算
方案1：
16÷5＝3（组）……1（人）
一组团体票的钱数：
4×5＝20（元）
3组团体票的钱数：
3×20＝60（元）
60＋5＝65（元）
方案2：
16＝10＋3＋3
10÷5＝2（组）
2组团体票的钱数：
20×2＝40（元）
3名儿童的钱数：
3×5＝15（元）
2名大人和1名儿童的钱数：
2×8＝16（元）
一共所需钱数：
40＋15＋16＝71（元）
（5）完成题目，选择最优方案
师：
通过计算，说一说哪种更省钱？
为什么团体票比两名成人带一名儿童便宜？
⑥
答案：
总人数：
1＋5＋（1＋4）×2＝16（人）
16÷5＝3（组）……1（人）
一组团体票的钱数：
4×5＝20（元）
3组团体票的钱数：
3×20＝60（元）
60＋5＝65（元）
答：
买3张5人一组的团体票，1张儿童票；最少要花65元。
（6）回顾小结
师：
说一说，解决最优化的方法是什么？
⑦
师：
其实在我们的生活中有好多事情通过合理的安排，从而节省开支或时间。
比如说：
学校旅游租车问题。
（二）教学例2
例2：
学校五年级学生和老师共375人，一起乘甲、乙两种车去旅游，甲车每辆可坐65人，租金500元，乙车每辆可坐26人，租金260元。
要使每人都有一个座位，怎样租车最省钱？
（1）指名生读题，了解信息
师：
要求租车最省钱，你有什么好建议？
为什么？
⑧
师进一步提问：
他说的对吗？
除了尽量租大车，还有什么需要注意的？
⑨
解析：
甲车比较便宜，尽量先考虑甲车，但是也要考虑空座位尽量少。
下一步
（2）同桌合作，尝试设计方案
甲车（辆）
乙车（辆）
费用（元）
6
0
5
2
4
5
……
……
……
横线处可输入文字。
（3）全班汇报交流
答案：
租6辆大车最便宜，租金为：
500×6＝3000（元）
答：
租6辆大车最便宜，租金为3000元。
（三）教学例3
例3：
理发店有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客赵、钱、孙、李、王,根据他们所要理的发型，分别需要18、20、23、28、32分钟，怎样安排他们的理发顺序，使这5人理发和等候所用的总时间和最少？
最少要花多少时间?
（1）指名生读题，了解信息
师：
5人理发的总时间变不变化？
等候时间变不变？
⑩
师：
为什么等候时间会变呢？
那要想总时间花的最少只能让什么时间最少？
（2）学生讨论并设计方案
师：
2位同学回答的都很不错。
说明认真思考了。
大家给他们2人一点掌声。
可是现在有2个理发师。
我怎么来把5个人分配一下呢?
大家相互讨论一下，写出自己的方案来。
（3）师生交流，展示学生不同的设计方案
（学生方案可能较多，不一一叙述）
解析：
先分为2组：
甲组和乙组。
考虑到李（28分）和王（32分）时间最长一定分别在2组的最后。
答案：
甲组：
赵（18）→钱（20）→王（32）
18×3＋20×2＋32×1＝126（分）
乙组：
孙（23）→李（28）
23×2＋28×1＝74（分）
一共时间为：
126＋74＝200（分）
答：
最少要花200分钟。
（注：
本题解法多样，时间都为200分钟。
其中钱和孙、王和李的位置都可以调换）。
师：
理发问题可真不容易，在我们那么多人的帮助下终于解决了。
例4是怎样的问题呢？
我们一起来看看。
（四）教学例4
例4：
某合唱团必须在17分钟的时间内赶到桥对面的演唱会场,他们只有一只手电筒,一次可以有两人同时过桥,而过桥时必须持有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去,两人同行时以较慢者的速度为准,四人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟、10分钟,问他们要如何过桥,时间才能最短?
（1）学生读题，理解题意
师：
看来我们遇到的问题是越来越难了。
我再请一位同学读下题目，大家把题中的信息好好整理整理。
师：
题目中带给我们哪些信息？
师：
这句话说明什么？
师：
那你希望快的人回来还是慢的人回来？
师：
说的很好，这就是我们第一个要注意的问题。
4个人的时间1分钟、2分钟、5分钟、10分钟的。
你觉得他们如果2人一组过桥，谁和谁结伴过去最好？
解析：
（1）1分钟和2分钟的结伴；5分钟和10分钟结伴；
（2）让速度快的人将手电从对面送回来。
下一步
动画展示4人过桥的过程。
（2）同桌合作，探讨方法
师：
好了，题目中难理解的地方都被我们分析了，剩下来的工作就看你们的了。
同桌相互讨论一下，说说自己是怎么安排的？
（3）全班汇报交流
答案：
2＋1＋10＋2＋2＝17（分钟）
答：
他们过桥的最短时间为17分钟。
三、教师小结
师：
这节课大家表现得让老师很满意，这节课我们分析的最优化问题常见的类型有哪几种啊？
②学生根据自己的理解说一说什么是最优化问题。
③可以节约时间和成本。
④学生说出题意后能分析出：
要想花钱少，应考虑免费的人
数，还有买团体票。
⑤生1：
首先我算了一下，一共有16人，尽量让他们买团体票。
16÷5＝3（组）……1（人）
然后计算钱数。
生2：
我认为没有利用两名成人免费带儿童的条件我是这样设计的：
16＝10＋3＋3
其中3人是2名大人带一名儿童；另外3名是3名儿童；剩下的10人买团体票。
然后计算钱数。
⑥2名大人和1名儿童的钱数：
2×8＝16（元）
平均每人16÷3＝5.
（元）
5人团体票每人4元，所以团体票更划算。
⑦在分析问题，确定原则的的基础上（例如本题确定花钱最少要想花钱少，应考虑免费的人数，还有买团体票的原则），尝试列出几种方案，然后比较选择最优方案。
⑧要尽量考虑甲车，因为甲车人均500÷65≈7.7（元）
乙车人均260÷26＝10（元）甲车便宜。
⑨还需要让空座位尽量少。
⑩生1：
5人理发的总时间不变化，18＋20＋23＋28＋32＝121（分）
但等候时间会变化。
生2：
因为如果让需要时间短的排在前面，那么其他人等候的时间总和就会少一些。
生1：
一次可以有两人同时过桥，而过桥时必须持有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去。
生2：
每次过去2个人，必须有一个人回来。
生3：
让速度快的人把手电筒从桥对面送回来,所花的时间才会少。
生4：
1分钟和2分钟的结伴；5分钟和10分钟结伴。
生：
买票问题，租车问题、排队问题和过河问题三种。
①把数学中解决问题的最优化问题与故事建立有效的联系，吸引了学生的注意力，为下面的学习打下知识基础和心理基础。
③使学生认识到寻找最优方案的益处。
培养学生观察和总结的能力
第二课时
教学过程：
教学路径
学生活动
方案说明
一、导入
师：
上一节课我们学习了生活中最优化问题的四种不同类型，从同学们的表现上，老师感觉到每个人都有很大的收获。
不过第一节课的时间过的太快了，想必大家都还没来得及消化消化。
下面的几个大胆闯关的4个小题目，就留给大家自己独立解决。
我看看谁做的又快又好。
二、拓展延伸，大胆闯关
（一）大胆闯关1
1.学校组织同学去春游，有52个同学去划船，每条大船可以坐6人，每小时租金8元，每条小船可以坐4人，每小时租金6元。
（划船时间为1小时）
（1）请你设计三种租船方案（不留空位，又不超载），并算出相应的租金。
（2）请你找出最省钱的方案，并算出价钱。
解析：
不留空位的方案有多种：
方案一：
1条/4人和8条/6人
方案二：
4条/4人和6条/6人
方案三：
7条/4人和4条/6人
方案四：
10条/4人和2条/6人
方案五：
13条/4人
师：
（学生找不全，多找几位学生补充，根据方案让学生自己算价钱）
（2）对比几种方案的价格
方案一：
1×6＋8×8＝70（元）
方案二：
4×6＋6×8＝72（元）
方案三：
7×6＋4×8＝74（元）
方案四：
10×6＋2×8＝76（元）
方案五：
13×6＝78（元）
生：
方案一最节省只要70元。
师：
（引导学生观察大船和小船的单人价格，发现大船单人价格较低。
说明大船租的越多，越省钱）
（二）大胆闯关2
2.门票价目表
从门票价目表可以知道，门票分两种：
个人票每人15元；满30人就可以购买团体票，团体票每人12元。
一个28人的旅游团，怎样购票最省钱呢？
（1）学生讨论
师：
当时我一看这个价目表，我就想坏了。
我们一共才28个人啊？
买个人票，不上算；买团体票，人不够。
这该怎么办？
难道老师我就不能省点钱吗？
大家快商量商量，帮我想想怎么买票？
（相互讨论交流，教师下台听取学生意见）
（2）学生交流
师：
现在只有28个人该怎么买票啊？
大家都来说说你们自己是怎么想的？
老师急需你们给老师出谋划策！
①
师：
谁有没有更省钱的方案了,省下来的钱我给你们买糖吃。
解析：
方案一：
买28张个人票；
方案二：
买一张30人的团体票；
（3）学生独立完成
答案：
个人票：
15×28=420（元）
团体票：
30×12=360（元）
答：
购买团体票更省钱。
（4）拓展延伸
师：
相信大家现在都能明白怎么一回事了吧。
那老师再考考大家一下，如果50人的旅游团呢？
怎么最省钱？
给大家2分钟时间独立思考？
第一个举手并回答正确的同学可以拿到一颗星。
生：
（思考并举手）满30人就可以买团体票，那50个人都买12元/张的团体票，一共花去50×12＝600（元）钱。
师：
这位同学反应真的很快。
大家掌声送给他。
（三）大胆闯关3
3.小明骑在牛背上赶牛过河,共有甲乙丙丁四头牛,甲牛过河需1分钟,乙牛过河需2分钟,丙牛过河需5分钟,丁牛过河需6分钟,每次只能赶两头牛过河（包括所骑的一头）,那么小明把四头牛全部赶过河,最少要用多少分钟？
（1）复习
师：
这类问题怎么解决？
②
（2）学生根据原则设计方案
师：
你能设计出最省时间的方案吗？
③
解析：
动画展示过河过程。
（3）学生独立完成
时间：
2＋1＋6＋2＋2＝13（分钟）
过渡语：
刚刚听同学们说的3题，我真正的感觉到同学的学习能力真的很强。
会学、会做，而且讲的都讲的那么好。
如果大家对学习能抱有像这样的热情，我们还怕有什么会学不好的吗？
（四）大胆闯关4
☆4.（选做题）如图所示，在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米需0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？
④
（看时间上是否允许，可以选择让有兴趣的学生回去思考后来问。
）
解析：
集中放到一个仓库里共有几种不同的方案？
每种方案分别花费多少钱？
答案：
全存在仓库1：
0.5×20×100＋0.5×40×400＝9000（元）
全存在仓库2：
0.5×10×100＋0.5×40×300＝6500（元）
全存在仓库3：
0.5×10×200＋0.5×20×100＋0.5×40×200＝6000（元）
全存在仓库4：
0.5×10×300＋0.5×20×200＋0.5×40×100＝5500（元）
全存在仓库5：
0.5×10×400＋0.5×20×300＝5000（元）
通过计算可知：
全存在仓库5运费最少。
四、小结
师：
今天我们学习了合理安排时间，你有什么收获？
对合理安排时间你有什么看法？
在我们的生活中还有哪些通过合理安排可以节省时间的事例呢？
①方案1:
老师人数不够30人，只能买个人票！
至少需要：
15×28＝420（元）
方案2：
买30张票的话，就可以当作12元/张的团体票来买了。
12×30＝360（元），虽然张数多买了2张，但是每张票的单价却少了。
所以通过计算我们发现现在的总钱数比420元节省了60元钱。
②每次必须让速度快的牛把从河对面回来,所花的时间才会少；过河时间为1分钟和2分钟的两只牛；5分钟和6分钟的两只牛必须同时过河,所花的时间才会少。
③过河过程如下:
小明骑着过河时间为1分钟和2分钟的两只牛先过河,然后其中一只牛把小明从河对面送回来,接着小明骑着过河时间为5分钟和6分钟的两只牛同时过河,再由已过河的三只牛中速度最快的一只把小明从河对面送回来,最后骑剩下的两只牛同时过桥。
④分5种方案讨论，可以让学生分组求解运费。
教后反思：
本讲教材及练习册答案：
教材：
探究类型1：
买3张5人一组的团体票，1张儿童票；最少要花65元。
探究类型2：
租6辆大车最便宜，租金为3000元。
探究类型3：
甲组：
赵（18）→钱（20）→王（32）
乙组：
孙（23）→李（28）
最少要花200分钟。
（注：
本题解法多样，时间都为200分钟。
其中钱和孙、王和李的位置都可以调换）。
探究类型4：
17分
大胆闯关：
1.
（1）方案一：
1条/4人和8条/6人
方案二：
4条/4人和6条/6人
方案三：
7条/4人和4条/6人
方案四：
10条/4人和2条/6人
方案五：
13条/4人
（2）方案一最节省只要70元。
2.购买团体票更省钱。
3.2＋1＋6＋2＋2＝13（分）
4.全存在仓库1：
0.5×20×100＋0.5×40×400＝9000（元）
全存在仓库2：
0.5×10×100＋0.5×40×300＝6500（元）
全存在仓库3：
0.5×10×200＋0.5×20×100＋0.5×40×200＝6000（元）
全存在仓库4：
0.5×10×300＋0.5×20×200＋0.5×40×100＝5500（元）
全存在仓库5：
0.5×10×400＋0.5×20×300＝5000（元）
通过计算可知：
全存在仓库5运费最少。
练习册：
1.租5辆大车，1辆小车。
需要租金：
900×5＋600×1＝5100（元）
答：
租5辆大车，1辆小车最合算，最少需要租金5100元。
2.第一步：
3分钟的灰马和4分钟的黑马先过河；
第二步：
3分钟的灰马回来；
第三步：
6分钟的白马和9分钟的棕马过河；
第四步：
4分钟的黑马回来；
第五步：
3分钟的灰马和4分钟的黑马先过河。
所需时间4+3+9+4+4=24（分）
3.
（1）45÷10＝4（组）……5（人）
甲单位买4张10人一张的团体票，买5张个人票最省钱。
最少需要：
4×30＋5×＝145（元）
答：
甲单位最少需要145元。
（2）208÷10＝20（组）……8（人）
买21张团体票。
需要：
21×（30－3）＝567（元）
答：
乙单位买21张团体票，最少需要567元。
4.杭州的3吨鱼全部运到乙县，再从宁波运2吨的鱼到乙县，宁波剩下的4吨鱼全部运到甲县。
500×4＋500×3＋700×2=4900（元）
补充练习：
1、旅游公司租车价目表：
大巴车
限坐44人
租金1350元（往返）
中巴车
限坐23人
租金800元（往返）
小客车
限坐10人
租金500元（往返）
一个28人的旅游团，怎样租车最便宜？
2.一条环形公路上有五个仓库（如图），数字表示各段路的千米数，A仓库存粮50吨，B仓库存粮5吨，C仓库存粮10吨，D仓库存粮35吨，E仓库没有存粮。
现在要调整存放数，每个仓库存粮各20吨。
已知每吨粮运1千米需要6元，那么完成上述调运计划，最节省的方案运费需要多少元？
3.妈妈星期天做家务，用洗衣机洗衣服需要20分钟，洗菜需要3分钟，淘米需要2分钟，用电饭锅做饭需要30分钟，炒菜需要14分钟，晾晒衣服需要5分钟。
妈妈从10点开始做家务，什么时候能做完？
4.小东、小明、小雪三个同学同时来到校医务室，
要使三个人等候时间的总和最短，应该怎么样安排他们的就诊顺序？
5.五名战士去执行任务，河边只有一艘只能坐2人的船。
A战士划船需要4分钟才能过河，B战士划船需要5分钟，C战士划船需要6分钟，D战士划船需要7分钟，E战士划船需要8分钟。
两人同时划船按照划船慢的那个人来算时间。
问5名战士全过河需要多少分钟？
补充练习答案：
1.方案一：
1350×1＝1350（元）
方案二：
800×1＋500×1＝1300（元）
方案三：
500×3＝1500（元）
答：
租一辆中巴车，一辆小客车便宜。
2.（15×2+10×3+15×2+3×5）×6=630（元）
3.淘米做饭共用32分钟，做饭的时候可洗衣服，晾晒衣服，洗衣服的同时可以洗菜，炒菜。
所以共用32分钟，到10:
32可以做完。
4.一分钟先就诊，3分钟再就诊，最后5分钟的就诊。
共需要等候1×3＋3×2＋5＝14分。
5.第一步：
4分钟和5分钟先过，4分钟回来；
第二步：
6分钟和7分钟再过，5分钟回来；
第三步：
4分钟和8分钟再过，4分钟回来；
第四步：
4分钟和5分钟最后过去。
一共需要：
5＋4＋7＋5＋8＋4＋5＝38（分）
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