初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习doc.docx
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初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习
第2章代数式
2.1整式的运算
2.1.1★化简，其中为大于1的事数.
解析原式.
评注本例可推广为一个一般的形式：
2.1.2*计算
（1）;
（2）.
解析
（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合.
原式
（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用公式，但
与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式
T.
原式
2.1.3★设，，求用去除所得的商及余式.
解析1用普通的竖式除法
因此，所求的商，余式.
解析2用待定系数法
由于为3次多项式，首项系数为1,而为次，首项系数为3,故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2,于是可设商式，余式.
根据，得
比较两端系数，得
解得,，，故商式，余式.
2.1.4★已知当时，代数式的值为4,求当时，代数式的值.
解析比较两个代数式，发现它们的相同与不同.
当时，
2.1.5*若，且，试求的值.
解析,，代入
得，故，，所以.
2.1.6*★试确定和，使能被整除.
解析由于，因此，若设
假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即,①
当时，，即
②
由①，②联立，则有
2.1.7★若，求的值.
解析，
所以，.
■
2.1.8★将表示成的形式.
解析
2.1.9★已知，求的值.
解析1由，有
解析2由，有
评注解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法.这两种方法在整式恒等变形中常用.
2.1.】（）★★已知，,,求的值.
解析因为，所以
所以.
所以
2.1.11★★若…求的值.
解析把两个方程相加，得，于是有
9
故或.
2.1.12^★★已知，.求的值.
解析因为，所以，从而.所以
故.
2.1.13^★已知，，,求多项式的值.
解析由
又因为，，，故
原式.
2.1.★已知实数、、、满足，，求的值.
解析由，得
因为，所以.
因而，
2.1.15★★已知，试求的值.
解析多项式的系数和，就是.
2.1.16★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余
8；并且被整除.
解析设这个二次三项式为
①③得
代入②、③得
④⑤得，
代入⑤得.
所求二次三项式为.
2.1.17★未知数、满足
9
其中、表示非零已知数，求、的值.
解析两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式.
将已知等式变形为
即.
所以
因为，所以，.
2.1.★已知、、满足，求证:
解析因为，所以
左边
右边.
2.1.19★已知，证明.解析因为，所以
9
即，
因此，
即.
2.1.20★证明:
解析此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法.令
①
②
则要证的等式变为.
因为
所以将①，②，③相加有
9
所以，
所以
■
2.1.21*★已知,且、、、都是正数，求证:
.解析由已知可得
所以
因为
,,所以
9
所以.
又因为、、、都为正数，所以，，所以
9•
所以
所以.故成立.
2.1.22★★已知,求证
解析用作差法，注意利用的条件.
左右
所以等式成立.
2.2因式分解
2.2.1★分解因式:
（1）;
（2）；
（3）；
（4）.
角军析
（1）原式
（2）原式
（3）原式.
本小题可以稍加变形，解法如下:
原式.
（4）原式
2.2.2★分解因式：
・
解析1
原式
解析2
原式
评注解析2中,
是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要
的.
2.2・3六★分解因式：
解析原式中与的和等于，所以考虑用立方和公式变开后，再进行分解.
原式
2.2.4★★分解因式：
・
解析
原式
3
评注
成立.
如果令”，则有
等号成立的充要条件是.这也是一个常用的结论.
2.2.5^★分解因式:
解析这个多项式的特点是：
有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0,由此想到应用公式来分解.因为
9
所以
原式
评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.
2.2.6★分解因式：
.
解析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
方法1将常数项8拆成.
原式
方法2将一次项拆成.
原式
方法3将三次项拆成.
原式
方法4添加两项.
原式.
评注由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
2.2.7★★分解因式：
（1）;
（2）；
（3）；
（4）.
解析
（1）将拆成.
原式
（2）将拆成.
原式
（3）将拆成.
原式
（4）添加两项.
原式
评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在.
2.2.8★分解因式:
.
解析原式
2.2.9★★分解因式:
解析
原式
2.2.10★★分解因式:
解析
原式
2.2.★分解因式：
・
解析
原式
2.2.12★★分解因式:
解析将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难•我们不妨将看作一个整体，并用字母来替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了.
设,则
原式
评注本题也可将看作一个整体，比如令，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.
2.2.13★★分解因式:
解析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合・原式
令，贝g
原式
评注对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基础・
■
解析令，，则
原式
所以，原式.
2.2.15^★分解因式:
解析令，则
原式
所以，原式
2.2.16^★分解因式:
.
解析令，则
原式
所以，原式.
2.2.17★★分解因式:
解析设，则
原式
评注由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.
2.2.18★★分解因式：
.
解析1
原式
评注本解法实际上是将看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体.
解析2原式
令，贝IJ,于是
原式
2.2.19*★分解因式：
解析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令，，用换元法分解因式.
原式.
令，，则
原式
2.2.20★分解因式:
.
解析原式
其十字相乘图为
评注凡是可以化成或形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式.
对于某些二元二次六项式，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法.其因式分解的步骤是：
首先用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的.
2.2.21*分解因式：
解析原式
其十字相乘图为
2.2.22★分解因式：
解析原式
其十字相乘图为
2.2.23★分解因式：
解析原式
对于形如（为常数），当时，则把与分别相乘后，构成有相同部分：
的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解.
2224★★分解因式：
■
解析
原式
对地形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别先作法，构成具有相同部分的项，再用十字相乘法进行分解.
2.2.25★★分解因式：
解析由于.
若原式可以分解因式，那么它一定是的形式.应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决.
设
比较两边对应项的系数，则有
解之，得，.
所以，原式.
2.2.26★★分解因式：
.
解析这是关于的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于的两个二次式之积.可用待定系数法求之.
设
比较两边对应项的系数，则有
解之，得,.
所以，原式.
如果设原式，那么由待定系数法解题后知关于与的方程组无解，所以设原式.
2.2.27★★为何值时，可以分解成两个一次因式的乘积？
解析因为，所以如果可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是与的形式，其中、都是待定系数.设
比较两边对应项的系数，得
解之，得
因此，当时，可以分解成两个一次因式的乘积.
2.2.28★★分解因式:
.
解析因为
所以，原式
2.2.29*★分解因式:
・
解析这个式子是关于、、的五次齐次对称式，令，则原式.故原式有因式.同理，亦有因式，.这样原式还有一个二次齐次对称式
所以，可设
原式.
当，时，得
•①
当，，时，得
•②
由①式与②式可解得
9•
所以，原式.
2.2.30★★分解因式：
.
解析当时，易知原式，所以原式有因式.同理，与也都是原式的因式.
但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为，故可设
令，，，得.解得.
所以，原式=.
2.2.31>★分解因式:
.
解析所给的式子是一个四次对称式.若令，则原式
所以，原式含有因式.
同理，原式含有因式，.
于是，原式含有因式.
由于原式为四次对称式，故还有因式，其中为待定系数.所以，原式.
比较等式两边的系数，得.
所以，原式.
2.3分式
2.3.1★计算：
（1）;
（2）.
解析
（1）.
（2）
2.3.2★计算:
（2）.解析
（1）.
（2）
2.3.3★★化简分式:
解析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多.
原式
评注本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.
2.3.4★★求分式
当时的值.
解析先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式：
可将分式分步通分，每一步只通分左边两项.
原式
2.3.5★计算：
解析本题如果直接通分化为同分母，去处较繁.而通过分子拆项，分母分解之后，利用，比较简洁.由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差.
原式
2.3.6★已知.求的值.
解析由已知得且可得，即，所以
评注这里利用与互为倒数的特点.巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单.同样地，
2.3.7★已知.求的值.
解析由可得.故
评注本题同样通过将已知的条件作适当变形，代入所求的分式中.由此可看出，在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值.
2.3.8★计算:
.
解析直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及，，三个式子，不妨用换元法.使所求式子的形式变得简单一些.
设，，，贝U,所以
原式
2.3.已知，,.
求的值.
解析因为，两边平方得.已知，所以，.又，所以.
同理，，.故
原式
2.3.10★★若,求
的值.
解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法.
方法1因为，所以、、都不为零.
原式
方法2因为，所以
原式
方法3由，得，将之代入原式
原式
2.3.化简分式：
解析三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.
原式
评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成与两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧.
2.3.12*★若实数、、满足,，,求的值.
解析因为
9
所以
故.从而，.所以.
2.3.13*★已知：
（，且、、不全相等），求
的值.
解析本题字母多，分式复杂•若把条件写成，那么题目只与，,有关，为简化计算，可用换元法求解.
令，，，则分式变为，且由已知有.将两边平方得
由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以，从而有
即所求分式的值为.
评注从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.
2.3.14★★己知，求的值.
解析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式.
设，于是有
所以
2.3.15★★已知，,求的值.解析令,，，于是条件变为
①
.②
由②有
所以.
把①两边平方得
所以,
即.
2.3.16*★已知实数、、满足，，，求的值.
解析因为
所以.
同理可得
结合
可得
9
所以.
结合，，可得.因此，
实际上，满足条件的、、可以分别为、、.
2.3.17>★已知，求下面代数式的值：
解析根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变.利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同.
同理
所以原式.
2.3.★若,求分式
的值.
解析
9
所以，所以，即
原式分子
9
原式分母，
所以原式.
评注本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化.
2.3.19★★若，求的值.
解析1利用比例的性质解决分式问题.
（1）若，由等比定理有
所以
于是有
（2）若，则
于是有
评注比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧
妙地使用，便于问题的求解.
解析2设参数法.令
则
，①
②
•③
①②③有
9
所以，故有或.
当时，
当时,
评注引进一个参数表示以连比形式出现的已知条件，可使已
知条件便于使用.
2.3.20^*一列数，，，…满足对于任意正整数，都有
求的值.
解析当时，有
两式相减，得,
所以，
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