最佳保温层厚度.docx
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最佳保温层厚度
B题：
最佳保温层厚度
摘要
目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，房屋建设过程当中加入保温层确保室内温度尽可能的不受室外的影响。
居民楼的节能性的发展和新型保温材料的使用成为设计者考虑的必要因素,因此保温材料的选择及保温层的厚度,日益成为目前建筑节能的重要课题。
为了既要满足室内有比较适宜的温度（16度～24度），又不造成资源的浪费这两个目的，我们采用了多目标优化的模型求解出最佳的保温层厚度；又在材料的选择过程中采用了模糊综合评价法，选取性价比最高的材料。
在问题1中，对于珍珠岩保温层厚度确定，我们应用热力学导热学学科中的傅里叶定律，求出有无保温层时的热流密度之比与保温层厚度的函数关系。
随着保温层厚度的增加，保温层的隔热效率也相应增加。
要达到保温效果，实际所花费用为建筑材料费用和室内调温费用之和，且室内调温费用跟热流密度有关。
为了达到舒适和节约的要求，我们建立了多目标规化模型，并求解得出最佳保温层厚度为11.2cm，此时保温层的隔热效率达到80%。
在问题2中仅考虑导热系数时，同问题1进行相应的分析，得各种保温材料的隔热能力均随厚度增加而减小，且在厚度相同时，聚氨硬脂板的隔热能力最强。
若考虑导热系数和价格两种因素，依据模糊综合评价法确定各指标在保温材料选择中所占权重，对其进行量化处理，然后再对每个指标分别运算，给出相应的材料性能评价，又对各因素整合选择出最好的保温材料仍为聚氨硬脂板，通过费用关系计算其厚度为10.4cm，此时隔热效率为89%。
关键词：
保温层傅立叶定律隔热效率多目标规划模糊评价
一、问题的提出
目前，城市居民楼很多都是简单的平顶屋，假设屋顶由里向外的结构是0.1（cm）涂料，1.5（cm）水泥砂浆，20（cm）楼板，2（cm）水泥砂浆，珍珠岩保温层，2（cm）水泥砂浆，1（cm）三毡四油防水材料。
北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄氏75度，冬季为摄氏零下40度。
为了保持室内有较好的舒适温度，又不造成浪费，
1）保温层厚度应该为多厚。
2）如果更换保温层成其它保温材料，哪种材料最好，并计算其厚度。
二、问题的分析
在外墙和屋面等围护结构中设置保温层以提高外围护结构热阻，是改善我国目前严寒和严寒地区居住建筑采暖能耗大、热环境差等状况重要的有效的措施。
在保温材料确定的情况下，保温层厚度是决定建筑保温水平的重要参数。
一般随着保温层厚度的增加，围护结构的绝热性能提高，从而降低建筑负荷，采暖设备造价和采暖系统运行费用也相应降低；但同时，围护结构的建造费用也相应增加，因此，一定存在某一特定的保温层厚度，使建筑物总费用最小。
保温层经济厚度的合理计算可以防止因根据经验选择保温层厚度所造成的综合效益损失，因此，研究保温层厚度的计算方法对建筑节能具有重要的现实意义。
建筑物与外界进行热量交换主要通过传导和对流两种途径，一般情况下，密闭性较好的建筑物可忽略对流对其的影响。
在夏天时，屋顶上层温度要高于下层，热量向室内扩散，且温度逐渐递减，要使室内温度维持在一定的舒适温度范围内，就需利用空调等制冷装置进行散热。
而在冬天，室外温度比室内要低，热量往室外扩散，需要暖气对屋内进行供暖从而达到所需要的舒适温度。
若保温层材料未确定，则需综合考虑经济方面及其保温性能等多种方面的因素，可采用模糊综合评价法来确定各指标的权系数，使其更有合理性，更符合客观实际并易于定量表示，从而提高各种材料综合评判结果的准确性。
三、问题的假设
1）热量的传播过程只有传导，没有对流。
即建筑物的密闭性能很好，室内与室外的空气是不流通的。
2）室内温度和室外温度在某一时间段内保持不变，热传导过程处于稳定状态。
即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3）屋顶各层材料之间层次分明，同一层次厚度均匀，且各种材料的导热系数不随温度的变化而变化，为一恒定常量。
4）建筑物仅通过屋顶与外界进行热量交换，建筑物侧面及地面的影响忽略不计。
且冬季燃煤取暖，夏季用空调制冷，其中煤的利用率为100％。
5）涂料的隔热效果可以忽略，即涂料上层和下层的温度相同。
四、符号的约定
Q
热流密度
Q1
有保温层时的热流密度
Q2
无保温层时的热流密度
夏季屋顶的平均热流密度
冬季屋顶的平均热流密度
ΔT
均匀介质两侧的温度差
Ti
第i层上侧的温度（i＝1，2，…，6）
T7
建筑物室内温度
di
第i层厚度（i＝1，2，…，6）
ki
第i层导热系数（i＝1，2，…，6）
W1
保温材料的费用
W2
室内调温的费用
W21
夏季制冷费用
W22
冬季供暖费用
市场上珍珠岩的单位体积的平均售价
L1
每度电的电价
L2
单位千克的煤的价格
空调制冷对屋顶的热流量的贡献效率
每个季节的时间长度
q
单位千克煤产生的热量供给屋顶传热的热量
W
建造屋顶及其后续调温总费用
i＝1，2，…，6：
表示屋顶由外向内依次为三毡四油防水材料、水泥砂
浆、保温层、水泥砂浆、楼板水泥、砂浆
五、模型的建立与求解
5.1问题1：
珍珠岩保温层厚度的确定
5.1.1保温层隔热效率与厚度的关系模型
在上述假设下热传导过程遵从热力学中的傅里叶定律[1]：
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即
（1）
k为热传导系数
按《室内空气质量标准》规定可知，使人体感到舒适的室内温度为16~24度。
冬季时室内温度高于室外，屋顶向外散热，为使室内温度保持相对稳定，需对室内进行供热，为了使取暖费用尽可能低，可使室内温度保持在16度。
而在夏季，室外温度高于室内，外部的热量会进入室内而使室内温度升高，要维持稳
定的舒适温度，就需向外进行散热，考虑到经济性，可使夏季温度稳定在24度。
建筑物与外界的热量传导过程如图1所示，屋顶屋顶各层厚度及各层间的温度示意图如图2所示。
图1建筑物与外界的热量交换示意图
夏季时，室外温度高于室内，热量传入室内，温度由外向内逐层递减。
由于屋顶各层散热量相同。
故通过
（1）式可知热流密度为
（2）
从
（2）式中消去
可得
（3）
若屋顶没有保温层，可得如下方程组
（4）
容易求得无保温层时的热流密度为
（5）
由（3），（5）两式之比，得：
（6）
由（5）式可知，有无保温层时的热流密度之比与温度大小无关，Q1/Q2是以保温层厚度d3为自变量的一个函数。
通过查阅资料，我们可以得出各层材料的导热系数值见表1，
表1各层材料的导热系数表
水泥砂浆
楼板
珍珠岩
三毡四油
导热系数（W/m.K）
0.93
0.706
0.07
0.170
代入（6）式并化简得
（7）
用matlab软件[2]绘图得到Q1/Q2与保温层厚度d3的关系如图3。
图3珍珠岩保温层隔热效率图
由图3不难看出，有无保温层的散热量之比Q1/Q2随保温层厚度d3的增加而减小，且d3越大，散热量之比Q1/Q2的变化趋势越平缓。
因此可得保温层厚度与隔热效率的关系列表如下：
表2保温层厚度与隔热效率的关系表
厚度（cm）
0
5
10
15
20
25
隔热效率
0
64％
78％
84％
88％
90％
考虑到建筑物的承重能力等多种因素，保温层的厚度不宜过大，故可取保温层厚度在10cm～15cm之间，此时的隔热效率为78％～84％。
5.1.2保温费用问题
为了确定保温层的厚度使室内保持有较好的舒适温度（16度~24度），又不造成资源的浪费，就是要减小热流量和节省材料W1和室内调温的费用W2。
我们设耗费材料的费用为W1，显然W1使关于保温层厚度d3的函数。
由市场上销售的珍珠岩保温层以单位体积来计算，因此W1的函数表达式可以表示为：
（8）
为市场上珍珠岩的单位体积的平均售价。
保温层的厚度对房顶的热流密度产生很大影响，因此在夏季和冬季对室内的温度也产生很大的影响，为了保持室内的温度对人体比较适宜，那么必须在夏季采用降温措施，而在冬季采用升温的措施。
而夏季一般采用空调调节室内气温，而冬季以煤的燃烧来获取热量。
因此费用转化为夏季空调调节时产生的费用W21和冬季燃煤产生的热量的费用W22。
夏季调温费用跟屋顶的热流密度是成正比的，屋顶热流密度越大空调的调温功率越大，因此调温费用越高。
我们假设夏季屋顶表面温度的平均值为30度左右，室内温度保持在24度左右。
在这两个温度差条件下，屋顶的平均热流密度
（9）
因此，每年夏季空调的调温费用为
（10）
其中L1为每度电的电价，通常为0.52元/度，
为空调制冷对屋顶的热流量的贡献效率，不妨设定为80％，
为夏季的时间长度。
冬季的供暖费用同样也跟屋顶的热流密度是成正比的，屋顶热流密度越大供暖的热量会消耗更过，供暖费用越高。
同样我们假设冬季的室外平均温度为零下12度左右，室内平均温度为16度左右。
同理得冬季珍珠岩保温层的平均热流密度
，（11）
因此冬季供暖的费用为
（12）
其中L1为单位千克的煤的价格，为1元/千克，q为单位千克煤产生的热量供给屋顶传热的热量，
为冬季的时间长度。
每年调温的总费用为
（13）
对于珍珠岩保温层而言有20年左右的使用寿命，所以调温费用该为20年内的调温费用的总和。
综上所述，建立屋顶及其后续调温总费用为
（14）
5.1.3多目标规化确定保温层厚度
决策要求既要保持室内有较好的舒适温度又要不造成浪费，也就是说要在夏季和冬季室外屋顶表面的温度分别达到极限时，室内温度还得满足在舒适的温度范围之内；建设屋顶费用和后续调温的总费用达到尽可能的低。
这两个目标分别要达到自己的最优。
显然保持室内的温度为适宜温度为第一级目标条件，总费用尽可能地低为第二级目标条件。
设两者之间的权重比5。
因此我们建立起多目标
优化模型[3]。
对于夏季和冬季而言我们设在室外温度达到极限（即75度和-40度）
时，为了保持室内比较适宜的温度屋顶的热流密度的期望值分别是厚度为15cm的热流密度（即隔热效率达到84%左右），分别为
和
。
在20年内费用的期望值也为珍珠岩厚度为15cm时的费用，记为
。
分别给热流密度和费用一个正偏差
和一个负偏差
，其中这两个偏差都是大于等于零。
目标函数加一个负偏差减去正偏差尽可能的等于期望值。
建立的数学模型如下：
s.t.
（15）
而对于同一块珍珠岩保温层而言，要尽量满足温差最大时，屋顶中的热流密度达到尽量的小。
即要满足
和
的取值都为两者最大的那个，而显然上式中的
，所以
；因此上式可以表示为;
s.t.
（16）
通过lingo软件编程求解上式（程序见附录1），
得
m，即珍珠岩保温层的厚度为11.2cm时，可保持室内有较好的舒适温度，且又不造成浪费。
此时的隔热效率为80%，满足题目的要求。
5.2问题2：
更换其它保温材料及其厚度的确定
若更换为其它保温材料，其余各层同问题1，可建立数学模型如下
（17）查阅资料不难得出常用其它保温材料及其导热系数如表3
表3保温材料导热系数表
玻璃棉板
聚氨硬脂板
聚乙烯泡沫
导热系数（W/m.K）
0.05
0.033
0.047
代入数据并化简可得各保温材料
与其厚度
的函数关系式如下
玻璃棉板
（18）
聚氨硬脂板
（19）
聚乙烯泡沫
（20）
用matlab软件绘图可得四种保温材料隔热效率与保温层厚度的关系图如下：
图4各种保温材料的隔热效率图
若仅考虑材料的导热系数，则由图4可以看出，各种保温材料的隔热能力均随厚度增加而减小，且在厚度相同时，聚氨硬脂板的隔热能力最强。
若其厚度为5cm时，有聚氨硬脂板保温层的建筑物隔热量为无保温层时的79％。
若其厚度增加到10cm时，隔热效率可达88％，明显高于同厚度珍珠岩保温层的隔热效率。
在实际选择保温材料时，除了要考虑不同材料的导热系数外，往往还要考虑其单位体积的价格等其它因素。
各种材料的导热系数及价格列表如下：
表4导热系数及价格列表
材料名称
导热系数（W/m.K）
单价（
）
玻璃棉板
0.05
260
聚氨硬脂板
0.033
280
聚乙烯泡沫
0.047
320
珍珠岩
0.07
615
可用模糊综合评价法[3]对其进行评判：
1）对导热系数进行评判：
由于导热系数越高，保温能力越低，故可对四种保温材料的导热系数的倒数进行归一化处理，得到其评价结果为（0.233，0.353，0.248，0.166）。
2）对单价进行评判：
由于单价越高，实际利用价值越低，同样对各单价的倒数进行归一化处理，得到其评价结果为（0.316，0.293，0.257，0.144）。
故其模糊评判矩阵为
3）确定权系数向量。
一般情况下，对保温材料的选择主要要求是同样厚度时保温能力尽可能好，即导热系数越小越好，而对价格多少的要求相对要低一些，可设两个指标的权系数向量为A＝[0.7,0.3]，于是可求得对各保温材料的综合评判结果为
=[0.258,0.335,0.251,0.159]
4）归一化处理。
0.258+0.335+0.251+0.159＝1.003，再用1.003除各项，得
[0.257,0.334,0.250,0.159]，即为对保温材料的最终评判结果。
由模糊综合评价法可知，如果更换保温层成其它保温材料，聚氨硬脂板为最佳材料。
同问题1，可建立如下的数学模型：
s.t.
（21）
用lingo求解（见附录2）可得
m，即聚氨硬脂板的厚度为10.4cm,
此时保温层的隔热效率为89%。
六、进一步讨论
在上述问题中，我们是通过夏季最高温度摄氏75度和冬季最低温度摄氏零下40度两个极值点来确定保温层的厚度，但在一年中，极值点温度出现得天数很少，大部分时间的屋顶温度都在两者之间，这时就需要利用平均温度来确定实际花费的费用。
不过因为在这两个极值点时都保温效果都满足居住舒适度的话，其它条件都会满足的。
在计算过程中，我们还忽略了许多其它的因素，例如通风，还有墙壁和地面的导热。
对于夏季，北方的乡村地区因为绿化条件好，气候调节正常，因此可以不用降温电器或设备，但是在某些城市地区，因为大自然的气候调节效果没有乡村地区明显，且存在热岛效应，因而一般会用降温电器或设备。
而在冬季，无论乡村和城市，都少不了暖气设备。
从节能角度讲，无论是为了夏天减少降温费用，冬天降低取暖费用，都是减少透过屋顶、墙壁和地板的热流量。
目前，计算保温层经济厚度的方法有很多种，包括采暖年平均最小费用法、Lagrange乘子法、生命周期耗费分析法等。
由实际情况可知，保温层经济厚度的影响因素很多，假如其数学模型复杂、参数众多且不易确定，往往会造成使用不便，最终仍然流于经验判定。
因此，应探寻比较接近客观现实，又易于计算的方法。
采用生命周期耗费分析法对建筑物总耗费进行经济分析，是国外使用较多的一种方法，对于我国也具有一定的参考价值。
七、模型的评价与推广
7.1模型的优缺点分析
7.1.1模型的优点
（1）模型建立过程中忽略了一些不必要的因素，从而使模型简洁明了，更容易进行定性分析和定量计算。
（2）利用数学工具，通过lingo和matlab编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。
（3）本文建立的模型与实际紧密联系，充分考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，模型求解简便，有较好的应用前景和推广价值
7.1.2模型的缺点
（1）模型建立过程中忽略了室内和室外的热对流的影响，而且未考虑墙壁及地面对室内温度的影响，精确度较低。
（2）实际生活中，保温材料的导热系数随温度的变化也会发生相应的变化，在该问题中忽略了这些因素的影响。
费用的计算是一个取估算平均值，对模型结果的准确性有一定影响。
7.2模型的推广
通过分析该数学模型，它不仅适用于建筑物屋顶保温层建造，还可应用于门窗结构，恒温库以及其它减震结构的设计，具有广泛的应用推广价值。
参考文献
[1]姜启源等．数学模型．北京：
高等教育出版社，2003
[2]周品等．MATLAB数学建模与仿真．北京：
国防工业出版社，2009
[3]张杰等．运筹学模型与实验.北京：
中国电力出版社，2007
附录
附录1多目标规划求解珍珠岩保温层的lingo程序
min=5*（y1+y2）+y3;
3.57/（0.028+d）+x1-y1=28;
3.92/（0.028+d）+x2-y2=28;
615*d+20*1.110256/（0.028+d）+x3-y3=315;
x1>=0;y1>=0;x2>=0;y2>=0;x3>=0;y3>=0;
结果
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
8
Objectivevalue:
0.000000
VariableValueReducedCost
Y10.0000000.000000
Y20.0000000.000000
Y30.0000000.000000
D0.11200000.000000
X12.5000000.000000
X20.0000000.000000
X387.512000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-1.000000
2-0.3677278E-070.000000
3-0.4037818E-070.000000
4-0.2287244E-060.000000
52.5000000.000000
60.000000-5.000000
70.0000000.000000
80.000000-5.000000
987.512000.000000
100.000000-1.000000
附录2求解聚氨硬脂板保温层的lingo程序
min=5*（y1+y2）+y3;
1.683/（0.00943+d）+x1-y1=28;
1.848/（0.00943+d）+x2-y2=28;
260*d+10*0.3739/（0.00943+d）+x3-y3=60;
x1>=0;y1>=0;x2>=0;y2>=0;x3>=0;y3>=0;
结果
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
8
Objectivevalue:
0.000000
VariableValueReducedCost
Y10.0000000.000000
Y20.0000000.000000
Y30.0000000.000000
D0.10410080.000000
X113.175820.000000
X211.722470.000000
X30.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-1.000000
2-0.1601343E-050.000000
3-0.1758338E-050.000000
4-0.3557593E-050.000000
513.175820.000000
60.000000-5.000000
711.722470.000000
80.000000-5.000000
90.0000000.000000
100.000000-1.000000
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