安徽省枞阳县浮山中学学年高二上学期期中考试数学理试题.docx

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安徽省枞阳县浮山中学学年高二上学期期中考试数学理试题

2019-2020学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1.若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

2.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若1，，0，，则直线l与平面的位置关系是

A.垂直

B.平行

C.相交但不垂直

D.直线l在平面内或直线l与平面平行

3.化简方程为不含根式的形式是     

A.B.C.D.

4.已知圆，直线l：

若圆上有2个点到直线l的距离等于则以下b可能的取值是

A.1B.C.2D.

5.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为  

A.7B.6C.5D.4

6.若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是

A.B.

C.或D.

7.已知直线l：

和点在直线上求一点Q，使过P、Q的直线与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小．则Q坐标为

A.B.C.D.

8.设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为

A.B.C.D.

9.已知双曲线C：

的离心率为2，左右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则的面积为

A.B.C.D.

10.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点    

A.必在圆外B.必在圆上

C.必在圆内D.以上三种情形都有可能

11.已知，Q是椭圆上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是

A.B.

C.D.

12.已知双曲线左焦点为F，P为双曲线右支上一点，若FP的中点在以为半径的圆上，则P的横坐标为

A.B.4C.D.6

二、填空题（本大题共4小题）

13.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．

14.，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为______．

15.已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆：

，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．

16.

如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______．

17.

18.

19.

20.

三、解答题（本大题共6小题）

21.已知一动圆与圆外切，且与圆内切．

22.求动圆圆心P的轨迹方程C；

23.过点能否作一条直线l与C交于A，B两点，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且

32.

求证：

平面BDEF；

求二面角的余弦值．

33.已知椭圆C：

的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．

34.Ⅰ求椭圆C的方程；

35.Ⅱ设不过原点的直线l：

与椭圆C交于A，B两点．

36.若直线与的斜率分别为，，且，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标；

37.若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.已知抛物线，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且．

46.Ⅰ求点P的轨迹方程；

47.Ⅱ试问直线AB是否恒过定点？

若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.已知椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．

56.求椭圆M的方程；

57.若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为．

66.Ⅰ求椭圆C的方程；

67.Ⅱ点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点求证：

与的面积之比为4：

5．

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：

点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用表示，则表示错误；

点A不在直线a上，但只要A，B都在平面内，也存在，答案C错误；而，，则，所以答案D正确．

故选：

D．

本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．

立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．

2.【答案】D

【解析】解：

，

，

直线l在平面内或直线l与平面平行．

故选：

D．

由，即可判断出直线l与平面的位置关系．

本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题．

方程，它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求．

【解答】

解：

方程，

它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为，

从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，

且，，，

其标准方程为：

故选：

C．

4.【答案】C

【解析】解：

圆的圆心坐标为，半径．

要使圆上有2个点到直线l的距离等于1，

则圆心到直线l：

的距离d满足，

即，即，

解得，

结合选项可得b可能的取值是2．

故选：

C．

由题意可得圆心到直线l：

的距离d满足根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数b的取值范围，结合选项得答案．

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，是基础题．

5.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，属于一般题．

由，可得点P在以AB为直径的圆上，又点P在圆C上，则两圆有交点，由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可．

【解答】

解：

圆C：

的圆心，半径为1，

圆心C到的距离为5，

圆C上的点到点O的距离的最大值为6．

再由可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，

可得，故有，

故选：

B．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．

由题意可得可以看作点P到直线m：

与直线l：

距离之和的5倍，

，根据点到直线的距离公式解得即可．

【解答】

解：

设

，

故可以看作点P到直线m：

与直线l：

距离之和的5倍，

取值与x，y无关，

这个距离之和与P无关，

如图所示：

当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，

此时与x，y的值无关，

当直线m与圆相切时，，

化简得，

解得或舍去，

．

故选：

D．

7.【答案】C

【解析】解：

设，则直线PQ：

，

令，则，即直线PQ与x轴交点的坐标为，根据题意，，

所以直线PQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积：

，

当且仅当取等，

此时，

故选：

C．

设出点Q的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积．通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值即可．

本题是函数与直线问题的小综合题，首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系，根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值，体现了转化与化归的思想．

8.【答案】C

【解析】解：

由于O为的中点，Q为线段的中点，

则由中位线定理可得，，

由与以线段为直径的圆相切于点Q，

则，，

由双曲线的定义可得，，

即有，

由，由勾股定理可得，

即，则，即．

的渐近线方程为．

故选：

C．

运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求．

本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题．

9.【答案】B

【解析】解：

双曲线C：

的离心率为2，左，右焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为10a，

不妨A在双曲线右支，

可得：

，，，

解得，，

所以的面积：

．

故选：

B．

利用双曲线的离心率以及定义结合的周长为10a，求出、；然后推出结果．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．

通过可得，利用韦达定理可得、，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．

【解答】

解：

，，

，是方程的两个实根，

由韦达定理：

，，

，

点必在圆内．

故选：

C．

11.【答案】B

【解析】解：

椭圆即，设动点，，则有  ．

，，，，代入化简可得

，

故选：

B．

设动点，，则有  ，由，得到，，代入化简可得结果．

本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键．

12.【答案】C

【解析】

解：

双曲线的，，，，左焦点为，

P为双曲线右支上一点，设，，

设双曲线的右焦点为

，

若FP的中点M在以为半径的圆上，

连接

，OM，由三角形的中位线定理可得

，

双曲线的右准线方程为即，

由双曲线的第二定义可得，

解得．

故选：

C．

求得双曲线的a，b，c和e，设，，设双曲线的右焦点为

，连接

，OM，由三角形的中位线定理可得

，求得双曲线的右准线方程，结合双曲线的第二定义，解方程可得所求横坐标．

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：

双曲线的渐近线方程为，

由一条渐近线方程为，可得，

椭圆的焦点为，，

可得，

由可得，，

即双曲线的方程为，

故答案为：

．

由双曲线的渐近线方程可得，，求得椭圆的焦点，可得，，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：

根据双曲线的定义，可得，

是等边三角形，即，

，

又，

，

中，，，，

，

即，

解得，

，

双曲线的渐近线的渐近线方程为，

故答案为：

根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，可得a，b的关系，即可得到双曲线渐近线方程．

本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．

15.【答案】

【解析】

解：

设，则，

由对称性可得：

，则，

可得，．

相减可得：

，AD斜率之积为．

，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．

，则椭圆的离心率为，

故答案为：

．

设，则，由对称性可得：

，则，由可得，，相减可得：

AB，AD斜率之积为由E，F分别为AB，AD的中点，可得OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．即，即可求得椭圆的离心率．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：

取AC的中点O，连结OP，OB，

，，

平面平面ABC，平面平面，

平面ABC，

又，，

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

是等腰直角三角形，，为直角三角形，

0，，0，，0，，，

0，，，

．

异面直线AC与PD所成角的余弦值为．

故答案为：

．

取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．

本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

17.【答案】解：

设动圆圆心半径为r，

根据题意得：

，

所以，

则动圆圆心P轨迹为双曲线右支，

，，，

其方程为；

设，，

，

，

得，

，

，

，

，

所以，

所以存在这样的直线，且AB：

．

【解析】直接利用条件列出关系式，结合双曲线的定义，求出圆心P的轨迹方程；

利用点差法，就可求出斜率，然后写出直线方程．

考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，利用点差法求出直线的斜率，考查计算能力．本题是中档题，

18.【答案】证明：

设AC、BD交于点O，连结OF、DF，

四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，

，，，

四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，

，

，平面BDEF．

，，平面ABCD，

以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，

设，则0，，0，，1，，0，，

，1，，

，

设平面ABF的法向量y，，

则，取，得，

设平面BCF的法向量y，，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则．

又为钝角，

二面角的余弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．

以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

19.【答案】解：

Ⅰ由题意可得，即，

由直线与圆相切，

可得，解得，

即有椭圆的方程为；

Ⅱ证明：

设，，

将直线代入椭圆，

可得，

即有，

，，

由，

即有，

代入韦达定理，可得，

化简可得，

则直线的方程为，即，

故直线l恒过定点；

由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，

即有，即为

，

可得，

解得，

代入，

可得，且．

由O到直线的距离为，

弦长AB为，

则面积为，

当且仅当，即时，取得最大值．

则面积的取值范围为

【解析】Ⅰ由题意可得，由直线和圆相切的条件：

，可得，进而得到a，即有椭圆方程；

Ⅱ设，，将直线方程代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，可得，进而得到直线恒过定点；

由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，即有，运用韦达定理，可得k，再由点到直线的距离公式和弦长公式，运用三角形的面积公式，结合基本不等式可得面积的最大值，即有面积的取值范围．

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线与圆相切的条件：

，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查三角形的面积的范围，注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：

Ⅰ设，则直线PA：

，代入抛物线方程：

，

因为直线与抛物线相切，所以，分

同理，有，分

所以，分别为方程：

的两个不同的实数根，分

，所以，所以点P的轨迹方程为分

Ⅱ设，，

由，

，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为，，分

又都过点，所以分

所以直线AB的方程为，分

所以直线AB恒过定点分

【解析】Ⅰ直线PA：

，代入抛物线方程，得出，同理，有，，分别为方程：

的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；

Ⅱ求出直线AB的方程，即可得出结论．

本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目．

21.【答案】解：

椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．只有，三个点在椭圆上，所以，，可得，

所以椭圆方程为：

．

点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，设，则，，

，．

的取值范围：

．

【解析】判断椭圆上的3个点，利用已知条件求出椭圆方程．

设出A的坐标，然后转化求解向量的数量积即可．

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，是中档题．

22.【答案】解：

Ⅰ由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：

，

则，，则，

，

椭圆C的方程；

Ⅱ证明：

设，，，，，

则直线AM的斜率，直线DE的斜率，

直线DE的方程：

，

直线BN的斜率，直线BN的方程，

，解得：

，

过E做轴，∽，

则，

则，

：

与的面积之比为4：

5．

【解析】Ⅰ由题意设椭圆方程，由，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则，即可求得椭圆的方程；

Ⅱ由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得，因此可得与的面积之比为4：

5．

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．