安徽省枞阳县浮山中学学年高二上学期期中考试数学理试题.docx
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安徽省枞阳县浮山中学学年高二上学期期中考试数学理试题
2019-2020学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题)
1.若A,B表示点,a表示直线,表示平面,则下列叙述中正确的是
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
2.已知直线l的方向向量,平面的法向量,若1,,0,,则直线l与平面的位置关系是
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.直线l在平面内或直线l与平面平行
3.化简方程为不含根式的形式是
A.B.C.D.
4.已知圆,直线l:
若圆上有2个点到直线l的距离等于则以下b可能的取值是
A.1B.C.2D.
5.已知圆和两点,若圆C上存在点P,使得,则m的最大值为
A.7B.6C.5D.4
6.若对圆上任意一点,的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是
A.B.
C.或D.
7.已知直线l:
和点在直线上求一点Q,使过P、Q的直线与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小.则Q坐标为
A.B.C.D.
8.设是双曲线的一个焦点,,是C的两个顶点,C上存在一点P,使得与以为直径的圆相切于Q,且Q是线段的中点,则C的渐近线方程为
A.B.C.D.
9.已知双曲线C:
的离心率为2,左右焦点分别为,,点A在双曲线C上,若的周长为10a,则的面积为
A.B.C.D.
10.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点
A.必在圆外B.必在圆上
C.必在圆内D.以上三种情形都有可能
11.已知,Q是椭圆上的动点,M是线段PQ上的点,且满足,则动点M的轨迹方程是
A.B.
C.D.
12.已知双曲线左焦点为F,P为双曲线右支上一点,若FP的中点在以为半径的圆上,则P的横坐标为
A.B.4C.D.6
二、填空题(本大题共4小题)
13.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为______.
14.,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线l与双曲线分别交于点A,B,若为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为______.
15.已知O为坐标原点,平行四边形ABCD内接于椭圆:
,点E,F分别为AB,AD的中点,且OE,OF的斜率之积为,则椭圆的离心率为______.
16.
如图,在三棱锥中,为等边三角形,为等腰直角三角形,,平面平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______.
17.
18.
19.
20.
三、解答题(本大题共6小题)
21.已知一动圆与圆外切,且与圆内切.
22.求动圆圆心P的轨迹方程C;
23.过点能否作一条直线l与C交于A,B两点,且点Q是线段AB的中点,若存在,求出直线l方程;若不存在,说明理由.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.如图,已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形,,且
32.
求证:
平面BDEF;
求二面角的余弦值.
33.已知椭圆C:
的焦距为2,左右焦点分别为,,以原点O为圆心,以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切.
34.Ⅰ求椭圆C的方程;
35.Ⅱ设不过原点的直线l:
与椭圆C交于A,B两点.
36.若直线与的斜率分别为,,且,求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标;
37.若直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,求面积的取值范围.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.已知抛物线,过动点P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,且.
46.Ⅰ求点P的轨迹方程;
47.Ⅱ试问直线AB是否恒过定点?
若恒过定点,请求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.已知椭圆,若在,,四个点中有3个在M上.
56.求椭圆M的方程;
57.若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点,且,求的取值范围.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.已知椭圆C的两个顶点分别为,,焦点在x轴上,离心率为.
66.Ⅰ求椭圆C的方程;
67.Ⅱ点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点求证:
与的面积之比为4:
5.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:
点与面的关系用符号,而不是,所以答案A错误;直线与平面的关系用表示,则表示错误;
点A不在直线a上,但只要A,B都在平面内,也存在,答案C错误;而,,则,所以答案D正确.
故选:
D.
本题要正确应用点,线,面之间的关系和符号表示,利用公理一判断即可.
立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化,对公理一要准确理解到位.
2.【答案】D
【解析】解:
,
,
直线l在平面内或直线l与平面平行.
故选:
D.
由,即可判断出直线l与平面的位置关系.
本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的定义,考查方程的几何意义,考查椭圆的标准方程,是个简单题.
方程,它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为10,从而轨迹为椭圆,故可求.
【解答】
解:
方程,
它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为,
从而轨迹为椭圆,焦点在y轴上,
且,,,
其标准方程为:
故选:
C.
4.【答案】C
【解析】解:
圆的圆心坐标为,半径.
要使圆上有2个点到直线l的距离等于1,
则圆心到直线l:
的距离d满足,
即,即,
解得,
结合选项可得b可能的取值是2.
故选:
C.
由题意可得圆心到直线l:
的距离d满足根据点到直线的距离公式求出d,再解绝对值不等式求得实数b的取值范围,结合选项得答案.
本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,绝对值不等式的解法,是基础题.
5.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用,两点距离公式的应用,属于一般题.
由,可得点P在以AB为直径的圆上,又点P在圆C上,则两圆有交点,由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可.
【解答】
解:
圆C:
的圆心,半径为1,
圆心C到的距离为5,
圆C上的点到点O的距离的最大值为6.
再由可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,
可得,故有,
故选:
B.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,属于中档题.
由题意可得可以看作点P到直线m:
与直线l:
距离之和的5倍,
,根据点到直线的距离公式解得即可.
【解答】
解:
设
,
故可以看作点P到直线m:
与直线l:
距离之和的5倍,
取值与x,y无关,
这个距离之和与P无关,
如图所示:
当圆在两直线之间时,P点与直线m,l的距离之和均为m,l的距离,
此时与x,y的值无关,
当直线m与圆相切时,,
化简得,
解得或舍去,
.
故选:
D.
7.【答案】C
【解析】解:
设,则直线PQ:
,
令,则,即直线PQ与x轴交点的坐标为,根据题意,,
所以直线PQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积:
,
当且仅当取等,
此时,
故选:
C.
设出点Q的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积.通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值即可.
本题是函数与直线问题的小综合题,首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系,根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值,体现了转化与化归的思想.
8.【答案】C
【解析】解:
由于O为的中点,Q为线段的中点,
则由中位线定理可得,,
由与以线段为直径的圆相切于点Q,
则,,
由双曲线的定义可得,,
即有,
由,由勾股定理可得,
即,则,即.
的渐近线方程为.
故选:
C.
运用中位线定理,可得,,再由双曲线的定义,以及直线和圆相切的性质,运用勾股定理得到,则C的渐近线方程可求.
本题考查双曲线的定义和性质,考查双曲线渐近线方程的求法,考查直线和圆相切的条件,以及中位线定理和勾股定理的运用,考查运算能力,是中档题.
9.【答案】B
【解析】解:
双曲线C:
的离心率为2,左,右焦点分别为,,点A在双曲线C上.若的周长为10a,
不妨A在双曲线右支,
可得:
,,,
解得,,
所以的面积:
.
故选:
B.
利用双曲线的离心率以及定义结合的周长为10a,求出、;然后推出结果.
本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的基本性质,考查点与圆的位置关系,注意解题方法的积累,属于中档题.
通过可得,利用韦达定理可得、,根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论.
【解答】
解:
,,
,是方程的两个实根,
由韦达定理:
,,
,
点必在圆内.
故选:
C.
11.【答案】B
【解析】解:
椭圆即,设动点,,则有 .
,,,,代入化简可得
,
故选:
B.
设动点,,则有 ,由,得到,,代入化简可得结果.
本题考查用代入法求点的轨迹方程,得到,是解题的关键.
12.【答案】C
【解析】
解:
双曲线的,,,,左焦点为,
P为双曲线右支上一点,设,,
设双曲线的右焦点为
,
若FP的中点M在以为半径的圆上,
连接
,OM,由三角形的中位线定理可得
,
双曲线的右准线方程为即,
由双曲线的第二定义可得,
解得.
故选:
C.
求得双曲线的a,b,c和e,设,,设双曲线的右焦点为
,连接
,OM,由三角形的中位线定理可得
,求得双曲线的右准线方程,结合双曲线的第二定义,解方程可得所求横坐标.
本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的中位线定理,运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:
双曲线的渐近线方程为,
由一条渐近线方程为,可得,
椭圆的焦点为,,
可得,
由可得,,
即双曲线的方程为,
故答案为:
.
由双曲线的渐近线方程可得,,求得椭圆的焦点,可得,,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程.
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:
根据双曲线的定义,可得,
是等边三角形,即,
,
又,
,
中,,,,
,
即,
解得,
,
双曲线的渐近线的渐近线方程为,
故答案为:
根据双曲线的定义算出中,,,由是等边三角形得,利用余弦定理算出,可得a,b的关系,即可得到双曲线渐近线方程.
本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识,根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.
15.【答案】
【解析】
解:
设,则,
由对称性可得:
,则,
可得,.
相减可得:
,AD斜率之积为.
,F分别为AB,AD的中点,且OE,OF的斜率之积为,则OE,OF的斜率之积等于AB,AD斜率之积.
,则椭圆的离心率为,
故答案为:
.
设,则,由对称性可得:
,则,由可得,,相减可得:
AB,AD斜率之积为由E,F分别为AB,AD的中点,可得OE,OF的斜率之积等于AB,AD斜率之积.即,即可求得椭圆的离心率.
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:
取AC的中点O,连结OP,OB,
,,
平面平面ABC,平面平面,
平面ABC,
又,,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
是等腰直角三角形,,为直角三角形,
0,,0,,0,,,
0,,,
.
异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故答案为:
.
取AC的中点O,连结OP,OB,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值.
本题考查异线直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算与求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.
17.【答案】解:
设动圆圆心半径为r,
根据题意得:
,
所以,
则动圆圆心P轨迹为双曲线右支,
,,,
其方程为;
设,,
,
,
得,
,
,
,
,
所以,
所以存在这样的直线,且AB:
.
【解析】直接利用条件列出关系式,结合双曲线的定义,求出圆心P的轨迹方程;
利用点差法,就可求出斜率,然后写出直线方程.
考查曲线轨迹方程的求法,圆的几何性质的应用,利用点差法求出直线的斜率,考查计算能力.本题是中档题,
18.【答案】证明:
设AC、BD交于点O,连结OF、DF,
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形,,且,
,,,
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形,
,
,平面BDEF.
,,平面ABCD,
以OA为x轴,OB为y轴,OF为z轴,建立空间直角坐标系,
设,则0,,0,,1,,0,,
,1,,
,
设平面ABF的法向量y,,
则,取,得,
设平面BCF的法向量y,,
则,取,得,
设二面角的平面角为,
则.
又为钝角,
二面角的余弦值为.
【解析】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
设AC、BD交于点O,连结OF、DF,推导出,,,由此能证明平面BDEF.
以OA为x轴,OB为y轴,OF为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
19.【答案】解:
Ⅰ由题意可得,即,
由直线与圆相切,
可得,解得,
即有椭圆的方程为;
Ⅱ证明:
设,,
将直线代入椭圆,
可得,
即有,
,,
由,
即有,
代入韦达定理,可得,
化简可得,
则直线的方程为,即,
故直线l恒过定点;
由直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,
即有,即为
,
可得,
解得,
代入,
可得,且.
由O到直线的距离为,
弦长AB为,
则面积为,
当且仅当,即时,取得最大值.
则面积的取值范围为
【解析】Ⅰ由题意可得,由直线和圆相切的条件:
,可得,进而得到a,即有椭圆方程;
Ⅱ设,,将直线方程代入椭圆方程,运用判别式大于0,以及韦达定理,结合直线的斜率公式,可得,进而得到直线恒过定点;
由直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,即有,运用韦达定理,可得k,再由点到直线的距离公式和弦长公式,运用三角形的面积公式,结合基本不等式可得面积的最大值,即有面积的取值范围.
本题考查椭圆的方程的求法,注意运用直线与圆相切的条件:
,考查直线恒过定点的求法,注意运用联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,考查三角形的面积的范围,注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式,以及点到直线的距离公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
20.【答案】解:
Ⅰ设,则直线PA:
,代入抛物线方程:
,
因为直线与抛物线相切,所以,分
同理,有,分
所以,分别为方程:
的两个不同的实数根,分
,所以,所以点P的轨迹方程为分
Ⅱ设,,
由,
,所以抛物线在A,B点的切线方程分别为,,分
又都过点,所以分
所以直线AB的方程为,分
所以直线AB恒过定点分
【解析】Ⅰ直线PA:
,代入抛物线方程,得出,同理,有,,分别为方程:
的两个不同的实数根,利用韦达定理求点P的轨迹方程;
Ⅱ求出直线AB的方程,即可得出结论.
本题考查直线与抛物线的位置关系,圆锥曲线方程的综合应用,函数的导数以及切线方程的应用,难度比较大的压轴题目.
21.【答案】解:
椭圆,若在,,四个点中有3个在M上.只有,三个点在椭圆上,所以,,可得,
所以椭圆方程为:
.
点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点,设,则,,
,.
的取值范围:
.
【解析】判断椭圆上的3个点,利用已知条件求出椭圆方程.
设出A的坐标,然后转化求解向量的数量积即可.
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的简单性质的应用,是中档题.
22.【答案】解:
Ⅰ由椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程:
,
则,,则,
,
椭圆C的方程;
Ⅱ证明:
设,,,,,
则直线AM的斜率,直线DE的斜率,
直线DE的方程:
,
直线BN的斜率,直线BN的方程,
,解得:
,
过E做轴,∽,
则,
则,
:
与的面积之比为4:
5.
【解析】Ⅰ由题意设椭圆方程,由,根据椭圆的离心率公式,即可求得c,则,即可求得椭圆的方程;
Ⅱ由题意分别求得DE和BN的斜率及方程,联立即可求得E点坐标,根据三角形的相似关系,即可求得,因此可得与的面积之比为4:
5.
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率公式,相似三角形的应用,考查数形结合思想,属于中档题.