全等三角形题型归类与解析.docx
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全等三角形题型归类与解析
全等三角形难题题型归类及解析
、角平分线型
角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,
常作的辅助线是:
一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平
分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论:
角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。
1.如图,在AABC中,D是边BC上一点,AD平分ZBAC,在AB上截取AE二AC,连结DE,已知DE二2cm,BD=3cm,求线段BC的长。
2.已知:
如图所示,BD为ZABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM丄AD于M,•PN±CD于N,判断PM与PN的关系.
3.已知:
如图E在ZSABC的边AC上,且ZAEB-ZABCo
(1)求证:
ZABE=ZC;
⑵若ZBAE的平分线AF交BE于F,FD〃BC交AC于D,设AB二5,AC=8,求DC
的长。
uuM
6、如图,已知在△ABC中,ZBAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE丄BD于E.
(1)若BD平分ZABC,求证CE=^D;
(2)若D为AC上一动点,ZAED如何变化,若变化,求它的变化范围;
若不变,求出它的度数,并说明理由。
8、如图,在ZXABC中,ZABC=60°,AD、CE分别平分ZBAC、ZACB,求证:
AC二AE+CD・
二、中点型
由中点应产生以下联想:
1、想到中线,倍长中线
2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线
4、三角形的中位线
2、已知:
如图,AABC中,ZABC=45°,CD丄AB于D,BE平分ZABC,且BE丄AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)求证:
BF=AC;
1
(2)求证:
CE=_BF
2
3、如图,AABC中,D是BC的中点,DE丄DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。
(第19题)
込如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE二AC,延长BE交
AC于F,求证:
AF二EF
A
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而最难找的是锐角相等,所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF二DE・求证:
BE〃CF・
2、如图,已知:
AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF・求证:
AC=EF.
3、如图,ZABC=90°,AB=BC,BP为一条射线,AD丄BP,CE丄PB,若AD二4,EC二2.求DE的长。
4.如图ZACB=90°,AC=BC,BE丄CE,AD丄CE于D,AD二2、5cm,DE=1.7cm,求BE的长
5.如图①,E、F分别为线段AC±的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,
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若AB二CD,AF二CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB二MD,ME二MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
6.
如图
(1),已知AABC中,ZBAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、
C在A、E的异侧,BD丄AE于D,CE丄AE于E
(1)试说明:
BD二DE+CE.
⑵若直线AE绕A点旋转到图⑵位置时(BD为什么?
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),CE的关系如何?
请直接写出结果,不需说明.
(4)归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。
用简洁的语言加以说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图,已知AABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且ADEF也是等边三角形.
(2)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
(3)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化
过程.A
2、已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求ZAPE的大小。
3、如图,D是等边ZXABC的边AB上的一动点,以CD
边向上作等边AEDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
4、已知,AABC和AECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证:
BE二AD
5、已知P是等边AABC内的一点,PA=5,PB=4/PC=3/则ZBPC的度数为多少?
6、已知P是正方形ABCD内的一点,PA:
PB:
PC=1:
2:
3,贝iJZAPB的度数为
多少?
五、等腰三角形型
由于等腰三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称
性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答
1、如图所示,已知AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF二AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC丄BF
2.在△ABC中,,AB二AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF二EF.
3.如图所示,已知D是等腰AABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM丄AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.
折叠型
23、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边
AB、CD±),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
1,AAEM的周长二cm;
2求证:
EP二AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),APDM的周长是否发生变化?
请说明理由.