全等三角形题型归类与解析.docx

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全等三角形题型归类与解析

全等三角形难题题型归类及解析

、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性,

常作的辅助线是：

一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平

分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：

角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1.如图，在AABC中，D是边BC上一点，AD平分ZBAC,在AB上截取AE二AC,连结DE,已知DE二2cm,BD=3cm,求线段BC的长。

2.已知：

如图所示，BD为ZABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM丄AD于M,•PN±CD于N,判断PM与PN的关系.

3.已知：

如图E在ZSABC的边AC上，且ZAEB-ZABCo

（1）求证：

ZABE=ZC；

⑵若ZBAE的平分线AF交BE于F,FD〃BC交AC于D,设AB二5,AC=8,求DC

的长。

uuM

6、如图，已知在△ABC中，ZBAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CE丄BD于E.

（1）若BD平分ZABC,求证CE=^D；

（2）若D为AC上一动点，ZAED如何变化，若变化，求它的变化范围;

若不变，求出它的度数，并说明理由。

8、如图，在ZXABC中，ZABC=60°,AD、CE分别平分ZBAC、ZACB,求证：

AC二AE+CD・

二、中点型

由中点应产生以下联想:

1、想到中线，倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

2、已知：

如图，AABC中，ZABC=45°,CD丄AB于D,BE平分ZABC,且BE丄AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.

（1）求证：

BF=AC；

1

（2）求证：

CE=_BF

2

3、如图，AABC中，D是BC的中点，DE丄DF,试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。

（第19题）

込如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE二AC,延长BE交

AC于F,求证：

AF二EF

A

三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图，已知：

AD是BC上的中线，且DF二DE・求证：

BE〃CF・

2、如图，已知：

AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF・求证：

AC=EF.

3、如图，ZABC=90°,AB=BC,BP为一条射线，AD丄BP,CE丄PB,若AD二4,EC二2.求DE的长。

4.如图ZACB=90°,AC=BC,BE丄CE,AD丄CE于D,AD二2、5cm,DE=1.7cm,求BE的长

5.如图①，E、F分别为线段AC±的两个动点，且DE丄AC于E,BF丄AC于F,

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若AB二CD,AF二CE,BD交AC于点M.

（1）求证：

MB二MD,ME二MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由.

6.

如图

（1）,已知AABC中，ZBAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、

C在A、E的异侧，BD丄AE于D,CE丄AE于E

（1）试说明：

BD二DE+CE.

⑵若直线AE绕A点旋转到图⑵位置时（BD

为什么？

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,CE的关系如何？

请直接写出结果，不需说明.

（4）归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。

用简洁的语言加以说明。

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知AABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且ADEF也是等边三角形.

（2）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（3）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？

写出变化

过程.A

2、已知等边三角形ABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P,求ZAPE的大小。

3、如图，D是等边ZXABC的边AB上的一动点，以CD

边向上作等边AEDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由.

4、已知，AABC和AECD都是等边三角形，且点B,C,D在一条直线上.求证：

BE二AD

5、已知P是等边AABC内的一点，PA=5,PB=4/PC=3/则ZBPC的度数为多少？

6、已知P是正方形ABCD内的一点，PA：

PB：

PC=1：

2：

3,贝iJZAPB的度数为

多少?

五、等腰三角形型

由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称

性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答

1、如图所示，已知AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF二AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC丄BF

2.在△ABC中，，AB二AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E，使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF二EF.

3.如图所示，已知D是等腰AABC底边BC上的一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM丄AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系，并给予证明.

折叠型

23、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边

AB、CD±）,使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P,连接EP.

（1）如图②，若M为AD边的中点,

1，AAEM的周长二cm；

2求证：

EP二AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），APDM的周长是否发生变化？

请说明理由.