平面几何讲义讲解.docx

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平面几何讲义讲解

第一章平面几何证题方法通论

1.1概念和命题

1.2逻辑推理概要

13几何命题的证明与三段论

1.4间接证法

1.5综合法和分析法

第二章几何证题方法分论

2.1证线段或角相等

2.1证线段或角的和差倍分

2.3证线段或角的不等

2.4证直线的垂直或平行

2.5证几何定值问题

2.6证线段成比例或等积式

2.7几何证题的其它方法

第一章平面几何证题方法通论

平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的口常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法.

1.1概念和命题

数学总是运用一些抽象的概念，从己知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系.

概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学•正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础.

1.1.1数学概念

概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式，一般有两种方式：

（1）直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来•如自然数的概念，源于对爭物的数数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽彖•观察口常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是下定义的，只能通过具体事例来描述它.

（2）在已有概念的基础上，经过多次层次的抽彖、概拾而形成新的概念，在数学上称为概念的定义.

数学中人量的概念都是要定义的.定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明确概念的逻辑方法.例如，平行四边形的定义：

“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行四边形

这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念.

1丄2数学命题

对于某种事物（现彖）及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断.

例如：

（1）两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形；

（2）经过两点可以作且只能作一条直线：

（3）对顶角相等；（4）三角形的内角和等于180°；（5）a+b=b+a等等都是判断.

判断的表述要依附语句•在数学中，表判断的语句称为命题.

从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则（公式）等几种类型.

定义一一说明名词或术语意义的命题.

公理一一在数学中不经过证明直接运用的命题.它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题.

在平面几何中，常用的公理有：

（1）经过两点有且只有一条直线.

（2）连接两点的所有直线中，线段最短.

（3）过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行.

（4）矩形的面积等于它的长和宽的乘积.

（5）等量公理（如等量加等量其和相等）.

定理一一由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论.

例如，“两直线相交只有一个交点可以从公理

（1）经过逻辑推理而证明；“三角形的

内角和等于180°”，它由“平角等于180°”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明.

由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论;仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，叫作引理.

1丄3命题的结构

数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如

（1）

是无理数：

（2）直线d平行于直线b：

（3）ZA=ZB.

复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题.

例1.1.1

（1）如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；

（2）若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补.

在例1丄1中，

（1）由三个判断组成，

（2）由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题.

一个命题包含两部分：

条件和结论（或者假设和终结；题设和题断：

已知和求证）.条件以''如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、"则”、“求证”等词开头.

命题的一般形式表述为“若则其中A为条件，B为结论.有些命题的条件和结论表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了.

例1.1.2改写卞列命题的条件和结论：

（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

（2）三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.

解：

如图1.1.b已知D为AABC边BC上的一点，ZA=90°,BD=DC,

（2）如图1.1.2中，AD=DE.AE=EU则DE//BC,且=

2

1丄4命题的四种形式

一般地，命题有四种形式：

（1）原命题：

若4,则B.

（2）逆命题：

若则人・

（3）否命题：

若AB（入表示非A）・

（4）逆否命题：

若瓦则牙.

这四个命题的相互关系町用卞图表示:

图1丄3

例1.1.3写出下列命题的四种形式，并判断真假.

（1）原命题：

若两角对顶，则两角相等.（真）

（2）原命题：

三角形中，若两边相等，则对角相等.（真）

解：

（1）逆命题：

若两角相等，则两角是对顶角.（假）

否命题：

若两角不是对顶角，则两角不相等.（假）

逆否命题：

若两角不相等，则两角不是对顶角（真）

（2）逆命题：

三角形中，若对角相等，则对边相等.（真）

否命题：

三角形中，若两边不相等，则对角不相等.（真）

逆否命题：

三角形中，若对角不相等，则对边不等.（真）

可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真•这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假.

同真同假的两个命题称为等效命题原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题.

若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理.所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理.

1.1.5逆命题的构造方法

原命题“若4,则B”逆命题“若B,则A”.

当条件A和结论B都只包含一个事项时，以〃为条件，A为结论，则为逆命题.

当条件A和结论B所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题.

例1.1.4原命题：

三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.

构造逆命题时，将结论DE//BC"交换条件“AE=EC”.

条件：

AABC中，AD=DB、DEHBC,

结论：

则=且DE=-BC・

2

逆命题：

过三角形一边43的中点D而平行于〃C的直线必过4C的中点且

DE=-BC.

2

1.1.6充分条件和必要条件

如果命题“若A,则是真命题，是指从条件A出发，经过逻辑推理，可以得到结论

B,即如果A成立，B—定成立（A蕴含〃）.记为

A^B.

则称4是B的充分条件，B是A的必要条件.

如，“若x>2,则x2>4”是一个真命题，那么x>2是F>4的充分条件，<>4是x>2的必要条件.

如果原命题“若A，则B”真，逆命题“若B,则A”也真，即既有4=>3,又有B今A,记作则称4是B的充分必要条件，简称充要条件.

表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件.例如，平行四边形的定义：

“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形•”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等

例1.1.5指出下列各组命题中，〃是q的什么条件：

（1）p:

X—2X—3=（Xq:

x—3=0；

（2）p:

x=4,q:

x2=16;

（3）p：

同位角相等，q：

两直线平行；

（4）p：

四边形的两条对角线相等，q：

四边形是平行四边形.

解：

（1）卩是q的必要条件而不是充分条件•因为兀一3=0今x-2x-3=0,而

X—3=0—3=0.

（2）卩是q的充分条件而不是必要条件.因为x=4*亍=16,而x2=16Xr=4.

（3）卩是q的充要条件.因为同位角相等O两直线平行.

（4）〃既不是q的充分条件也不是q的必要条件.因为四边形的两条对角线相等三四边形是平行四边形，四边形是平行四边形乂四边形的两条对角线相等.

习题1・1

1.什么叫做命题？

一个命题的内容包括哪两部分？

2•改造下列定理的字句，配以图形和字母说明.

（1）三角形的内角和等于180°；

（2）一个三角形中，较大的边所对的角也人；

（3）等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线；

（4）在圆中，垂直于弦的半径必平分线所对的弧.

3.命题有哪几种形式？

怎样由原命题得出它的其他形式？

它们相互关系怎样?

4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假：

（1）垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线：

（2）四条边相等的四边形是菱形；

（3）等腰三角形两底角相等：

（4）直角三角形的两个锐角互余；

（5）在一圆中，两条平行弦所夹的弧相等；

（6）若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直.

5•就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假.

（1）若两个三角形由两边对应相等，则夹角人的，它所对的边也人.

（2）从圆外一点引圆的两条切线长相等.

3AD丄EC

4AD半分

1AB=AC

（3）A43C中今

2AD平分乙4

6•指出卞列各组命题中，"是Q的什么条件：

（1）P.A=B、qac=bc;

（2）P.a^S是无理数，q：

d是无理数.

（3）两个三角形全等，q:

两个三角形相似.（4）p\a>b.q:

cr>h2.

（5）p:

x=1或x=2,q:

x-1=yjx—l・

（6）p.ayb是整数，q：

x2+cix+b=0有且仅有整数解.

1.2逻辑推理概要

推理是又一种重要的思维形式，它是通过判断与判断词之间的有机联系，从已知前提推断新的结论的思维形式•逻辑思维对推理的基本要求是：

推理要合乎逻辑，就是进行推理时要合乎推理的逻辑形式，要遵守逻辑思维的规律•合乎逻辑的推理，称为逻辑推理.

1.2.1逻辑思维的基本规律

1•同一律

同一律的内容是：

在同一时间内，从同一方面思考或议论同一事物的过程中，必须保持同一的认识.即同一事物过程中，所用的概念、判断必须确定，必须保持前后一致.具体地说，一是思维对彖保持同一，不能中途变更；二是概念保持同一，要用同一概念表示同一思维对象，既不能用不同概念表示同一事物，也不能把不同事物混起来用同一概念表示，否则,推理所得的结论不真.

例如：

如下推理：

物质是不灭的，（大前提）

桌子是物质，（小前提）

所以，桌子是不灭的.（结论）

其结论是错误的.因为人前提中的“物质”是抽象的、诃学意义上的概念，“不灭”是指转化为其它物质；而小前提中的“物质”是具体的器物，与人前提中“物质”不是同一概念•结论中“桌子是不灭的”，桌子打碎了或烧掉了，转化为其它物质，就不是桌子了.

2•矛盾律

矛盾律的内容是：

在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对彖不能既肯定它是什么，又不能否定它是什么.即在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假.

矛盾律是同一律的引伸，它是用否定的形式表达同一律的内容.

3排中律

排中律的内容是：

在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对彖，必须作出明确的肯定或否定，不能模棱两可.

排中律要求人们的思维有明确性，它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指出正确的思维不仅要求明确、不互相矛盾，要鲜明地表明肯定或否定.

排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律•它们的区别在于：

矛盾律指出两个矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指出了两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真.

4.理由充足律

理由充足律的内容是：

在思维过程中使用的判断必须是已经证实其真确性的判断，思维推断要“有理有据”，指明“因为有AJ吏用有B”.

12.2推理的种类

常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等

1.类比推理

类比推理又称类比法，是一种从特殊到特殊的推理.它是根据两个或两类有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理.

例如。

平面几何中有定理“两条直线相交只有一个交点”，在立体几何中用类比法推知“两平面相交只有一条交线”.

由类比推理得出的结论不一定真实，但类比推理不失为一种获取新知识的工具.在几何中一般不使用类比推理.

2.归纳推理

归纳推理又称为归纳法.它是一种从个别特殊到一般的推理•例如，F=1、1+3=2‘，

1+3+5=3訂...推理猜想：

1+3+5+...+2n-l2=n2.

又如，

三角形内角和为180°=3-2.180°

四边形内角和为360°=4-2.180°

前提

五边形内角和为540°=5-2.180°

结论：

凸“边形的内角和为n-2.180°.

由于归纳法是由个别，特殊到一般的推理，结论是否正确，往往需要经过严格的证明才能断定.

根据归纳法对彖是否完备，归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法.

（1）不完全归纳法：

根据对某类事物中的一部分对彖所具有的属性，推断该类事物都具有此属性的一种推理•它的推理形式为：

A具有性质“，

比具有性质卩，

A”具有性质p.

AU4U...UA”UA

A类事物具有性质〃

不完全归纳法仅列举了对象中的一小部分，前提和结论之间未必有必然联系.结论是否正确，还必须经过理论证明和实践的检验.

例如,法国数学家费马（Femiat,1601-1665）根据2’+1=5,2于+1=17,2宁+1=257,2^+1=65537都是素数（质数），提出猜想：

“任何形如2-'+1ncN的数（称为费马数,记为化）都是素数•”但是，半个世纪后，欧拉（Euler）发现

F5=2-+1=4294967297=641x6700417

并非素数，推翻了费马的猜想.

不完全归纳法作为逻辑推理是不严格的.因此在几何证明题时并不采用.

（2）完全归纳法

完全归纳法是根据某类事物中每一个对彖都具有性质p,而作出该类事物具有性质"的一般性结论的推理.

在完全归纳法中，涉及有无穷多种可能性的数学归纳法在几何中用得较少，人多数情况下是涉及有限多种可能性，这种归纳法称为有限归纳法（或穷举法）.

例如，证明定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”时，分三种情况证明：

（1）圆心在圆周角一边上；

（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.由于这三种情况穷尽了所有可能，因此对这三种情况分别证明后，定理就完全证明了.

在运用有限归纳时最要紧的是“完全”，即是否穷尽了所有可能•否则容易漏掉的这种情况，结论不成立.

3.演绎推理

演绎推理，又称演绎法，它是由一般到个别（特殊）的推理，基于一个逻辑公理：

如果某个集合4中的所有元素都具有性质F,aeA,则A具有性质F•

由此可见，演绎推理的前提和结论有着必然的联系，只要推理的前提是真的，推理是合乎逻辑的，推理得到的结论就一定正确.

演绎推理按照形式逻辑的推理方法进行推理，就是合乎逻辑的.形式逻辑的推理形式由两个前提和一个结论组成，称为三段论，一般形式为：

凡M都是p,大前提凡M都具有性质F大前提

S属于M.小前提或S属于M.小前提

.••S是p结论具有性质F结论

它的特点是：

（1）如果人前提和小前提都真，那么结论必真.

（2）从一般原理（数学中的定义、公理、法则、已知的定理）推出特殊事实.

由形式逻辑的三段论法推理得到的结论，实际上包含在人前提里面•形式逻辑对人前提是不管的，要管也管不了•例如,

三角形的内角和等于100°,（人前提）

A5C是MSC的内角，（小前提）

•4+B+C=100°.（结论）

这个推理是合乎形式逻辑的，但结论显然是错误的，其原因在于大前提不正确，这是形式逻辑的局限性•尽管如此，在数学证明尤其是几何题的证明中，主要是用演绎法，因为作为三段论的人前提是定义、公理、法则和已经证明的定理，都是正确的，因而所得出的结论也都是正确的.

习题1.2

1•逻辑推理有哪几种类型？

试举例说明.

2.演绎推理的逻辑形式是怎样的？

3.下列三段论法是否正确？

如果错误，指明原因，加以改正.

（1）有一锐角相等的两个直角三角形相似，（人前提）

AABC和中，ZA=ZA都是锐角，（小前提）

〜（结论）

（2）凡锐角互余，（人前提）

ZAZ5都是锐角，（小前提）

.•.ZA与互余.（结论）

（3）有四只脚的都是动物，（人前提）

桌子有四只脚，（小前提）

/.桌子是动物.（结论）

（4）正方形的对角线互相垂直，（人前提）

四边形ABCD不是正方形，（小前提）

四边形ABCD的对角线不垂直.（结论）

（5）圆的半径相等，（大前提）

04,03都是OO的半径，（小前提）

•・.OA=OB・（结论）・

1.3几何命题的证明与三段论法

1.3.1什么是几何命题的证明

在几何中，要判断一些新命题的真实性，主要是运用演绎推理，即遵照形式逻辑的思维规律，运用三段论法进行推理，而且，一般不是只使用一个推理，而需要进行一连串的推

理才能完成.

例131判断命题“三角形的内角和等于180°』是真实的.

设AABC,断言ZA+ZB+ZC=180°（如图1.3.1）

推理：

延长BC至£>,作CE//54.

I•若两直线平行，则内错角相等，（人前提）

ZA和乙4CE是平行线CE、BA的内错角，（小前提）・・.ZA=ZACE（结论）

II.若两直线平行，则同位角相等，（人前提）

和ZECQ是平行线的同位角，（小前提）

•・2B=/ECD（结论）

III•等量加等量，其和相等（等量公理，人前提）

ZA=ZACE,=AECD，ZACS=ZACB,（小前提）

.•.ZA+M+ZAC3=ZACE+Z£CL>+ZAC8（结论）

IV.若几个邻角的非公共边成一直线，则这几个角的和为180°（人前提）

ZACE,ZECD,ZACB的非公共边成一直线，（小前提）

.•.ZACE+ZECD+ZAC3=180°.（结论）

V.等于同一个量的两个量相等（人前提）

ZA+ZB+ZACB=ZACE+ZECD+ZACB：

而ZACE+AECD+ZACB=180°,（小前提）・・・ZA+M+ZACB=180°・（结论）

上述五个推理，人前提和小前提都正确，所以得到的最后的结论必定正确•因此，断言

“三角形的内角和等于180°.”是真实的.

彖这样，使用一个或一连串合乎逻辑的推理，由某些真实的命题（大小前提），断言某个新命题的真实性的思维形式，叫做逻辑证明，简称''证明”.

几何命题的证明，就是运用演绎推理一一三段论法，以正确的命题（定义、公理、已经证明的定理）为前提，推出欲证命题的结论.

1.3.2证明的表达形式

在例1.3.1中，每一个推理都是完整的三段论法，叙述冗长，使人感到啰嗦、枯燥.在实际应用中，一般都用省略三段论，就是省略三段论的人前提或小前提•几何命题的证明过程中，总是配以几何图形的，如果小前提从图形上看出是不言自明的，则可省去小前提；如果人前提是人所共知的，则可省去人前提（必要的话，将人前提写在结论后面的括号内：

对于显而易见的结论，甚至人、小前提都可省去.

用省略三段论表述例1.3.1的证明.

如图1.3.1,延长至D,作CE//BA.

•••ZA=ZACE（内错角），ZB=ZECD（同位角）

（1）

.•.ZA+ZB+ZACB=ZACE+ZECD+ZAC3

（2）

又B,C,D在一条直线上（所作图形）（3）

.•./4CE+ZEC£>+Z4CE=180°,（平角的定义）（4）

故ZA+ZB+ZACB=180°（等量代换）（5）

这里，

（1）是前两个推理的结论，又是

（2）的小前提；

（2）的人前提是人所共知的，省去;

（4）和（5）省去小前提，而大前提用括号表示在结论后面.但整个证明过程是严谨的，使人感到条理清楚，简明扼要.

例1.3.2如图，已知：

AABC中，AD=DByAE=EC,

.・•、CFEzMDE,故CF=AD.EF=ED

又•••CFIIDBQF=AD=DE

・・CFDB为平行四边形，因而DEHBC'DF=BC

•••DE=EF=-=DF

2

・・・DE=Lbc.

2

请读者思考，上述证明中，哪些推理省略了大前提或小前提.

习题1.3

1•如图1.32已知ZBDE=Z1+Z2,求证：

AB//CD.试用完整三段论法写出证明过程，再用省略三段论写出证明.

2•已知I：

C是线段4B上一点，

AD//BE,AD=AC.BE=BC,

求证：

DC丄CE・

3•已知：

在中△ABC,ZC=90°,AC=

D是ABk一点，AD=AC.DE丄4/

求证：

BD=DE=CE・

4•求证：

连接梯形两对角线中点的线段与两底边平行，且等于它们差的一半.（要求画图，写出已知、求证和证明）.

5•两圆相交，从公共弦的延长线上一点所作两圆的切线相等（要求同第4题）・

1.4间接证法

欲证明某个几何命题，根据命题的条件和结论，直接证明，称为直接证法；如果直接证明“若A则B”不太容易时，可以间接地去证明它的等效命题为真，从而肯定原命题为真，称为间接证法.

1.4.1同一法举例

用同一法证明“若人则实际上是间接证明“若B则4”•就是说，欲证明某图形具

作图形与原图形重合，从而证明了题设图形具有某种性质.

例1.4.1己知：

梯形ABCD中，AD//CD.E,F分别为

.•FC=FC,Ff与F重合,即EF与EF重合.

..EF//BC.

例1.4.2以正方形一边为底向形内作一等腰三角形，若它的底角等于15°,则将它的顶点与正方形另两个顶点相连，必构成一个正方形.

已知：

如图1.4.2,E是正方形ABCD内部一点，AECD=AEDC=15°.

求证：

AEAB是正三角形.

证明：

以AB为底边向正方形内作三角形AEAB,并连EC,ED.

..ABEC为等腰三角形，其顶角Z£BC=90o-60o=30°,

图142

底角ABCE=-180°-ZE^C=75°,2

.•.ZE/CZ）=9Oo-75o=150

同理，ZEDC=15°

又已知AECD=AEDC=15°,

•••E‘与E重合.

:

.AEAB是正三角形.

综合上述例题的证明过程，可见同一法的