空间向量综合测试含答案.docx
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空间向量综合测试含答案
空间向量综合测试
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分
1.已知A(3,2,1),B(1,0,4),则线段AB的中点坐标和||是( )
A.,B.,C.,D.,
2.直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于( )
A.a+b-c B.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c
3.平面α的法向量u=(1,2,-1),平面β的法向量v=(λ2,2,8),若α⊥β,则λ的值是( )
A.2B.-2C.±2D.不存在
4.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )
A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)
5.已知四面体ABCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则·=( )
A.1B.-1C.D.-
6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则与直线CE垂直的直线是( )
A.ACB.BDC.A1DD.A1A
7.已知a=3m-2n-4p≠0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,则x,y的值为( )
A.x=-13,y=8B.x=-13,y=5C.x=7,y=5D.x=7,y=8
8.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
9.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为( )
A.B.C.D.2
10.在四棱锥PABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h=( )
A.1B.2C.13D.26
11.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )
A.B.3C.D.
12.三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足:
=λ,则直线PN与平面ABC所成角θ取最大值时λ的值为( )
A.B.C.D.
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则·=________.
14.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________.
15.点P是底边长为2,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN是该棱柱内切球的一条直径,则·的取值范围是__________.
16.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图所示,在四棱锥MABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=,b=,c=,试以a,b,c为基向量表示出向量,并求BN的长.
18.(12分)四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M、N分别是PC、AB的中点,求证:
MN⊥平面PCD.
19.(12分)如图所示,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证:
AB⊥DE;
(2)若点F为BE的中点,求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.
20.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且PG=4,AG=GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点.
(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(2)若F是棱PC上一点,且DF⊥GC,求的值.
21.(12分)在△A′BC中,A′B=4,A′C=4,∠BA′C=45°,以A′C的中线BD为折痕,将△A′BD沿BD折起,构成二面角ABDC,在平面BCD内作CE⊥CD,且CE=,连接DE,AE,AC,如图所示.
(1)求证:
CE∥平面ABD;
(2)若二面角ABDC的大小为90°,求二面角BACE的余弦值.
22.(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=.
(1)若M为PA的中点,求证:
AC∥平面MDE;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点),使得平面QAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为?
空间向量综合测试答案
1.解析:
选A.设P(x,y,z)是AB中点,则
=(+)=[(3,2,1)+(1,0,4)]=,dAB=||==.
2.解析:
选D.如图,=-=--=--=b-a-c.
3.解析:
选C.α⊥β⇒u⊥v⇒u·v=0⇒λ2+4-8=0⇒λ=±2.
4.解析:
选B.取AC中点M,连接ME,MF,则==,==,所以=-=(-2,-3,-3),故选B.
5.解析:
选B.如图所示,=,所以·=·(-)=-×2×2cos60°=-1故选B.
6.解析:
选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E,所以=,=(1,1,0),=(-1,1,0),=(0,1,-1),=(0,0,-1).显然·=-+0=0,所以⊥,即CE⊥BD.
7.解析:
选A.因为a∥b且a≠0,
所以b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp.
又因为m,n,p不共面,所以==,
所以x=-13,y=8.
8.解析:
选C.由于=+=+(+)=+(+),而=+,则·=[+(+)]·(+)=(+)2=(2+2)=1.
9.解析:
选A.过P点作PH⊥l于H点,
则=+,由∥n,可设=λn=(λ,0,2λ).
所以=(-1,-1,-1)+(λ,0,2λ)=(λ-1,-1,2λ-1),
由⊥n,得λ-1+2(2λ-1)=0,解得λ=所以=.
因此点P到l的距离为||==,选A.
10.解析:
选B.设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则,即,设y=4,则n=,所以cos〈n,〉===-,所以h=×2=2,故选B.
11.解析:
选D.由题可知||=1,||=1,||=.
〈,〉=45°,〈,〉=45°,〈,〉=60°.
所以||2=(-+)2=2+2+2-·+·-·=++2-×1×1×+1××-1××=.
12.解析:
选A.
如图,分别以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N,=(-λ,,-1).易得平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),则直线PN与平面ABC所成的角θ满足:
sinθ=|cos〈,n〉|=,于是问题转化为二次函数求最值,而θ∈,所以当sinθ最大时,θ最大.所以当λ=时,sinθ最大,为,同时直线PN与平面ABC所成的角θ取到最大值.
13解析:
·=·=||·||·cos〈,〉=a×a×cos60°=a2.答案:
a2
14解析:
设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0).又=(1,3,),所以cos〈n,〉==,因为〈n,〉∈[0,π],所以sin〈n,〉==答案:
15解析:
由题意知内切球的半径为1,设球心为O,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=||2-1.因为1≤||≤,所以·∈[0,4].答案:
[0,4]
16.解析:
建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B1(0,0,3a),C(0,a,0).设点E的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).由⊥,得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a,即AE=a或2a.答案:
a或2a
17.解:
=+=+=+(-)
=+[-(+)]=-++.
所以=-a+b+c,
||2=2==(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=,
所以||=,即BN的长为.
18.证明:
建立空间直角坐标系如图所示,设PA=AD=a,AB=b,
则P(0,0,a),D(0,a,0),B(b,0,0),C(b,a,0),N,M,
所以=,=(b,0,0),=(b,a,-a),
所以·=-+=0,·=0,
所以⊥,⊥,即MN⊥PC,MN⊥DC,又因为PC∩DC=C,MN⊄平面PCD,所以MN⊥平面PCD.
19.解:
(1)证明:
在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB,即BD2=4+16-16×=12,所以BD=2,所以BD2+AB2=AD2,所以△ABD和△EBD均为直角三角形,所以ED⊥DB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线,且平面EBD⊥平面ABD,ED⊂平面EBD,
所以ED⊥平面ABD.
又AB⊂平面ABD,所以AB⊥DE.
(2)由
(1)知∠ABD=∠CDB=90°,以D为坐标原点,DB,DC,DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),A(2,-2,0),F(,0,1),所以=(2,-2,0),=(0,0,2),=(-,2,1).
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),
则有即令x=1,则y=.又z=0,所以n=(1,,0).
设直线AF与平面ADE所成的角为α,则有sinα=|cos〈n,〉|===.
20.解:
(1)以G点为原点,GB,GC,GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4),故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-4).
因为cos〈,〉===,所以GE与PC所成角的余弦值为.
(2)因为==,所以D.
设F(0,y,z),则=(0,y,z)-=.
因为⊥,所以·=0,即·(0,2,0)=2y-3=0,所以y=.
又点F在PC上,所以=λ,即=λ(0,2,-4),所以z=1,故F,
所以=,=,所以==3.
21.解:
(1)证明:
由AB=4,A′C=4,∠BA′C=45°,得BC=4,所以△A′BC为等腰直角三角形,又D为A′C的中点,所以BD⊥A′C.所以折起后BD⊥CD.又CE⊥CD,所以CE∥BD,
因为CE⊄平面ABD,BD⊂平面ABD,所以CE∥平面ABD.
(2)由二面角ABDC的大小为90°,AD⊥BD,得AD⊥平面BCD,由
(1)知BD⊥CD,
于是以D为坐标原点,分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设F为AC的中点,连接DF,则DF⊥AC,且DF=2.
因为CE⊥CD,AD⊥平面BCD,所以CE⊥平面ACD,所以DF⊥CE,所以DF⊥平面ACE.
易求得BD=CD=AD=2,所以D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),F(0,,).所以平面ACE的一个法向量为=(0,,).
又=(2,0,-2),=(0,2,-2),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,
所以x=y=z,取n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量.所以cos〈n,〉==,
根据图形可知二面角BACE的余弦值为-.
22.解:
(1)证明:
如图,在矩形PDCE中,设PC交DE于点N,则点N为PC的中点.连接MN.
在△APC中,点M为PA的中点,点N为PC的中点,所以AC∥MN.
又MN⊂平面MDE,AC⊄平面MDE,所以AC∥平面MDE.
(2)由∠ADC=90°,得AD⊥CD,
由平面PDCE⊥平面ABCD,且平面PDCE∩平面ABCD=CD,得AD⊥平面PDCE,
所以AD⊥PD.
在矩形PDCE中,PD⊥CD,则DA,DC,DP两两垂直.
以D为坐标原点,DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),B(1,1,0),C(0,2,0),
所以=(-1,0,),=(0,-2,),=(-1,1,0).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则,取n=(1,1,).
设直线PA与平面PBC所成角为θ,则sinθ==.
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
(3)假设存在点Q满足条件,则可设=λ(0<λ<1),得Q(0,2-2λ,λ).
又=(1,0,0),=(0,2-2λ,λ),
设平面QAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
由,
令y1=λ,则n1=(0,λ,2λ-2).
由平面QAD与平面PBC所成的锐二面角为,
得cos===,所以λ=或λ=1(舍去),
所以所求点Q为线段CP上靠近点C的一个三等分点,即在线段PC上存在点Q满足条件.
4.(2018全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形
所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,
是
上异于
,
的点.
(1)证明:
平面
平面
;
(2)当三棱锥
体积最大时,求面
与面
所成二面角的正弦值.
5.(2018天津)如图,
且
,
,
且
,
且
,
平面
,
.
(1)若
为
的中点,
为
的中点,求证:
平面
;
(2)求二面角
的正弦值;
(3)若点
在线段
上,且直线
与平面
所成的角为
,求线段
的长.