勾股定理及勾股定理的逆定理.docx
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勾股定理及勾股定理的逆定理
八年级上册全科资料群552629323
1.勾股定理
文字表述
直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方.
符号语言
在直角三角形中，如果两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.勾股定理命名依据
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理,国外称为毕达哥拉斯定理.
勾股定理反映了直角三角形中三边之间的平方关系，它把图形的特征转化成了数量之间的关系.相传2500多年前，古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯，他善于观察和思考问题，经常从生活中寻找一些数学问题，有一次，他到朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边长度平方的某种数量关系.
（1）勾股定理只在直角三角形中适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；
（2）在应用时，要分清哪个是直角边的长、斜边的长及直角边和斜边的位置；
（3）已知直角三角形的两条边长，可求第三条边长.除勾股定理外，要注意勾股定理的如下两种变形：
①b2=c2 –a2，②a2 =c2–b2（其中a和b为直角边，c为斜边）.
示范例题
例题1.（解析题）在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
（1）若a=6，b=8，求c；
（2）若b=5，c=13，求a；
（3）若a:
b=3:
4，c=20，求a和b.
【答案】见解析
【解析】在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得a2+b2=c2.
（1）∵a2+b2=c2，
∴c2=a2+b2=62+82=100，∴c=10.
（2）∵a2+b2=c2，
∴a2=c2-b2=132-52=144，∴a=12.
点拨
已知直角三角形两边之比及第三边的长，常用设参数的方法把两边表示出来，然后利用勾股定理求出第三边，就可求出两边的长.
知识点2勾股定理的证明【重点】
勾股定理的验证方法较多，例如，以下动图很好地展示了边长为a的正方形的面积加上边长为b的正方形的面积，等于边长为c的正方形的面积，即 a²+b²=c² .
勾股定理证明
勾股定理证明最佳
勾股定理证明
勾股定理证明
另外，还有常用的拼图法：
通过图形的移、拼、补，把同一个图形的面积用 不同的面积形式 表示，再根据这些面积表达形式相等建立 恒等关系 ，列出等式，通过化简等运算就可验证勾股定理.举例列表如下：
除此之外，还有相对更复杂的拼图法如下，有兴趣的同学可以好好研究一下：
拼图法1
拼图法2
拼图法3
划重点
用拼图法证明勾股定理的关键是抓住图形面积间的关系，即用不同的面积形式表示同一个图形的面积.
示范例题
例题1.（解析题）如图1，是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？
请画出拼后的示意图.
【答案】见解析
【解析】
（1）如下图，是直角梯形.
（3）如下图所示，拼出能证明勾股定理的图形.
点拨
用拼图法证明勾股定理，关键是抓住图形面积间的关系，利用同一个图形面积的不同表示法，列等式证明.
知识点3勾股定理的逆定理【重点】
1.勾股定理的逆定理
文字表述
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
数学语言
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.
（1）在直角三角形中，最长边（即斜边）所对的角是直角.
（2）用边长判定三角形是直角三角形，实质是数形结合的思想.
（3）在判定时不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.
（4）a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形.
2. 直角三角形的判定方法
（1）利用定义
如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.
当题目中的条件与角有关时，常用此方法.
（2）利用勾股定理的逆定理.
先找出最长边，再计算两个短边的平方和，看它与最长边的平方是否相等.
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.
当已知三边的长或三边之间的关系时，常用此方法.
示范例题
例题1.（解析题）判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
（1）在△ABC中，AB=12，BC=20，CA=16；
（2）在△ABC中，AB=52，BC=42，CA=32；
（3）△ABC的三边分别为2n，n2–1，n2+1（n为正整数）.
【答案】见解析
【解析】
（1）∵AB2+CA2=122+162=144+256=400，
而BC2=400，∴AB2+CA2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角.
（2）∵BC2+CA2=（42）2+（32）2=256+81=337，
而AB2=（52）2=625，
∴BC2+CA2≠AB2，∴△ABC不是直角三角形.
（3）∵（n2+1）2=n4+2n2+1，
（n2-1）2=n4–2n2+1，（2n）2=4n2.
∴（n2+1）2=n4+2n2+1=（n4-2n2+1）+（4n2），
即（n2+1）2=（n2–1）2+（2n）2，
∴△ABC是直角三角形，且长度为n2+1的边所对的角为直角.
点拨
做第
（2）题时要注意不要由32+42=52，得出三角形是直角三角形.
知识点4 勾股数【基础】
1.定义
满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数.
2.判别勾股数的一般步骤
（1）看:
确定三个数是否都是正整数；
（2）找：
若是，确定其中的最大数；
（3）算：
分别计算最大数的平方和其他两个数的平方和；
（4）判：
若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，这三个数不是一组勾股数.
（1）勾股数有无数组.
（2）如果一组数是勾股数，那么当它们扩大相同整数倍后，得到的一组新数仍为勾股数.
（3）常见的勾股数有：
①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15.
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组:
2n+1,2n2 +2n,2n2+2n+1（n是正整数）.
当n=2时，可以得到一组勾股数5,12,13.
（2）柏拉图发现的勾股数组:
2n,n2-1,n2 +1（n>1,且n是正整数）.
当n=4时，可以得到一组勾股数8,15,17.
示范例题
例题1.（单选题）[2019陕西宝鸡陈仓区期末]下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5
B．7，24，25
C．8，15，17
D．5，6，9
【答案】D
【解析】A、32+42＝52，是勾股数；
B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；
D、52+62≠92，不是勾股数．
故选D．
K重难
题型1勾股定理的简单应用
示范例题
例题1.（单选题）[2020湖北黄冈蕲春县期中]如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
【答案】B
题型2勾股定理的证明
勾股定理的证明一般通过同一个图形，不同的面积表示形式，或两个图形面积相等，列出等式，然后变形证明.
示范例题
例题1.（解析题）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2.
【答案】见解析
点拨
根据题意，我们可在图中找到等量关系，大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.
题型3勾股定理的逆定理的简单应用
已知三边判断是否是直角三角形时，只需验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方即可.若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角.若不相等，则不是直角三角形.
示范例题
例题1.（单选题）[2020山东济南历城区校级期中]在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C；
②∠A：
∠B：
∠C＝1：
2：
3；
③∠A＝2∠B＝3∠C；
④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；
②∠A：
∠B：
∠C＝1：
2：
3，是直角三角形；
③∠A＝2∠B＝3∠C，不是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，
能确定△ABC是直角三角形的条件有2个.
故选B．
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