《固体材料结构基础》课件PPT第3章 倒易点阵.pptx

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倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理论的基础。

晶体点阵：

实空间由晶体的周期性直接抽象出的点阵（正点阵）；倒易点阵：

倒易空间由正点阵的傅里叶变换得来的点阵。

（倒易点阵）,第三章倒易点阵,第三章倒易点阵,要解决的问题：

晶体学中晶面间距、面角、晶面法线等的相关计算，晶体对x-ray、中子、电子波的衍射等物理现象的分析。

研究倒易点阵的意义：

利用倒易点阵可以比较方便地导出晶体几何学中的各种重要关系式;用倒易点阵可以方便而形象地表示晶体的衍射几何学;在物理学中可以用倒易点阵来表示波矢。

从数学：

晶体结构可以用下列两种点阵描述：

晶体点阵L倒易点阵L*L:

a、b、c、VL*:

a*、b*、c*、*、*、*、V*从物理：

晶体点阵描述物质空间（正空间）质点分布;倒易点阵描述晶体衍射强度等物理量的分布，描述的是衍射空间或倒易空间，反映了更普遍的物理现象的本质。

倒易点阵是x射线晶体学的基本内容，新版“晶体学国际表”卷B就是以“倒易空间”作为卷名。

X射线衍射的发现,郭可信中国科学院物理研究所电子显微镜重点实验室物理32卷（2003年）7期427433,1.D.Shechtman,I.Blech,D.Gratias,andJ.W.Cahn,Metalicphasewithwithlong-rangeorientationalorderandnotranslationalsymmetry,Phys.Rev.Lett.53（1984）1951-1953.1984年,Shechtman等在寻找既轻又硬的Al合金中,在急冷的Al-Mn合金中获得了具有五重对称,斑点明锐的电子衍射图,定出其点群为m35.,

（1）准晶体,郭可信:

五次称对,八次对称,十二次对称,物理冶金、晶体学家。

原籍福建福州，生于北京。

1946年毕业于浙江大学化工系，1980年获瑞典皇家理工学院荣誉博士学位。

中国科学院北京电子显微镜开放实验室主任、研究员。

先后从事晶体结构、晶体缺陷及准晶方面的研究，用电子显微镜研究准晶及相关晶体相结构。

近年与中年科学工作者合著了电子衍射图、晶体对称,编著了高分辨电子显微学，并主持编辑了准晶学、高温超导体及电子显微学国际会议论文集12册。

1980当选为中国科学院院士（学部委员）。

郭可信,1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在尼慕黑大学从事博士论文研究，劳厄在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三维晶体中的衍射。

劳厄的一个科学假设,在此假设的指导下，KnippingP和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4后来用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据.这不但证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性.,老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X射线的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验.根据衍射斑点的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知ZnS具有面心立方晶格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反射，从而推导出著名的布拉格方程.,布拉格父子开拓了X射线晶体结构分析这门新兴学科，从简单的无机化合物和矿物，逐渐发展到有机化合物和生物大分子.迄今，人类创造的新物质大概有3000万种中，国科学家的贡献只占到1,美以科学家分享2009年诺贝尔化学奖,名获奖者通过独立的研究工作，分别采射用线蛋白质晶体学方法绘制出模型来合体成现核糖体的成千上万个原子的位置，他们绘制的模型已被广泛应用于新抗生素的研制，以减少患者的病痛和拯救生命。

石墨烯发明者获2010年诺贝尔物理学奖,荷兰籍物理学家安德烈海姆和拥有英国与俄罗斯双重国籍的物理学家康斯坦丁诺沃肖洛夫,TheelectrondiffractionpatternoafcrystalisamapofthereciprocalIlattitsicaeF.ouriertransformofthelatticeinrealspace.ItisarepresentationofthelatticeintheKspace.,3.1预备知识,晶体发生反射的必要条件：

2dsinn,dhkl,N,L,M,2,布拉格实验及方程2dsinn1,12,晶面A和A反射的光束之间的光程差:

=ML+NL=2dhklsin=n,AA,K-K0=S入射单位矢量：

K0反射单位矢量：

KK-K0=S：

衍射矢S=量2Sin=/dSN,K0,S,K,N,3.2倒易点阵的定义和性质,基矢为b1,b2,b3，则b1,b2,b3由下式,定义：

1.定义

（1）:

若晶体点阵基矢为a1,a2,a3,注意：

确定一个初基阵胞的轴矢称为基矢。

基矢！

基矢！

量纲，L倒易点阵,量纲,L-1,ReciprocalLattice,量纲L-1,倒易点阵矢量,与正点阵相同，由倒易点阵基矢可以定义倒易点阵矢量（为整数），具有以上形式的矢量称为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的列阵。

一个晶体点阵的倒易点阵是唯一的,倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体点阵的倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有不同取法，倒易点阵基矢也不至于一组，但一种晶体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。

VectorOperations,ReciprocalLattice,Likethereal-spacelattice,thereciprocalspacelatticealsohasatranslationvector,Ghkl:

WherethelengthofGhklisequaltothereciprocalofthespacingofthe（hkl）planes,Considerplanesofazone（i.e.:

2Dreciprocallattice）.,ZoneAxis,Planescouldbetranslatedsoasnottointersectatacommonpoint.,用,表示,;,表示,则上式可写成：

表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中对应的两基矢正交。

例：

a.点阵常数为a的一维点阵,正点阵基矢为不能用定义

（1）来求，要用正交关系，倒易点阵的基矢为（利用），倒易点阵矢量为为整数，点阵常数为的一维点阵的倒易点阵是点阵常数为的一维点阵。

b.点阵常数为的二维正方点阵,二维正方点阵的基矢为:

倒易点阵的基矢可用正交关系求得：

，它是一个点阵常数为的二维正方点阵，倒易点阵矢量为:

c.点阵常数为a的简单立方点阵,简单立方点阵的基矢为:

初基晶胞体积倒易点阵的基矢为：

、,同理sc点阵的倒易点阵仍为sc点阵，点阵常数为,倒易点阵矢量,d.点阵常数为a的体心立方点阵,正点阵的初基矢量为：

初基晶胞体积倒易点阵的基矢：

这组基矢决定了的是一个面心立方（fcc）点阵，点阵常数为：

e.点阵常数为a的面心立方点阵,面心立方点阵的基矢为:

初基晶胞体积:

倒易点阵基矢:

同理:

这与体心立方点阵的初基矢量形式相同,因此面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵,点阵常数为:

小结1,在14种布拉菲点阵中，只有四种点阵的正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是：

体心立方面心立方面心立方体心立方体心正交面心正交面心正交体心正交其它的点阵、正点阵与倒易点阵的对称操作相同，点对称性不变，倒易点阵的类型与正点阵相同。

对于初基点阵来说，正空间属于何种点阵，其相应的倒易点阵也会属于相同的点阵类型；对于非初基点阵来说，底心点阵的倒易点阵仍然是底心点阵，体心点阵的倒易点阵是面心点阵，而面心点阵的倒易点阵则是体心点阵。

Indexingofcubicreciprocallattices,000,100,010,001,200,002,111,cPcP*,020cFcI*,cIcF*,200,020,002,110,2.倒易点阵的性质,

（1）正交归一性正点阵基矢为倒易点阵基矢为则,

（2）倒易点阵初基晶胞体积,（3）倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵本身即,（4）晶体点阵中一组点阵平面（），以晶面指数为指数的倒易点阵矢量：

与这组晶面正交，并且面间距（即相邻平面之间的距离）为：

。

.证明：

若离原点最近的（）晶面在、三个晶轴上的截距为：

、，只需证明:

则肯定垂直于（）平面。

.,证明：

=,-=,=,-=,而,=,同理,=0,（）,.,面间距就是或在法线方向的投影，法线方向就是的方向，此时原点也在（）晶面族的某一个平面上，因此只要求出原点与（）晶面之间的距离即可。

证明：

课堂练习：

作出下图所示2D点阵的倒易矢G010、量GG11100示0、意图：

a1,a2,课堂练习：

作出下图所示2D点阵的倒易矢G100、G010、量G110示意图：

a1,a2,（100）（010）,（110）,小结2,晶体点阵中的一族晶面可用倒易点阵中,一个阵点来表示（定义了倒易点阵中的一个阵点,则这族平面的法线与面间距均可用来表示，这族晶面就可唯一确定）,就是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量:

倒易点阵的一个阵点矢量对应正点阵的一个晶面二维问题一维化处理,倒易点阵的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上与正空间的同名晶面（hkl）垂直，在数值上为正空间点阵中同名晶面（hkl）的面间距的倒数；可以用该倒易点代表与之对应的正空间的晶面；只有在立方点阵中，晶向才会平行与之同名的晶面的法向。

相应几何元素的符号,小结倒易关系,uvwdhkl,（uvw）*,G*hkl,d*uvw,1,1,Ruvw,hkl*,利用倒易关系求面心立方点阵的倒易点阵,先看简单立方：

a=b=c=a,=90。

a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90。

比较f.c.c.与s.c.正点阵的主要面间距：

面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵,点阵常数为:

2/a,H010,.,3.3倒易点阵的应用,

（1）求晶面间距，P.98附录1，只适用于P点阵.F:

当h,k,l奇、偶混杂时，公式有1/2因子，I:

当h+k+l=奇时，公式有1/2因子,C:

当h+k=奇时，公式有1/2因子.例：

s.c.:

d100=a,f.c.c.:

d100=a/2

（2）求晶面角,晶面间距（Interplanarcrystalspacing）,两相邻平行晶面间的垂直距离晶面间距，用dhkl表示从原点作（hkl）晶面的法线，则法线被最近的（hkl）面所交截的距离即是,上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响立方晶系：

fcc当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面：

如0001面通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小,bcc当hkl奇数时，有附加面：

六方晶系,总结:

倒易点阵是晶体几何学、晶体结构衍射分析、衍射物理和固体物理中应用广泛的概念。

定义：

正空间点阵基矢量a、b、c倒空间点阵基矢量a*、b*、c*aa*=bb*=cc*=1ab*=a*b=bc*=b*c=ca*=c*a=0正空间点阵体积V=a（bxc）a*=bxc/V,b*=cxa/V,c*=axb/V,这样定义的倒易点阵与正空间点阵类似,具有平移周期、旋转对称性等。

与正空间点阵类似倒易点阵亦有点阵方向、点阵平面和点阵矢量。

倒易点阵单胞的体积V*与正空间点阵单胞的体积V亦有倒易关系。

倒易点阵与正空间点阵互为倒易，倒易点阵的倒易点阵是正空间点阵。

倒易点阵的