第7讲 空间向量的应用平行垂直.docx

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第7讲空间向量的应用平行垂直

第7讲空间向量的应用—平行垂直

【学习目标】

知识点一　空间两直线的平行与垂直

知识点二利用空间向量解决线面平行

知识点三利用空间向量解决面面平行

知识点四__利用空间向量解决垂直问题（_

知识点五利用空间向量解决面面垂直

知识点六　利用空间向量解决探索性问题

【知识区】

1．直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

（2）一个平面的法向量是与平面垂直的向量，有无数多个，任意两个都是共线向量．

2．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

（1）线线平行：

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；

线面平行：

l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；

面面平行：

α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R.

（2）线线垂直：

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；

线面垂直：

l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；

面面垂直：

α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α

n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m⇔n＝λm

α⊥β

n⊥m⇔n·m＝0

2．直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称

为直线l的方向向量，与

平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

（2）①定义：

与平面垂直的向量，称做平面的法向量．

②确定：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

.

3．空间位置关系的向量表示

4.空间向量与空间角的关系

（1）两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝

（其中φ为异面直线a，b所成的角）．

（2）直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝

．

（3）求二面角的大小

a．如图①，AB，CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈

，

〉．

b．如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

4.点到平面的距离的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝

.

知识点一　空间两直线的平行与垂直

【参考知识点】

（1）线线平行：

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；

线线垂直：

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；

【例1】　设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断下列各条件下两条直线l1，l2的位置关系：

（1）a＝

，b＝

；

（2）a＝

，b＝

；

（3）a＝

，b＝

.

【实践区】

1.　如图所示，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a（0

A.平行B.垂直

C.相交D.与a值有关

知识点二利用空间向量解决线面平行

【例2】.　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：

FC1∥平面ADE.

【实践区】

1..如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：

PB∥平面EFG.

2..如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

设G是OC的中点，证明：

FG∥平面BOE；

知识点三利用空间向量解决面面平行

【例3】...已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点，求证：

平面EFG∥平面B1CD1.

知识点四__利用空间向量解决垂直问题

【例4】】（2013·陕西卷节选）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝

.

证明：

A1C⊥平面BB1D1D.

【实践区】

在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

①求证：

EF⊥CD；

②在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

知识点五利用空间向量解决面面垂直

【例5】　（2015·安阳模拟）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E，F分别为棱AD，PB的中点，且PD＝AD.求证：

平面CEF⊥平面PBC.

[规律方法]　用向量证明垂直的方法

（1）线线垂直：

证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

（2）线面垂直：

证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

（3）面面垂直：

证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

【实践区】

1.（2015·济南质检）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）证明：

AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

知识点六　利用空间向量解决探索性问题

【例6】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

（1）求证：

EF⊥CD；

（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．

【实践区】

1.（2014·鞍山二模）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝

，E为PD上一点，PE＝2ED.

（1）求证：

PA⊥平面ABCD；

（2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？

若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

【强化区】　直线和平面的平行与垂直

1.（2015·泉州三模）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．

（1）求证：

DE∥平面ABC；

（2）求证：

B1F⊥平面AEF.

2.（2015·汕头模拟）如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：

（1）CM∥平面PAD；

（2）平面PAB⊥平面PAD.

3.　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.

（1）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC⊥平面EDB.

4.．（2015·北京房山一模）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

求证：

（1）PB∥平面EFH；

（2）PD⊥平面AHF.