例2如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E作直线与AF垂直,交AF的延长线点D,且交AB的延长线于点C.
(1)求证:
CD与⊙O相切于点E.
(2)若CE*DE=15/4,AD=3,求⊙O的直径及∠AED的正切值。
教学引导:
(1)证OE⊥CD.
(2)要求⊙O的直径,可先求半径OE.
因OE∥AD,所以有OE/AD=CO/CA,AD=3,CO,CA都与BC及OB,AB(⊙O的半径,直径)有关。
所以,求得BC即可以求出OE.如何求BC呢?
能否利用CE*DE=15/4这个条件?
让学生去探讨。
附解答过程:
(1)略。
(2)过点D作DG∥AC,交AE的
延长线于点G,连结BE,OE,则∠BAG=∠G,∠C=∠EDG.∵CD与⊙O相切于点E,
∴∠BEC=∠BAG.
∴∠BEC=∠G. ∴△BEC∽△EGD. ∴DE/CB=DG/CE.
∴CB*DG=DE*CE.
∵∠BAG=∠DAG=∠G. ∴AD=DG=3. 又∵CE*DE=15/4. ∴CB=5/4.
由
(1)得OE∥AD,∴CO/CA=OE/AD.设OE=x(x>0),则CO=5/4+x=(5+4x)/4,
CA=5/4+2x=(5+8x)/4, ∴(5+4x)/(5+8x)=x/3.整理得8x2-7x-15=0. 解得x1=-1(舍去),x2=15/8. ∴⊙O的直径为15/4,∴CA=CB+BA=5.由切割线定理,得CE2=CB*CA=25/4, ∴CE=5/2, ∴DE=15/4*1/CE=3/2.
在Rt△ADE中,tan∠AED=AD/DE=2.
例3某公司在甲,乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆。
已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元;从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。
(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆,求总运费y的关于x的函数关系式;
(2)若要求总运费不超过900元。
问共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元?
教学引导:
(1)先把题目的数量关系弄清楚。
引导学生把本题数量关系表格化:
(2)引导学生写出y与x的函数关系式后,运用函数的性质解答题目的后两问。
附解答过程:
解:
(1)y=30x+50(6-x)+40(10-x)+80(2+x)=20x+860.
(2)20x+860≤900,x≤2,∵0≤x≤6,∴0≤x≤2.
因为x为非负整数,所以x的取值为0,1,2.
因此,共有3种调运方案。
(3)因为y=20x+860,且x的取值为0,1,2.由一次函数的性质得x=0时,y的取值最小,y最小=860(元)。
此时的调运方案是:
乙仓库的6辆全部运往B县,甲仓库的2辆运往B县,10辆运往A县,最低费用为860元。
评议:
本题运用函数的思想,可以给解题带来了简便。
第三类 开放性,探索性数学难题。
无论是开放性还是探索性的数学难题,教学重点是教会学生把握问题的关键。
例1请写出一个图象只经过二,三,四象限的二次函数的解析式。
教学点拨:
二次函数的图象只经过二,三,四象限,就是不能经过第一象限,即当x>0时,y<0.什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0呢?
这是问题的核心。
(答案:
当二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c都为负时,必有x>0时,y<0,如:
y=-x2-2x-3)
例2已知:
如图,AB,AC是⊙O的两条弦。
且AB=AC=1,
∠BAC=120°,P是优弧BC上的任意一点,
(1)求证:
PA平分∠BPC,
(2)若PA的长为m,求四边形PBAC的周长,
(3)若点P在优弧BC上运动时,是否存在某一个位置P,使S△PAC=2S△PAB?
若有,请证明;若没有,请说明理由。
教学引导:
(2)因为AB=AC=1,PA=m,由
(1)可证∠APB=∠APC=30°,因此,∠AOB=60°所以OA=OB=AB=1,而AP=m,以A为圆心,以m为半径作弧与圆相交一般有两个交点(若m=2,AP为圆的直径则只有一个交点)。
因此,PB和PC是变的,但变化只有两个位置,PB+PC应该不变。
求出PB+PC就可以求四边形PBAC的周长。
把PB和PC组合在一起求出来是这问题的关键。
(3)这问题的关键是如何确定点P.这可以由三角形PAC和三角形PAB的面积关系推出。
P
(解题要点:
(1)略。
(2)延长PC至P‘,使CP’=BP,连结BC,求出BC,证明△PAB≌△P‘AC,得AP’=AP,证明△ABC∽△APP‘,用对应边的比例关系可以求出PP’即PB+PC.(3)连结BC交PA于点G,过B作BM⊥PA,过C作CN⊥PA,垂足分别为M,N.证明△BGM∽△CGN,得BG/CG=BM/CN=S△PAB/S△PAC=1/2.所以过点A和点G作射线与⊙O的交点,就是符合题目条件的点P的位置。
)
第四类 新题型(近年全国各地初中会考中才出现的题型)
初中会考题型再新也离不开初中的基础知识,所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,然后,运用与之相关的基础知识,通过分析,综合,比较,联想,找到解决问题的办法。
例1如图一,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。
经过多年开垦荒地,现已变成如图一所示的六边形ABCMNE,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图一中的折线CDE)还保留着。
张大爷想过点E修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。
请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案。
(不计分界小路与直路的占地面积)
(1)写出设计方案,并在图二中画出相应的图形;
(2)说明方案设计理由。
教学引导:
如图二,,试过E作一直线EHF,交CD于H,交CM于F,按题意,要使EABCF的面积=EABCD的面积,且使EDCMN的面积=EFMN的面积(满足张大爷的要求)。
即要使三角形EHD的面积=三角形CHF的面积。
这要怎样的条件?
(答案:
连结EC,过D作DF∥EC交CM于点F,EF就是张大爷要修路的位置。
)
评议:
本题是实际应用题,其相关的基础知识是梯形的一些性质:
如下图,
梯形ABCD中,AB∥CD,有三角形ADC的面积=三角形BCD的面积,都减去三角形CDO的面积,即得三角形ADO的面积=三角形BCO的面积。
能联想到这知识是解决本题的关键。
例2电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片,叫“晶圆片”。
现为了生产某种CPU芯片,需长,宽都是1cm的正方形小硅片若干。
如果晶圆片的直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?
请说明你的方法和理由。
(不计切割损耗)
教学引导:
本题人人会入手做,但要按一定的顺序切割才能得到正确答案。
方法:
(1)先把10个小正方形排成一排,
看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCD.
∵AB=1,BC=10,
∴对角线AC2=102+12=100+1=101<10.052.
(2)在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形。
这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH,其长为9,高为3,对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为102+32=100+9>10.052.
(3)同理,∵82+52=64+25=89<10.052,而92+52=81+25=106>10.052.
所以,可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有5层。
(4)再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个。
∵72+72=49+49=98<10.052
而82+72=64+49=113>10.052.
(5)在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看作是9,每排可以是4个,但不能是5个。
∵42+92=16+81=97<10.052,而52+92=25+81=106>10.052.
现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm的空间,因为矩形ABCD的位置不能调整,故再也放不下1个小正方形了。
所以,10+2*9+2*8+2*7+2*4=66(个)。
评议:
本题解题的关键是①一排一排地放小正方形,②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识。
可能我们都有这样的经验:
我们讲解难题的时候,学生都能理解,但让学生再做另外一些难题的时候,学生又做不出来。
这是因为,我们只是把结果告诉学生,学生解题的思维方式没有得到训练。
在难题的教学中,我们不能只把结论告诉学生,更重要的是要让学生知道解题的思维方式,我们不要急于把题目的解法告诉学生,应当引导学生自己去解题,在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力,这也是新课标的要求;我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上,在引导学生寻找解题思路的这一过程之中,使学生找到开锁的钥匙。