排列组合问题17种方法.ppt

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完成一件事，有完成一件事，有nn类办法，在第类办法，在第11类办法中有类办法中有mm11种不同的方法，在第种不同的方法，在第22类办法中有类办法中有mm22种不种不同的方法，同的方法，在第，在第nn类办法中有类办法中有mmnn种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：

方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法种不同的方法复习巩固复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理（加法原理加法原理）完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成nn个步骤，做第个步骤，做第11步有步有mm11种不同的方法，做第种不同的方法，做第22步有步有mm22种不同的方法，种不同的方法，做第，做第nn步有步有mmnn种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有：

件事共有：

种不同的方法种不同的方法2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多少步及多少类。

少步及多少类。

3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题（有序有序）还是还是组合组合（无序无序）问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

1.1.排列的定义排列的定义:

2.2.组合的定义组合的定义:

3.3.排列数公式排列数公式:

4.4.组合数公式组合数公式:

排列与组合的关键是问题与次序有无关系。

5加法原理和乘法原理：

完成任务时是分类进行还是步进行。

特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字五位奇数五位奇数.解解:

由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元以免不合要求的元素占了这两个位置素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法问题最常用也是最基本的方法,若以元素若以元素分析为主分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处理其再处理其它元素它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需先满足特需先满足特殊位置的要求殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件的同时还要兼顾其它条件1.1.77种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若若两种葵花不种在中间，也不种在两端的两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里花盆里，问有多少不同的种法？

问有多少不同的种法？

练习题解一：

分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置：

解二：

第一步由葵花去占位：

第二步由其余元素占位：

小结：

当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。

相邻元素捆绑策略77人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：

解：

可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排。

要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可可以用以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素即将需要相邻的元素合并合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略一一个个晚晚会会的的节节目目有有44个个舞舞蹈蹈,22个个相相声声,33个个独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出场场顺顺序序有有多多少少种种？

解解:

分两步进行第一步排分两步进行第一步排22个相声和个相声和33个独唱共个独唱共有有种，种，第二步将第二步将44舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的66个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种不同的方法不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两进行排队再把不相邻元素插入中间和两端端某人射击某人射击88枪，命中枪，命中44枪，枪，44枪命中恰好枪命中恰好有有33枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题20某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的55个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（）30练习题定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略77人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙33人顺序一定共有多人顺序一定共有多少不同的排法少不同的排法解:

（倍缩法倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：

是：

（空位法空位法）设想有）设想有77把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有种坐法，则共有种坐法，则共有种种方法方法1思考思考:

可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法插入法）先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有11种排法种排法,再再把其余把其余44四人四人依次依次插入共有插入共有方法方法4*5*6*74*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排55人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

环排问题线排策略环排问题线排策略55人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?

解：

解：

围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人AA并从并从此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余44人共有人共有_种排法即种排法即AABBCCEEDDDDAAAABBCCEE（5-1）5-1）！

一般地一般地,nn个不同元素作圆形排列个不同元素作圆形排列,共有共有（n-1）!

n-1）!

种排法种排法.练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈60设六颗颜色不同的钻石为a,b,cd,e,f.与围桌而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：

（61）!

/260要考虑“钻石圈”可以翻转的特点多排问题直排策略多排问题直排策略88人排成前后两排人排成前后两排,每排每排44人人,其中甲乙在其中甲乙在前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:

8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现个座位，现安排安排22人就座规定前排中间的人就座规定前排中间的33个座位不能坐，并个座位不能坐，并且这且这22人不左右相邻，那么不同排法的种数是人不左右相邻，那么不同排法的种数是_346练习题重排问题求幂策略重排问题求幂策略把把66名实习生分配到名实习生分配到77个车间实习个车间实习,共有共有多少种不同的分法多少种不同的分法解解:

完成此事共分六步完成此事共分六步:

把第一名实习生分配把第一名实习生分配到车间有到车间有种分法种分法.77把第二名实习生分配把第二名实习生分配到车间也有到车间也有77种分法，种分法，依此类推依此类推,由分步计由分步计数原理共有数原理共有种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为种种nnmm1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）422.2.某某88层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来88名乘客人名乘客人,他们他们到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯,下电梯的方法下电梯的方法（）练习题分组问题分组问题6本不同的书分成本不同的书分成3份份,

（1）1份份3本本.1份份2本，本，1份份1本共有多少法？

本共有多少法？

（2）1份份4本，另本，另2份各份各1本本共有多少法？

共有多少法？

（3）每份）每份2本本共有多少法？

共有多少法？

平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以（n为为均分的组数均分的组数）避免重复计数。

避免重复计数。

分配问题分配问题有有66个不同的小球个不同的小球,装入装入ABC3ABC3个不同的盒内个不同的盒内,（1

（1）每盒各装）每盒各装22个个（22）AA中中33个，个，BB中中22个，个，CC中