数学建模实验答案初等模型.docx
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数学建模实验答案初等模型
实验02初等模型（4学时）
（第2章初等模型）
1.（编程）光盘的数据容量p23~27
表13种光盘的基本数据
激光器
激光波长/μm
光斑直径/μm
信道间距/mm
（d）
数据线密度/
（B·mm-1）
（ρ）
红外（CD）
0.78
2
1.6×10-3
121
红色（DVD）
0.64
0.92
0.74×10-3
387
蓝色（DVD）
0.41
0.4
0.32×10-3
800
CAV光盘：
恒定角速度的光盘。
CLV光盘：
恒定线速度的光盘。
R2=58mm,R1=22.5mm，d,ρ见表1。
CLV光盘的信息总长度（mm）LCLV
CLV光盘的信息容量（MB）CCLV=ρLCLV/（10^6）
CLV光盘的影像时间（min）TCLV=CCLV/（0.62×60）
CAV光盘的信息总长度（mm）LCAV
CAV光盘的信息容量（MB）CCAV=ρLCAV/（10^6）
CAV光盘的影像时间（min）TCAV=CCAV/（0.62×60）
1.1（验证、编程）模型求解
要求：
①（验证）分别计算出LCLV,CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。
程序如下：
clear;clc;formatcompact;
R1=22.5;R2=58;
d=10^（-3）*[1.6,0.74,0.32]';
rho=[121,387,800]';
LCLV=pi*（R2^2-R1^2）./d;
CCLV=rho.*LCLV/10^6;%从B转换到MB
TCLV=CCLV/（0.62*60）;%从秒转换到分
s='';S=[s;s;s];%s为两个空格，S为两列空格
[num2str（round（LCLV））,S,...%其中的量为列向量
num2str（round（CCLV））,S,...
num2str（round（TCLV））]
②（编程）对于LCAV,CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。
★要求①的程序的运行结果：
★要求②的程序及其运行结果：
clear;clc;formatcompact;
R1=22.5;R2=58;
d=10^（-3）*[1.6,0.74,0.32]';
rho=[121,387,800]';
LCAV=pi*R2^2./（2*d）;
CCAV=rho.*LCAV/10^6;
TCAV=CCAV/（0.62*60）;
s='';S=[s;s;s];
[num2str（round（LCAV））,S,...
num2str（round（CCAV））,S,...
num2str（round（TCAV））]
1.2（编程）结果分析
信道长度LCLV的精确计算：
模型给出的是近似值：
相对误差为：
要求：
①取R2=58mm,R1=22.5mm，d,ρ见表1（题1）。
分别计算出LCLV,L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。
②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。
[提示]
定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。
要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。
★编写的程序和运行结果：
程序：
R1=22.5;R2=58;
d=[1.6e-3,0.74e-3,0.32e-3]';
LCLV=zeros（3,1）;
LCLV
（1）=quad（'2*pi/1.6e-3*sqrt（x.^2+（1.6e-3/（2*pi））^2）',R1,R2）;
LCLV
（2）=quad（'2*pi/0.74e-3*sqrt（x.^2+（0.74e-3/（2*pi））^2）',R1,R2）;
LCLV（3）=quad（'2*pi/0.32e-3*sqrt（x.^2+（0.32e-3/（2*pi））^2）',R1,R2）;
L=pi*（R2^2-R1^2）./d;
delta=abs（LCLV-L）./abs（L）;
s='';S=[s;s;s];
[num2str（round（LCLV））,S,...
num2str（round（L））,S,...
num2str（round（1000*delta）/100）]
运行结果：
2.（验证，编程）划艇比赛的成绩p29~31
模型：
t=αnβ
其中，t为比赛成绩（时间），n为桨手人数，α和β为参数。
为适合数据拟合，将模型改为：
logt=logα+βlogn
桨手人数n
比赛平均成绩t
1
7.21
2
6.88
4
6.32
8
5.84
（1）参数α和β估计
程序如下：
clear;clc;
n=[1248];%桨手人数
t=[7.216.886.325.84];%比赛平均成绩
logt=log（t）;logn=log（n）;
p=polyfit（logn,logt,1）;%polyfit函数使用格式见提示
beta=p
（1）
alfa=exp（p
（2））
（2）实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形）
参考数据结果：
第1列为桨手人数，第2列为实际比赛平均成绩，第3列为计算比赛平均成绩。
参考图形结果：
要求：
①运行问题
（1）中的程序。
②编程解决问题
（2）：
实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形）。
★（验证）用数据拟合求参数α和β。
给出α和β值和模型：
模型为：
★（编程）实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形），程序和运行结果：
程序：
n=[1248]';
t=[7.216.886.325.84]';
logt=log（t）;logn=log（n）;
p=polyfit（logn,logt,1）;
beta=p
（1）;
alfa=exp（p
（2））;
t2=alfa*n.^beta;
[n,t,t2]
a=0:
0.01:
10;
t3=alfa*a.^beta;
plot（n,t,'x',a,t3）;
数值结果：
图形结果：
3.（编程，验证）污水均流池的设计p34~37
表2（p35）社区一天以小时为单位间隔的生活污水流量（单位：
m3/h）
时间t（h）
0
1
2
3
4
5
6
7
流量f（m3·h-1）
150.12
115.56
84.96
66.60
68.04
71.64
82.08
132.84
时间t（h）
8
9
10
11
12
13
14
15
流量f（m3·h-1）
185.04
226.80
246.60
250.92
261.00
271.44
273.96
279.00
时间t（h）
16
17
18
19
20
21
22
23
流量f（m3·h-1）
291.60
302.04
310.68
290.52
281.16
248.40
210.24
186.84
3.1（编程）均流池的恒定流出量和最大容量模型（离散）
每小时污水流入均流池的流量为f（t）,t=0,1,2,…,23。
一天的平均流量
均流池中污水的空量c（t）,t=0,1,2,…,23。
c（t+1）=c（t）+f（t）-g,t=0,1,2,…,22（模型）
要求：
①求g，画f（t）和g的图形（与P35图1比较）。
②求c（t）,t=0,1,2,…,23,c（0）=0，并求其中的最小值M（与P36表3比较）。
求c（t）,t=0,1,2,…,23,c（0）=-M（与P36表4比较）。
画c（t）分别当c（0）和c（-M）时的图形（与P37图2比较）。
★要求①的程序和运行结果：
程序：
t=0:
23;
f=[150.12115.5684.9666.6068.0471.64,...
82.08132.84185.04226.80246.60250.92,...
261.00271.44273.96279.00291.60302.04,...
310.68290.52281.16248.40210.24186.84];
s=0;
fori=1:
24
s=s+f（i）;
end
g=s/24
t2=0:
0.01:
23;
plot（t,f,t2,g,'r-'）;
text（10,213.67,'g=203.67'）;
gridon
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
★要求②的程序和运行结果：
程序：
t=0:
23;
f=[150.12115.5684.9666.6068.0471.64,...
82.08132.84185.04226.80246.60250.92,...
261.00271.44273.96279.00291.60302.04,...
310.68290.52281.16248.40210.24186.84];
s=0;
fori=1:
24
s=s+f（i）;
end
g=s/24;
c1
（1）=0;
forj=1:
23
c1（j+1）=c1（j）+f（j）-g;
end
c1
M=min（c1）
c2
（1）=-M;
fork=1:
23
c2（k+1）=c2（k）+f（k）-g;
end
c2
plot（t,c1,t,c2）;
text（7,160,'c（0）=876.15'）;
text（7,-760,'c（0）=0'）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'c'）;
gridon
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
3.2（验证）均流池的恒定流出量和最大容量模型（连续）p56习题3
每小时污水流入均流池的流量为f（t）,t=0,1,2,…,23。
用3次样条插值得到连续函数f（t）,0≤t≤23。
（仍用f（t）表示）
一天的平均流量
均流池中污水的容量c（t）,0≤t≤23。
c（t+Δt）-c（t）=（f（t）-g）Δt
（模型）
（1）求g，画f（t）和g的图形（与P35图1比较）。
程序：
functiony=f（t）
tt=0:
23;
ft=[150.12115.5684.9666.6068.0471.64,...
82.08132.84185.04226.80246.60250.92,...
261.00271.44273.96279.00291.60302.04,...
310.68290.52281.16248.40210.24186.84];
y=interp1（tt,ft,t,'spline'）;%3次样条插值
clear;clc;
g=1/（23-0）*quad（'f',0,23）
t=0:
0.0001:
23;
plot（t,f（t）,[0,25],[g,g]）;
text（10+0.7,g+13,['g=',num2str（g）]）;
xlabel（'{\itt}'）;
ylabel（'{\itf}'）;
gridon;
（2）求c（t）,0≤t≤23,c（0）=0时的最小值M。
画c（t）初值条件分别为c（0）=0和c（0）=-M时的图形（与P37图2比较）。
程序：
functiony=c（t,c0,g）%c0,g将作为参数
y=quad（'f',0,t）-t*g+c0;
clear;clc;
t=0:
0.1:
23;
g=1/（23-0）*quad（'f',0,23）;
ct0=zeros（size（t））;
fori=1:
length（t）
ct0（i）=c（t（i）,0,g）;
end
[tt,m]=fminbnd（@（t）c（t,0,g）,0,23）%求最小值，注意函数c的参数格式
ctm=zeros（size（t））;
fori=1:
length（t）
ctm（i）=c（t（i）,-m,g）;
end
plot（t,ct0,t,ctm）;
text（7,c（8,0,g）+100,['c（0）=',num2str（ct0
（1））]）;
text（7,c（8,-m,g）+100,['c（0）=',num2str（ctm
（1））]）;
xlabel（'{\itt}'）;
ylabel（'{\itf}'）;
gridon;
要求
①运行
（1）中的程序，结果与P35图1比较。
②运行
（2）中的程序，结果与P37图2比较。
③阅读并理解程序。
★要求①的运行结果：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
★要求②的运行结果：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
4.（编程）天气预报的评价p49~54
31天4种（A~D）预报方法的有雨预报（%）及实际观测结果
functionM=tab（）
%日期ABCD有雨=1/无雨=0
M=[1903090601;
2403050801;
3603080701;
4603090701;
560300200;
6303010501;
7803010400;
8703020300;
9803040300;
10603060400;
11803020801;
12403030400;
13903090401;
14503060200;
15103020100;
16603050801;
17203010300;
180300500;
19903060400;
2070301000;
2120300300;
22403020300;
23403010100;
24803050400;
2530300200;
26303010300;
2730302000;
2803060401;
2960300200;
30203010100;
31803050100];
4.1（编程求解）计数模型p50~52
若预报有雨概率>50%，则认为明天有雨，<50%则认为无雨，且依照明天是否有雨的实际观测，规定预报是否正确，从而统计预报的正确率。
求出4种预报的结果计数矩阵：
预报的正确率：
对角线数字之和/全部数之和。
要求：
①编写程序求出4种预报的结果计数（天数），并分别计算出它们的预报正确率（取2位小数）。
②结果与p51中的结果比较。
★程序和运行结果：
程序：
functionM=tab（）
M=[1903090601;
2403050801;
3603080701;
4603090701;
560300200;
6303010501;
7803010400;
8703020300;
9803040300;
10603060400;
11803020801;
12403030400;
13903090401;
14503060200;
15103020100;
16603050801;
17203010300;
180300500;
19903060400;
2070301000;
2120300300;
22403020300;
23403010100;
24803050400;
2530300200;
26303010300;
2730302000;
2803060401;
2960300200;
30203010100;
31803050100];
forj=2:
5
a=0;b=0;c=0;d=0;
fori=1:
31
ifM（i,j）>50&&M（i,6）==1
a=a+1;
end
ifM（i,j）>50&&M（i,6）==0
b=b+1;
end
ifM（i,j）<50&&M（i,6）==1
c=c+1;
end
ifM（i,j）<50&&M（i,6）==0
d=d+1;
end
end
x=[a,b;c,d]
p=vpa（（（a+d）/（a+b+c+d））,2）
end
运行结果：
4.2（编程求解）记分模型p52~53
将预报有雨概率的大小与实测结果（有雨或无雨）比较，给予记分。
注意：
要将M中的预报概率值转换为小数。
模型1
记第k天某种预报有雨概率为pk，第k天实测有雨为vk=1，无雨为vk=0，令第k天的某种预报得分为
将sk对k求和得到某预报的分数S1（越大越好）。
模型2
sk=|pk-vk|
将sk对k求和得到某预报的分数S2（越小越好）。
模型3
sk=（pk-vk）2
将sk对k求和得到某预报的分数S3（越小越好）。
要求：
①编程求4种预报在模型1、2、3下的相应分数S1、S2、S3。
②运行结果与p52的结果比较。
★程序和运行结果：
functionM=tab（）
M=[1903090601;
2403050801;
3603080701;
4603090701;
560300200;
6303010501;
7803010400;
8703020300;
9803040300;
10603060400;
11803020801;
12403030400;
13903090401;
14503060200;
15103020100;
16603050801;
17203010300;
180300500;
19903060400;
2070301000;
2120300300;
22403020300;
23403010100;
24803050400;
2530300200;
26303010300;
2730302000;
2803060401;
2960300200;
30203010100;
31803050100];
M（:
2:
5）=M（:
2:
5）/100;
fori=2:
5
S1=0;
S2=0;
S3=0;
forj=1:
31
s1=（（-1）^M（j,6））*（0.5-M（j,i））;
S1=S1+s1;
s2=abs（M（j,i）-M（j,6））;
S2=S2+s2;
s3=（M（j,i）-M（j,6））^2;
S3=S3+s3;
end
i-1
S1
S2
S3
end
ans=
1
S1=
1
S2=
14.5
S3=
8.95
ans=
2
S1=
2.6
S2=
12.9
S3=
6.39
ans=
3
S1=
7
S2=
8.5
S3=
4.23
ans=
4
S1=
6.7
S2=
8.8
S3=
3.22
4.3（部分编程求解）图形模型——模型1p53
以预报有雨概率p（值为小数）为横轴，实测值v（值为0或1）为纵轴，奖表tab的数据在图上用符号*标出，其中*上面的数字是坐标在*的天数。
预报A的程序：
clear;clc;
M=tab（）;
M（:
2:
5）=M（:
2:
5）/100;%概率值都改为小数
K=logical（M（:
6））;%将M（:
6）中非0值的位置赋逻辑值true，MATLAB建议用logical代替find
pp=M（K,2）;%K中为true的对应位置的M元素保留，其中有重复概率值
pp=sort（pp）;%按升序排序
[p,I,~]=unique（pp,'last'）;%去掉重复值，p（i）值在pp中最后出现的行下标为I（i）
c=I-[0;I（1:
end-1）];%求p（i）在pp中重复个数c（i）
plot（[0,1],[1,1],':
',p,ones（size（p））,'b*'）;%画v=1的水平线和概率值p处的*
fori=1:
length（c）%标注重复数
T=text（p（i）,1+0.05,num2str（c（i）））;
set（T,'color','b'）;
end
%自己完成v=0时的程序，把该图与上面的图合在一起
xlabel（'{\itp}'）;ylabel（'{\itv}'）;
text（0.5,0.5,'预报A'）;
运行结果示例：
要求：
①自己完成上面未完整的程序并运行。
②修改预报A的程序，分别用于B、C、D，并运行。
③运行结果与p53中的结果比较。
★预报A的完整程序：
M=[1903090601;
2403050801;
3603080701;
4603090701;
560300200;
6303010501;
7803010400;
8703020300;
9803040300;
10603060400;
11803020801;
12403030400;
13903090401;
14503060200;
15103020100;
16603050801;
17203010300;
180300500;
19903060400;
20
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