高中新课标数学必修一幂函数.docx

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高中新课标数学必修一幂函数

高中新课标数学必修一2.3幕函数

知识梳理

一.定义

一般地，函数y=√z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数.

函数

>'=兀

=V2

一]

y=x

图

象

-V=<——

0*≡4Cλγ

定义域

[θ,+8）

（-oo,θ）U（O,+s）

值域

[θ,+S）

（-8,0）U（O,+8）

奇函数

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在（-cθ,+oθ）±

单调递增

在（-8,0）上

单调递减

在［θ,+oo）上

单调递增

在（-oθ,÷oθ）Jt

单调递增

在［o,+S）上

单调递增

在（-8,0）上单调递减在（0,+S）上单调递减

公共点

（U）

典例解析

题型一:

幕函数的概念

例1•有下列函数

（Dy=√x;

（2）y=X°；（3）y=2";（4）y=x",J（5）y=3x2;

（6）y=X2+1;

⑺y=_丄.

貝中，是幕函数的有（只填序号）•

规律方法：

⑴理解幕函数y=Xa的概念应注意以下几点:

①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且αeR;③

系数为1・

⑵幕函数与指数函数的区别：

指数函数y=ax-自变量（全体实数）

I一底数（大于O且不等于1）

幕函数y=Λ*"常数〔只研究α=l,2,3，―）・1）

I一自变量（与α的取值有关）

例2•已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3,加为何值时,f（x）：

⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0,+s）上的增函数：

⑶是正比例函数;

⑷是反比例函数；⑸是二次函数.

规律方法：

本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：

①正比例函^y=kx（k≠0）t②反比例函^y=-（k≠0）t③二

次函数y=^2+^v+c（^≠0）;④幕函数y=xα（α是常数）•

题型二：

幕函数的图象

例3•如图所示的曲线是y=Λ"在第一象限的图象，已知αj∙4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的

4「

规律方法:

1•農函数的指数与图象特征的关系:

当a≠0,1时爲函数y=屮在第一象限的图象特征:

α取值

a>∖

OVaVl

a<0

图象

yIA

_VLA

——k―≡►

a1X

σ∖∖X

特殊点

过（0,0）,（1,1）

过（1,1）

凹凸性

下凸

上凸

下凸

单调性

递增

递减

举例

y=X2

y=χ~'9y=x2

2・農函数y=xα随着a值的改变图象的变化规律是:

随着a的由小变大■图象在直线X=1的右侧,由低到高.认识幕函数的图象重点在于掌握其特征•对于y=xσ,当QVo时,在第一象限内为双曲线形;当0<αV1

时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α>1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上•

题型三:

幕函数的定义域

例5.求下列函数的泄义域

规律方法:

y=χα的定义域的求法.

α的分类

y=χα的定义域

α为正整数

α为负整数

（-8,0）U（O,+S）

a=匕（p、q已Mq

且互质,g>l）

g为偶数

[θτ+θθ）

"为奇数

a=-匕（p，qwN"q

且互质,g>l）

g为偶数

（0»+OO）

Q为奇数

（-S,θ）U（O,+8）

题型四：

幕函数的性质及应用

例6•比较下列各组数的大小.

558I8

⑴32与3・12；

（2）-89与一

（一）9；

2・-ZT--2.Z丄

（3）（.-）3与（__）3；（4）4∙153∙8∖（-1∙9）5.

规律方法:

分类

对象

方法

指数相同，底数不同

aJ—aXl与x2

利用幕函数V=Λ-α的单调性

指数不同，底数相同

αxb与H

利用指数函数y=/的单调性

底数，指数都不同

亦与皆

寻找中间变量bx'⅛,-或0或1

例7•已知幕函数/C）=MiL3,仏UM）的图象关于y轴对称，且在（o,+s）上是减函数:

⑴求/3）的解析式:

Inm

⑵求满足（a+1）~<（3-2«）~的G的取值范味

规律方法：

⑴•单调性:

幕函数y=Λ-α在第一象限的图象特征:

①当Q>1时,图象过点（0,0）,（,1,1）递增,如y=疋.②当丄

OVaVl时,图象过点（0,0>（,l,l）递增,如y=x7.@当αV0时,图象过点（1,1）递减,且以两坐标轴为渐进线,如y=x~,.

（2）=xλ的奇偶性的判断方法.

α的分类

y=*的奇偶性

XGN

α是偶数

偶函数

α是奇数

奇函数

a=匕q

（p,q互质

p、q已Z

9是奇数

P是奇数时是奇函数

P是偶数是是偶函数

G是偶数

非奇非偶函数

同步练习

1.选择题

A.-B.4

c∙返

D.y∣2

2•函数y=√的图象大致是（

）

322■

3.a=（-）∖Z?

=（-）∖c=（-）5,则小C的大小关系是（）

A.a>c>bB.cι>h>c

4•下列说法正确的有（）⑴幕函数的图象均过点（IJ）:

⑵幕函数y=χ"1在（-OO）上单调递减,在（0,+s）上也单调递减,因此幕函数

y=r1是左义域内的单调函数；⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现：

⑷幕函数在第四象限可以有图象：

⑸当d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数：

⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.下列不等式在b

1£22

A.CrX>b^B.a3b3

6•若OVaV”V1,则下列不等式成立的是（）

A.（l-α）∣>（l-β）f,B.（l+a）">（l+/"C.（l-a）fe>（l-tι）lD.（l-aj,>（l-^）b

7•图中C1,C2,C3为三个呈函数），=_?

在第一象限内的图象,则解析式中指数R的值依次可以是（）

A.—1,—,3B.—13—C.—,—1,3D.—,3,-1

2222

2.填空题

&幕函数y=0屛_伽+1902”T的图象不过原点,则In的值为.

9.函^y=（X-Ip的单调区间为.

10•函数y=（//LV2+4x+2）^2+χ2-InX+1的泄义域为R.则m的取值范囤.

3.解答题

11.已知幕函数/（λ）=丿"'+"F,（加∈7V*）.

⑴试确泄函数的定义域,并指明函数在左义域上的单调性；

⑵若该函数还经过（2,λU）,试确定m的值,并求满足条件f（2-a）>f（a-1）的取值范围.

12.已知幕函数/（Q=疋"八2",（用eZ）为偶函数,且在（0,+OO）上单调递增.

⑴求/（X）;⑵设g（x）=JTG）+2x+C,若g（x）>2,对于XWR恒成立,求C的取值范用.

能力挑战

1.已知/（x）=芒"，+，”+3伽eZ）为偶函数,且/⑶V/⑸•

⑴求〃7;⑵若^（X）=IOgfl[/M-«4（«>0且α≠1）,在[2,3]上为增函数,求“的取值集合.

」23

2•已知幕函数/（λ-）=√2p+,,+2,（/7∈∕V）.⅛（0,+∞）上是增函数,在泄义域上是偶函数.

⑴求〃的值,并写出相应的函数/3）的解析式；

⑵对于⑴中求得的函数/⑴.设函数g（x）=—0V（x）]+（2g-1）∙/（x）+L则是否存在实数√t7<0）,使得g（x）在区间（-s,-4］上是减函数,且在区间（-4,0）上是增函数?

若存在,请求出来,若不存在,请说明理由.

2.3幕函数答案

典例解析

题型一:

幕函数的概念

例1.（1X2X4）

解:

⑶中y=22j是指数函数;⑸中X2的系数是3,故不是幕函数;⑹中y=√+l,不是√1的形式,故不是幕函数,⑺中丄的系数是一1,故不是幕函数.

例2.解:

⑴∙.∙/（λ）是幕函数,故m2-m-↑=∖,即m2-m-2=0,解得In=2或ιn=-∖.

R21_1

⑵若/（X）是幕函数,且又是（0,+≪>）上的增函数厕一也一=,AZH=-I・

—5/?

1—3>0,

⑶若f（X）是正比例函数,则一5∕π-3=l.解得m=~-,此时,m2-m-∖≠0Mm=--

⑷若f（%）是反比例函数,则一5∕λ∕-3=-L则加=一二,此时一〃2-1HO,故Ul=——・

⑸若/（x）是二次函数,则一5也一3=2,即In=-\,此时m2-m-∖≠0,故加=—1.

综上所述,当m=2或加=-l,∕（x）是幕函数;当/π=-1⅛,∕（λ）既是幫函数,又是（O,P）上的增函数;当m=~-时J（X）是正比例函数;当m=⑴是反比例函数;当加=—1时J（X）是二次函数.

题型二:

幕函数的图象

例3.B.

解:

要确定一个幕函数y=Λα任坐标系内的分布特征,就要弄淸幕函数y=χσ随着a值的改变图象的变化规律,随着a的变大,幕函数y=Xa的图象在直线X=1的右侧由低向髙分布,从图中可以看岀,直线X=1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,fi∣τ以C∣,C2,C3,Ct的指数G依次为4,1-1,-4.

例4.（6X4）（3）

（2）（7X1）（5）

解:

先区分幕函数的正负,若是正指数,再与1比较大小,.若是负数,再区分奇偶性,就可找到对应图象的函数..

观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随X的增大而减小,则幕指数αvθ.其中第一个函数图像关于原点

对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的左义域为（09+oo）.所以第一个函数图像对应y=Λ75;第二

2-3

个图象对应y=三个图象对应〉，=人二;后而四个图象都通过（0,0）和（IJ）两点,故α>0,第四个图象关于

y轴对称,第五个图象关于原点对称,龙义域都是R,所以第四个图象对应y=G,第五个图象对应y=x∖由最后两个图象知,函数的左义域为[0,-κo）,而第六个图象呈上凸状.α应小于1,第七个图象呈下凸状.α应大于1,故33

第六个图象对应y=F,第七个图象对应y=込,所以按顺序分别填⑹（4）（3X2）（7）

（1）（5）.

题型三:

幕函数的定义域

例5•解:

（l）y=/=W,其泄义域为R：

丄

（2）y=P=屁其定义域为[0,+Oθ）;

（3）y=χi=-F=.,其定义域为（-oo,θ）U（θ,+oo）:

y∣χJ

（4）y=√5=_Lt其定义域为（0,乜）：

（5）y=（χ+2）2=2∕（χ+2）∖其泄义域为[一2,*c）.

题型四：

幕函数的性质及其应用

555

例6•解：

⑴函数y=χA在（0,+≪>）上为减函数，又3<3∙1,所以3~>（3∙1）~.

8]88[[8[8

（2）8^=（-f函数〉，=捂在[0,P）上为增函数，又→∣,所以8^^>（-）∖所以一8^^<-（~Γ.

Q2j2Z-22-r1_2

（3）（--P=（-P=（-P,（--P=（-P,因为函数y=P在（0,乜）上为减函数，—>Z

3366666

所以（-∣）^j<（-^ρ.

2223223

⑷因为4∙P>P=1,0<3∙8^i<Γ5=1,（-l∙9p<0,所以4∙P>3∙8^1>（-l∙9p.

例7•解：

（I）T函数/（x）在（0,-KO）上单调递减，.∙.∕√-2∕h-3<0,解得-∖

∙.∙〃疋AT,.∙.m=1,2,又函数/⑴的图象关于y轴对称，Am2-2nι-3是偶数，而

22-2×2-3=-3为奇数，l2-2×l-3=^为偶数，.∙.m=1,/（x）=x^4.

-丄-1-1

（2）^（X）=X3在（一oo,0>（0,rd）上均为减函数，.∙.（α+l）3<（3-2«）3等价于a+∖>3-2a>0或

O>tz+1>3—2r∕或α+lvθv3-2d解得α<-l或一VdV-,故a的取值范围为

、23

・

132

⑶由（I）WF（Λ-）=6∕λf7W+-4-=Λ+^V3:

当a=b=O时，/G）既是奇函数又是偶函数：

当

g）V-

a=O,b≠O时，/（x）是奇函数；当a≠O,b=O时，/（x）是偶函数：

当a≠O,b≠O时，/（x）是非奇非偶函数.

同步练习

1.选择题

1.C.解析：

将点（4,丄）代入y=x“得丄=4°,。

=—1,.∙.∕（x）=χP,.∙./⑵=2飞=二，2.D.解

2222

析:

Vy=X3=V√是R上的偶函数且在（0、+8）上单调递增，故选D.3.A.解析：

构造幕函数

y=x5（x∈∕?

）由该函数在［0,+8）上单调递增，知a>cχ再构造指数函数γ=（-）v（x∈/?

）>由该函数在其左义域内单调递戒得c>b,所以a>c>b∙4.C.解析:

本题需熟练掌握幕函数的图象和性质.然后对每

个命题按性质判断,其Φ（1X5）（6）正确,（2X3）⑷错误,⑹可借助图形观察出来.故选C.5.D解析:

考察函数

y=X-1,y=x∖y=x2,y=x',因为b

）上单调递减,所以∕<1>CrX;函数

I1I_2

y=X3在（-s,θ）上单调递增,所以bya2∖函数y=X'在22

（-。

0）上单调递增,所以b~

利用指数函数y=ax（O

由幕函数的指数与图象特征的关系知:

«1，故选A.

2.填空题

&3解析:

由∖m^9,π+19=Zh得Zn=3-9.减区间（l4-o）;增区间（-s,l）解析:

函数y=βP在

2∕∕z2-7w-9≤0,

（-。

0）上单调递增,在（0,w）上单调递减,而函数y=Gv-Ip是由函数y=x'1向右平移1个单位得到的,所_2

以y=（X-I）'在（一G°」）上单调递增，在（1,乜）上单调递减.10・In>2解析：

・・•函数y=（JnXl+4x+2）+x2-IHX+1的定义域为R,:

.InXI+4x+2>O恒成立匸只需θ5

Δ=16-47/7x2<0,:

.m>2.

三•解答题

11•解:

（1）・.・m2+m=m（m+1）,tn∈N•、而In与m+1中必有一个偶数，.∖Hr+m为偶数，/.函数

几Q=+"片”『,（〃疋M）的泄义域为［θ,+oo）,并且函数/⑴在貝左义域上为增函数.

⑵・・・函数/G）经过点（2,√r2）,/.√2=2曲"尸而2,=2亦枷尸,・・・n/2+加=2,/.川=1或

）M√+x22）-（2g-l）]

满足条件/（2-«）>/（«-!

）的实数α的取值范围为

12•解:

（1）由一”『+2〃?

+3>0得-1

Af（x）=χ4・

（2）∙.∙^（X）=X2+2x+c=（λ+1）2+c-l>2恒成立,/.^（X）Inin>2且XeR^（X）Inin=g（-1）=c-1,

・∙∙c-l>2,.∖c>3.

能力挑战

1•解:

⑴∙.∙/（λ）为偶函数，.∙.-Inr+加+3应为偶数,又/⑶V/⑸即3亠CEV5亠CE

/.（-）^2r"2Z<1,・•・-2m1+∕w+3>0,A-I<∕n<-且〃2wZ./.m=O或1,

当加=O时,一Im2+也+3=3为奇数;当〃7=1时,一2m2+m+3=2为偶数,所以/n=1,/（X）=X2.

⑵^（X）=IOgrt（λ2-ax）,由y=IogaU（X）J（（X）=x2-UX复合而成,当OVdVl时,y=IOgdZY（X）为减函数,而

£>3要使g（x）在［2,3］上为增函数，故"（x）=χ2-αr在［2,3］上为减函数.J1x2-6∕λ>0.所以'

32-3^>O,

.∙.tz∈Φ,当α>1时,y=Iog/心）为增函数,而要使g（x）在［2,3］为增函数,故W（X）=X2-OX在［2,3］上为增

函数但X2-UJC>O,/.■2'i:

4一2“>0,

2•解:

⑴若y=√r在（O,P）上是增函数侧有α>0,因为/⑴在（O,P）上增函数,所以—㊁］>0,利

用二次函数图象解得一Ivp<3,又p^N、所以p=2丄0;当〃=0或2时,/（小=迈,不是偶函数,当P=I时J（X）=x2是偶函数,故f（x）=X2・

⑵因为/G）=/,所以g（χ）=-G√l+（2g-l）Λ∙2+l,假设存在实数q（q<0）,使得g（x）满足条件,设x1

若x1,x2∈（-00,-4],易知旺+x2<0,x2-Xl>0,要使g（x）在（-00,-4]上是减函数，则应有tz（x12+x22）-（2^-l）32,而q<0,要使

q（x；+x22）<2t∕-l恒成立,只须2q-∖≥32q,解得qS-丄；由州,七W（-4,0）,易知Cη+XI）（X2一Xl）V0,30

要使g（x）在（-4,0）±是增函数,则应有^GVI2+λ∙22）-（2^7-I）>O恒成立•因为一4vx∣Vθ,-4VX2VO.所以x12+j⅛2<32,W32g,要使q（x^+λ⅛2）>2§-1恒成立,则必有2q-∖<32q,解得空-丄.

综上所述,存在实数§=-丄,使得g（x）在（-OO-4]±是减函数,且在（-4,0）±是增函数.

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