专题07 极化恒等式问题.docx
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专题07极化恒等式问题
专题07极化恒等式问题
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.
rr1⎡rr2r2⎤
1.极化恒等式：
a⋅b=4⎣（a+b）-（a-b）⎦
2
uuur
2
2.极化恒等式三角形模型：
在∆ABC中，D为BC的中点，则AB⋅AC=|AD|
-
|BC|
4
3.极化恒等式平行四边形模型：
在平行四边形ABCD中，AB⋅AD=
1
（|AD|2
4
-|BD|2）
类型一利用极化恒等式求值
典例1.如图在三角形ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，BA⋅CA=4,BF⋅CF=-1,则
BE⋅CE值为.
7
【答案】
8
【解析】
22
设DC=a,DF=b,BA⋅CA=|AD|2-|BD|2=9b-a
=4
22
BF⋅CF=|FD|2-|BD|2=b-a
=-1
2
解得b
=5,
213
a=
88
2
uuur
2
227
∴BE⋅CE=|ED|
-|BD|=4b-a=
8
类型二利用极化恒等式求最值或范围
典例2在三角形ABC中，D为AB中点，∠C=90︒,AC=4,BC=3，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，
则DE⋅DF最小值为
15
【答案】
4
【解析】
1
设EF的中点为M，连接CM，则|CM|=
2
即点M在如图所示的圆弧上，
则DE⋅DF=|DM|2-|EM|2=|DM|2-
1≧|CD|-1
42
-1=15
44
类型三利用极化恒等式求参数
1
典例3设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=
4
PB⋅PC≥P0B⋅P0C,则三角形ABC形状为.
【答案】C为顶角的等腰三角形.
【解析】
AB,且对于边AB上任一点P，恒有
取BC的中点D，连接PD,P0D.
PB⋅PC
P0B⋅P0C
uuur
2
uuur
2
2
uuur
2
∴|PD|
-
|BC|
4
P0b
-
|BC|
4
∴|PD|
P0D
∴P0D⊥AB,设O为BC的中点，
∴OC⊥AB∴AC=BC
即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.
1.已知∆ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅（PB+PC）的最小值是
【答案】-
2
【解析】
设BC的中点为O，OC的中点为M,连接OP,PM,
2
uuur
2
33
∴PA⋅（PB+PC）=2PO⋅PA=2|PM|-
|AO|=2|PM|-≥-
222
当且仅当M与P重合时取等号
2.直线ax+by+c=0与圆0:
x2+y2=16相交于两点M,N,若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则
PM⋅PN的取值范围为
【答案】[-6,10]
【解析】
圆心O到直线ax+by+c=0的距离为d=
|c|
=1
设MN的中点为A，
PM⋅PN=|PA|2-|MA|2=|PA|2-15
|OP|-|OA||PA||OP|+|OA|
∴3|PA|5,PM⋅PN=|PA|2-15∈[-6,10]
π
1
3.如图，已知B,D是直角C两边上的动点，AD⊥BD,|AD|=3,
∠BAD=6,CM=2（CA+CB）
1
CN=
2
（CD+CA），则CM⋅CN的最大值为
1
【答案】（
4
+4）
【解析】
21
设MN的中点为G，BD的中点为H，CM⋅CN=|CG|-
4
2
21
|MN|=|CG|-
16
113
⎛113⎫211
|CG||CH|+|HG|=+
2
4∴CM⋅CNç2+
-=（
4164
+4）
所以CM⋅CN的最大值为1（
4
⎝⎭
+4）
4.如图在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1，3，点B,C分别在m,n
上，且|AB+AC|=5，则AB⋅AC的最大值为
21
【答案】
4
【解析】
连接BC，取BC的中点D，则AB⋅AC=AD2-BD2，
又AD=
15
|AB+AC|=
22
25
22512
故AB⋅AC=-BD=-BC
444
又因为BCmin=3-1=2
21
所以（AB⋅AC）max=4
5.在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60︒,C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP⋅BP的最小值为
【答案】-
4
【解析】
2221
取OB的中点D，连接PD，则OP⋅BP=PD
-
OD
=PD-
4
于是只要求求PD的最小值即可，
由图可知，当PD⊥AB时，PDmin=4
即所求最小值为-
4
6.
已知线段AB的长为2，动点C满足CA⋅CB=λ（λ为常数），且点C总不在以点B为圆心，1为半径的
2
圆内，则负数λ的最大值为
【答案】-
4
【解析】如图取AB的中点为D，连接CD,则CA⋅CB=CD2-1=λ
CD=1+λ,-1λ<0
1
又由点C总不在以点B为圆心，
2
为半径的圆内，
故1+λ1，则负数λ的最大值为-3
24
7.已知A（0,1），曲线C:
y=log4x横过点B，若P是曲线C上的动点，且AB⋅AP的最小值为2，则α=
【答案】e
【解析】
如图，B（1，0），则AB=，连接BP，取BP的中点C，连接AC,
（）
因为AB⋅AP的最小值为2，则有AC2-BC2=2=
（2）2=AB2
max
上式等价于AB2+BC2AC2，即∠ABP
90︒
当且仅当P与B重合时取等号，此时曲线C在B处的切线斜率等于1，
即=1
lnα
a=e
rr
8.若平面向量a,b满足|2a-b|≤3，则a⋅b的最小值为
【答案】-
8
【解析】
（2a+b）2-（2a-b）2|2a+b|-|2a-b|02-329
a⋅b==≥=-
8888
当且仅当|2
9.在正方形ABCD中，AB=1，A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则OC⋅OB的最大值为
【答案】2
【解析】
如图取BC的中点E，取AD的中点F，
rrrrrrrr2
4OC⋅OB=（OC+OB）2-（OC-OB）2=（2OE）2-（2BE）2=4OE
rr21
-1
所以OC⋅OB=OE-
4
113
而|OE|≤|OF|+|FE|=
||AD|+|FE|=+1=，
222
当且仅当OF⊥AD,OA=OD时取等号，所以OC⋅OB的最大值为2
10.已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点，以A为圆心,AE为半径作弧交AD于F，若P为劣弧
EF上的动点，则PC⋅PD的最小值为
【答案】5-2
【解析】
如图取CD的中点M.
rrrrrrrr2
4PC⋅PD=（PC+PD）2-（PC-PD）2=（2PM）2-（2DM）2=4PM
-4
rr2
所以PC⋅PD=PM
-1
而|PM|+1=|PM|+|AP|≥|AE|=，当且仅当P,Q重合时等号成立
所以PC⋅PD的最小值为（-1）2-1=5-2
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，求PM⋅PN的范围.
【答案】[0,2]
【解析】
如图当弦MN的长度最大时，为内切球的直径，此时O为MN的中点，
rrrrrrrr2
4PM⋅PN=（PM+PN）2-（PM-PN）2=（2PO）2-（2OM）2=4PO
-4
rr2
所以PM⋅PN=PO
-1
而1≤|PO|≤，所以PM⋅PN的范围为[0,2]
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