全国研究生考试数学三真题和答案.docx
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全国研究生考试数学三真题和答案
2019全国研究生考试数学三真题
、选择题
1.当x0时，若xtanx与x为同阶无穷小，则k（）
A.0B.1C.2D.3
2.
已知x55xk0有3个不同的实根，则k的取值范围为（）
A.,4B.4，C.[4,4]D（.4，4）
3.
已知yaybycex的通解为y（C1C2x）e-xex,则a,b,c的值为（）
A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,4
4.已知nun绝对收敛，vn条件收敛，则下列正确的是（）n1n1n
A.unvn条件收敛B.unvn绝对收敛
n1n1
C.（unvn）收敛n1
D.（unvn）发散n1
5已知A为4阶矩阵，
A*为A的伴随矩阵，且Ax0的基础解析有2个线性无关的
解，则r（A）（）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.设A是3阶实对称矩阵，
E是3阶单位矩阵.若A2A2E，且A4，则二次型
xTAx的规范形为
222
A.y1y2y3.
222
B.y1y2y3.
222
C.y1y2y3.
222
D.y1y2y3.
A.P（AB）P（A）P（B）.
B.P（AB）P（A）P（B）.
C.P（AB）P（BA）.
D.P（AB）P（AB）.
8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（,2），则PXY1A.与无关，而与有关.
B.与有关，而与无关.
2
C.与,都有关.
2
D.与,2都无关.
．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.
n
111
9.lim
n1223nn1
3
10.曲线yxsinx2cos22
11.已知fx1t4dt，则x2fxdx
10
12.A,B两种商品的价格为pA,pB,A商品的价格需求函数为
500p2A
2
2pB2,则当pA=10，pB=20时，A商品的价格需求弹性
AA（AA>0）=
1
0
1
13.设A1
1
1，b
0
1a21
pApB
0
1，若Axb有无穷多解，则a=a
14设随机变量X的概率密度为f（x）
0x2
2F（x）为X的分布函数，
0，其他，
X为X的数学期望，则PF（X）X1
三、解答题
15.已知函数f（x）
2x
x
x
xe1
0f'（x）并求f（x）的极值
，求
16.设f（u，v）具
有连续
2阶偏导数，g（x,y）xyf（xy,xy）,求
222
ggg
22
xxyy
17.y（x）显微分方程
xy
1
2x
x2
e2满足条件y
（1）e的特解.
1）求y（x）
2）区域D（x,y）1
2,0yy（x），D绕x轴旋转的旋转体的体积
x
18.求曲线yesinx（x
0）与x轴之间图形的面积。
0
19.设an0xn1x2dx，n=（0，1，2⋯）
1）证明数列an单调减少，且an
n1
n2an2（n=2，3⋯）
2）求lim
n
20.设向量组Ⅰ
（1,1,4）T,2
T2TT（1,0,4）T,3（1,2,a23）T,4（1,1,a3）T,
Ⅱ.1（1,1,a3）T,2（0,2,1a）T,3
（1,3,a23）T.
2
2
1
2
1
0
21.已知矩阵A
2
x
2
与B
0
1
0相似
0
0
2
0
0
y
（1）求x,y，
（2）求可逆矩阵
P,使得
P
1AP
B
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求
a，并将3用1,2,3表示
22.已知随机变量X，Y相互独立，
X服从参数为1的指数分布
11
Y~11,0p1，令ZXY.p1p
（1）Z的概率密度
（2）p为何值，X，Z不相关；
（x）2
22
（3）X,Z是否独立.
x
2
0,
23.设随机变量X的概率密度为f（x,2）
2
为已知参数，为未知参数，A常数，
X1，X2，，Xn为取自总体X的简单随机样本
（1）求A；
2
（2）求2的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学三）
1.D2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.e1
10.（,2）
1
11.118（122）
12.0.413.1
2
14.
3
15.解：
x0时，
2x
x
2xlnx
e
2xlnxe
2ln
2=x
2x
2lnx2
x0时，
xxe
xe
x=0时，
x2x1
limlimx0xx0
2xlnx
e
xlim0
2xlnx
xex11limx0x
lime
0
1.
2x
x2x2lnx
x
1xe
=0，得x1e
1
x2
1.
（1）当x0,e1,fx0,fx单调递减，当xe1，+,fx0,fx单调递增，
2
11e
故fe1=为极小值.
e
2）当x-1，0,fx0,fx单调递增，
当x
0,e1,f
x
0,f
x单调递减，
故f
0=1为极大值.
（3）
当x,
1,
fx
0,fx单调递减
当x
-1，0,f
x
0,f
x单调递增，
故f
1=e1
1为极小值
16.解
：
g（x,y）
xy
f（x
y,xy）
（fu
fv）,gy
x（fu
fv）
2
g
2
x
（fuu
uv
uv
fvv）
uu
2fuv
vv
2
2g
1（fuu
uv
uv
fvv）
uu
vv
xy
2
2g
2
y
（fuu
uv
uv
fvv）
uu
2fuv
vv
2
2g
2
x
2
2g
xy
2
2g
2
y
13fuu
vv
证明
（1）利丿"rr71"1>xn"J知rrn\/l—>刃一*1—护，氏
｛an｝单调减少.
利用分部积分町知
[Tnx/1—x2dr=——[\/1—x2dxn+1./o"十1./（>
—xn+1\/1—X2
n+1
丄/
兀+1丿0
1
Un
n+1
1
a”
n+1
1
an
n+1
1jrn（X2_1）+龙“
dx
11r1刘+2f
+/—,dx
on-t-l/ovTF
11―«n+―"n+171+
\/l—T2
角/严MF
于是
Zi—1
+乔亍
■時/'严"
on+1Jo
n+2n—1
RS=今s=
（2）解法1.因为仪“｝单调递减.所以严<1且
x2dx
一1
工^"一2・
171—1
由⑴知壯一駅•
因此
由夹逼定理可知
a”〉a几
Qn_l^n—2
n—1
71+2
<——<1.尙一1
lim—
riToc如-i
20.解
1111
0
1
1,
2,
3,1,2
3
1021
2
3
44a2+3a3
1a
a2+3
1
1
1
1
01
0
1
1
0
22
0
0
a21
a1
1aa21
1）当
2a
10，
即a
1时，r1,2,3
3,r
1,2,33，此时两个向量组
必然等价，且3=12+3
2）当a=1时，
21.
（1）A与B相似，则tr（A）
tr（B），
，即
x
4x
1x
，解得
2yy
2）A的特征值与对应的特征向量分别为
1=2，1=2；2=1，2=1
00
2，
所以存在P1=
1,2,3，使得P11AP1
此时两个向量组等价，
3=2k31k2
2+k3
11
1
1
0
1
3）当a=1时，1,2,
3,1,2,301
1
0
2
2
00
0
2
2
0
此时两个向量组不等价
B的特征值与对应的特征向量分别为
1
1=2，1=0
0
；2=1，2=
1
3；
0
2，
0
0.
所以
P21
AP2
=P11
AP1，即B
P2P1
1AP1P21
P
1AP
1
1
1
其中
P
P1P21
2
1
2.
0
0
4
22.解：
（
1）
Z的分布函数
FzPpPX
XYz
zP
1p
XY
PX
z,Y1PXYz,Y1z
所以存在P2=
使得P2
2
123
1AP2
从而当z0时，Fz
pez；当z
0时，Fz
1p
1p
则Z的概率密度为fz
zpe
1p
z0z,z0
2）由条件可得EXZ
EXE
EY
E2
XE
Y，
又DX1,E
2p，从而当
p12时，
Cov
X,Z
0，即
X,Z
不相关.
3）由上知
12时，
X,Z
相关，
从而
12时，
PX1,Z
2
1
12,XY
12P
12,X
12,X
而P
12P
12P
1
e2
然P
12,Z
即X,Z不独立
.从而X,Z
不独立.
23.解：
（1）由
2
22
22dx
令x
t，
2A
etdt
从而A
2）构造似然函数Lx1,x2,L
xn,
xi
i1
xi
i
1,2,L
n，
其他
xi,i1,2,L,n时，
取对数得
lnL
nlnA
n2ln
1
22
n
xi
i1
2
2，求导并令
其为零，可得
dlnL
d2
n
22
1
24
解得
2
2的最大似然估计量为
i1
1n
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