第八讲 比比例关系.docx

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第八讲比比例关系

第八讲 比和比例关系

　　比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.

　　这一讲分三个内容：

　　一、比和比的分配；

　　二、倍数的变化；

　　三、有比例关系的其他问题.

一、比和比的分配

　　最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.

　　例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

　　解：

设甲的周长是2.

　　甲与乙的面积之比是

　　答：

甲与乙的面积之比是864∶875.

　　作为答数，求出的比最好都写成整数.

　　例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.

　　求上底AB与下底CD的长度之比.

　　解：

因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.

　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积

　　=（10-7）∶（7×2）=3∶14.

　　答：

AB∶CD=3∶14.

　　两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.

　　例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.

　　解：

大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，

　　中杯与小杯容量之比是4∶3，

　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.

　　∶

　　=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）

　　=44∶75.

　　答：

两者容量之比是44∶75.

　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.

　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，

　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35，

　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20，

　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

　　花了多少钱？

　　解：

根据比例与乘法的关系，

　　连比后是

　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2

　　=32∶48∶63.

　　答：

甲、乙、丙三人共花了429元.

　　例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙

　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：

甲、乙、丙的长度之比是多少？

　　解：

设甲的长度是6份.

　　∶x=5∶4.

　　乙与丙的长度之比是

　　而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.

　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.

　　答：

甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.

　　例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？

解一：

设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

　　答：

这些糖果每千克平均价是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.

　　解二：

先求出这三种糖果所买数量之比.

　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均数是（15+11+10）÷3=12.

　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

　　例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

　　解：

新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

　　例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？

所需时间是多少？

　　解：

三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是

　　所需时间是

　　700×3=2100分钟）=35小时.

　　答：

甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

　　这是三个数量按比例分配的典型例题.

　　例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：

　　甲：

12∶13，乙：

5∶3，丙：

2∶1，

　　那么丙有多少名男会员？

　　解：

甲组的人数是100÷2=50（人）.

　　乙、丙两组男会员人数是56-24=32（人）.

　　答：

丙组有12名男会员.

　　上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

　　例10一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？

　　解一：

通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.

　　上坡、平路、下坡的速度之比是

　　走完全程所用时间

　　答：

小龙走完全程用了10小时25分.

　　上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.

　　解二：

全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

　　设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化

　　已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？

这就是这一节的内容.

　　例11甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？

　　解一：

甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？

这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.

　　5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.

　　5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.

　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来

　　甲得22.5÷5×20=90（分），

　　乙得22.5÷5×16=72（分）.

　　答：

原来甲得90分，乙得72分.

　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.

　　解二：

设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.

　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

　　即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

　　15x=12×22.5

　　x=18.

　　甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

　　解：

其他球的数量没有改变.

　　增加8个红球后，红球与其他球数量之比是

　　5∶（14-5）=5∶9.

　　在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

　　因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.

　　现在总球数是

　　答：

现在共有球224个.

　　本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：

　　（x+8）∶2x=5∶9.

　　例13张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？

　　解一：

我们采用“假设”方法求解.

　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：

张家收入720元，李家收入450元.

　　解二：

设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×3.

　　李家开支的8倍是（5份-270）×8.

　　从图上可以看出

　　5×8-8×3=16份，相当于

　　270×8-240×3=1440（元）.

　　因此每份是1440÷16=90（元）.

　　张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.

　　本题也可以列出比例式：

　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.

　　例14A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.

　　解：

减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.

　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A数是17×8=136，B数是17×5=85.

　　答：

A，B两数分别是136与85.

　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.

　　例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？

　　解一：

充分利用已知数据的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，

　　新的1份=原来1份+1

　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×4=11（张）.

　　小明原有图画纸11×5-15=40（张），

　　小强原有图画纸11×2+8=30（张）.

　　答：

原来小明有40张，小强有30张图画纸.

　　解二：

我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）

　　4∶3=20∶15

　　5∶2=20∶8.

　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

　　解三：

设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.

　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.

　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.

　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.

　　例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？

　　我们把问题改变一下：

设细蜡烛长度是2，每小时点

　　等需要时间是

　　答：

这两支蜡烛点了3小时20分.

　　把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.

　　例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？

　　解：

因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.

　　因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只.因此.共取了（51-3×3）÷（7×3-15）＝7（次）.

　　红球有15×7＋53＝158（只）.

　　白球有7×7＋3＝52（只）.

　　原来红球比白球多158-52＝106（只）.

　　答：

箱子里原有红球数比白球数多106只.

三、比例的其他问题

　　，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：

　　（甲-7）∶乙=2∶3.

　　因此，有些分数问题，就是比例问题.

　　加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？

　　答：

这些画片有261张.

　　解：

设最初的水量是1，因此最后剩下的水是

　　样重，就有

　　因此原有水的重量是

　　答：

容器中原来有8.4千克水.

　　例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.

　　例20有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子

　　堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？

　　子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.

　　现在A堆已有黑子350＋100＝450个），与已有白子500个，相差

　　从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是

　　50÷（3-1）＝25（个）.

　　再要拿出黑子数是25×3＝75（个）.

　　答：

从B堆拿出黑子175个，白子25个.

　　人，问高、初中毕业生共有多少人？

　　解一：

先画出如下示意图：

　　6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是5×6＝30份，因此，每份人数是

　　520÷（30-17）=40（人）.

　　因此，高、初中毕业生共有

　　40×（17＋12）＝1160（人）.

　　答：

高、初中毕业生共1160人.

　　计算出每份是

　　例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？

）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.

　　例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？

当然关键还是在于灵活运用.

　　下的钱共有多少元？

　　解：

设钢笔的价格是1.

　　这样就可以求出，钢笔价格是

　　张剩下的钱数是

　　李剩下的钱数

　　答：

张、李两人剩下的钱共28元.

　　题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.

　　作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.

　　用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？

　　这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.

　　们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使

　　（1＋5）×A＋（3＋2）×B＝100，

　　或简写成6A＋5B＝100.

　　就恰好符合均价是1.

　　类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5，B＝4，6×5＋5×4＝50，50是100的约数，符合要求.

　　A＝5，猪5头，绵羊25头，

　　B=4，山羊12头，绵羊8头.

　　猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.

　　现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.

　　要注意，这样的问题常常有多种解答.

　　A=5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.

　　答：

有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.

　　求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.

　　通常求混合比可列下表：

　　下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.

　　例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？

　　解：

题目已给出平均数85％，可作比较的基准.

　　1人买3件少5％×3；

　　1人买2件多5％×2；

　　1人买1件多15％×1.

　　1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.

　　A组是2人买4件，每人平均买2件.

　　B组是5人买12件，每人平均买2.4件.

　　现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：

总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.

　　B组人数是

　　（76-2×33）÷（24-2）＝25（人），

　　A组人数是33-25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.

　　10＋4＝14（人）.

　　答：

买3件的顾客有14位.

　　建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.