八年级数学上册压轴题训练.docx

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八年级数学上册压轴题训练

八年级数学上册压轴题训练

1•问题背景：

如图1:

在四边形ABC中，AB=AD，/BAD=120°ZB=/ADC=90°E,F分别是BC,CD上的点.且/EAF=60°探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE亠△ADG，再证明

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°E,F分别是BC,CD上的点，且ZEAF」lZBAD,

上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,

且两舰艇之间的夹角为70°试求此时两舰艇之间的距离.

2.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即SAS”、ASA”、AAS”、SSS”）和直角三角形全等的判定方法

（即HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：

在△ABC和厶DEF中，AC=DF，BC=EF，/B=/E,然后,

对/B进行分类，可分为“/B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】第一种情况：

当/B是直角时，△ABC◎△DEF.

（1）如图①，在△ABC和厶DEF,AC=DF,BC=EF,/B=/E=90°

根据，可以知道Rt△ABC也Rt△DEF.

第二种情况：

当/B是钝角时，△ABCDEF.

（2）

女口图②,在厶ABC和厶DEF,AC=DF,BC=EF,/B=ZE,且/B、

/E都是钝角，求证：

△ABCDEF.

⑷/B还要满足什么条件，就可以使△ABC◎△DEF?

请直接写出结论：

在厶ABC和厶DEF中，AC=DF,BC=EF,

/B=/E,且/B、/E都是锐角，若，则△ABCDEF.

3.有这样一道题：

把一张顶角为36。

的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形,

你能办到吗？

请画示意图说明剪法.

我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法:

定义：

如果两条线段将一个三角形分成

3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45。

的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；

（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

⑵△ABC中，/B=30°AD和DE是厶ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD,DE=CE,设/C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；

4•如图，△ABC中，AB=AC,/A=36°称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:

使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）

（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是和度；

（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

⑶继续按以上操作发现：

在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有

（画图不要求

度

个黄金等腰

三角形.

5•在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90°AB=AC,直线MN过点A且MN//BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,/BDE=90°且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1,DE与AC交于点P,易证：

BD=DP.（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

⑵在图3中，DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等？

请直接写出你的结论，无需证明.

6•如图，已知△BAD和厶BCE均为等腰直角三角形，/BAD=/BCE=90°点M为DE的中点，过点E与AD平行

的直线交射线AM于点N.

⑴当A,B,C三点在同一直线上时（如图1）,求证：

M为AN的中点;

△ACN为等腰直角三角

若不成立，请说明

⑵将图1中的△BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时（如图2）,求证:

形；

（3）将图1中厶BCE绕点B旋转到图3位置时，

（2）中的结论是否仍成立？

若成立，试证明之,

7.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=AC,点P为边BC

上的任一点，过点P作PD丄AB,PE丄AC,垂足分另【J为D、E,过点C作CF丄AB,垂足为F.求证：

PD+PE=CF.

8•在图1图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上.

（1）如图1,△ABC和厶APE均为正三角形，连接CE.

1求证：

△ABP△ACE.

2/ECM的度数为°

⑵①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则/ECM的度数为°

②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则/ECM的度数为°

（3）如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE,请你探索并猜想/ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示/ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论.

B作BG丄AE

9、如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF丄AE于点F，过点于点G,连接FD并延长，交BG于点H

（1）求证：

DF=DH;

（2）若/CFD=120。

，求证：

厶DHG为等边三角形.

10、已知两等边△ABC△DEC有公共的顶点Co

（1）如图①，当D在AC上，E在BC上时，AD与BE之间的数量关系为;

（2）如图②，当BC、D共线时，连接ADBE交于M连接CM线段BM与线段AM

CM之间有何数量关系？

试说明理由；

（3）如图③，当BC、D不共线时，线段BM与线段AMCM之间的数量关系是

（不要求证明）。

3、在△ABC中，/ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.

（1）若AB=AC,/BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是（直接写出结论）

图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？

请说明理由.

（2）

若ABMAC,/BACM90°.点D在线段BC上，那么当/ACB等于多少度时？

线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形，并说明理由.

4、如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中

该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF.

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM丄EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点，/EAF=1/2/BAD,连接EF，过点A作AM丄EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.

答案

1、全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定.

分析：

（1）首先证明/1=/2,再证明△DCF幻△DBH即可得到DF=DH;

再根据直角

（2）首先根据角的和差关系可以计算岀/GFH=30°,再由/BGM=90°可得/GHD=60

1

三角形的性质可得，HG=-HF,进而得到结论.

2

解答：

证明：

（1）•/CF丄AE,BG丄AE,

•••/BGF=/CFG=90°,

•••/1+/GMB=/2+/CME,

•//GMB=/CME,

•/1=/2,

•••点D为边BC的中点，

•DB=CD,

在△BHD和△CED中，

/1=72

DB=CD

73=74

•△BHD幻△CED（ASA）,

CFD=120°,7CFG=90°,

GFH=30°,

BGM=90°,

•7GHD=60°,

•/△HGF是直角三角形，HD=DF,

/.ZACF>ZACB=901'r

「・CF丄BS

故答案为=CF=EIbCF丄盯.

1

二HG=_HF=DH

2

•••△DHG为等边三角形.

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理.

2、解：

（1）AD=BE

（2）BM=AM+CM

理由：

在BM上截取BM=AM连接CM

•••△ABC△CED均为等边三角形，

•BC=ACCE=CDZACB玄ECD=60

•••/ACB+ZACE玄ECD丄ACE艮卩

/BCE玄ACD

BCE^ACD中

广AC=BC

Y/BCE玄ACD

CE=CD

•••△BCE^AACD（SAS

•••/仁/2

•••在厶BMC和厶AMC中

BM=AM

/仁/2

C=AC

•△BMC^^AMC（SAS

•••/3=/4,CM=CM'

•••/ACB=Z3+Z5=60°

•••/4+Z5=60°即/MM'C=60°

•△MM'C为等边三角形

•CM=MM'

•BM=BM'+MM'=AM+CM

（3）BM=AM+CM

（1）®CF=BDCF1BD,

解；结伦还威立，CF二RD€F丄酊，理由是*匚四边球ADEF呈正方廉，

ZDAF^QO"*

■/ZBAC=90B,

・・・ZBAG-ZDAC=Z&AF-ZDAC）

:

.ZBAD=ZCAF,

V4^ABAD和人匸肛中

\AB=AC

J乙期。

=Zw

AD—AF

.■.CF=SBsZB=ZACF?

VZBAC=90D,

遲由是：

如圈X当ZBHC>9tr,过点A作新V

②翳结论述威立，

理由是由①知】zTBAC=?

AD=90D

AZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCJ^P）

ZBAD=ZFAC,

叮在AFAD和AC直F中

AB=AC

AD=AP

:

-ABAD^ACA7,

-\CF=BD,ZB=ZACF,

V,

2B+ZBCi=90*,

ZACF^ZiC3=9QP,

二匚F丄恥

即CD的结论还咸立.

（2）解’当^ACB=45B时，CF丄BD

MAI=£C,

由El）园理可证明AFAC^AHAD,

.'.ZACF=ZAKD=45',

AZFCB=S0*,

即CF丄BD

4、

（1）ERBE+DF,

证朋：

延总E到b使BQ=DF.逹接口

■-■Sj&^ABCDf正方形，

/.AD=ABjZD=ZDAB=ZABE=ZA0Q=9Ocj在Aadf和Aaeo^

（

AB=.ID

厶闻二ZD,

BO=DF

.'.Aad?

^Aaeq（SAS）・

/.AQ=AFp^QAD=ZDAFi

/ZDA.B=9Ofr,2FAZ=45C,

■-・ZDAF-^Z0AE=45°）

■\ZEAE+ZBiQ^45°,即"AQUFAE!

®AEAQ和ZiEAF中

‘4EFE

<^EAQ=乙EAF

/QFF

■'■Aeaq^Aeaf*

二EF二EQ二BE*BQ二EF+』F・

（2）解：

AK=ABt

理由是；tAeaq空△eaf,EF=E由

「丄XBQXA5=^XFEXAN5

/-1M=AB.

（3＞制・AIh

证朋：

如答图麻延弧te3Q=DF.连勲Q,

左AeAQ和心EAF■中

l^EAQ=ZtAF

l垃二肿

/.Aeaq^Aeaf,

.'.EF=EQi

'/Aeaqs^eaf.护eq,

-'.^XBQXA3=^XFEXAfL

■■

AAD=AE：

ZD=Z£B£=90etZBAC=2JAC=^ZBADt

dr

在AAD?

和Aapqu

rAB~AD

*SQND■

^Q^Dr

.■.△adf■呂Aabq（Sts）.

二抽=iF,EQA戶£MF「

'ZFAB=|^EAl>i

■

r*.zMF+ZBA£=zBxE+ZBA（J=2£AQ=tZJAD-

■

SPZEAQ^ZFAE.