八年级数学上册压轴题训练.docx
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八年级数学上册压轴题训练
八年级数学上册压轴题训练
1•问题背景:
如图1:
在四边形ABC中,AB=AD,/BAD=120°ZB=/ADC=90°E,F分别是BC,CD上的点.且/EAF=60°探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE亠△ADG,再证明
探索延伸:
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°E,F分别是BC,CD上的点,且ZEAF」lZBAD,
上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70。
的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,
且两舰艇之间的夹角为70°试求此时两舰艇之间的距离.
2.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即SAS”、ASA”、AAS”、SSS”)和直角三角形全等的判定方法
(即HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和厶DEF中,AC=DF,BC=EF,/B=/E,然后,
对/B进行分类,可分为“/B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】第一种情况:
当/B是直角时,△ABC◎△DEF.
(1)如图①,在△ABC和厶DEF,AC=DF,BC=EF,/B=/E=90°
根据,可以知道Rt△ABC也Rt△DEF.
第二种情况:
当/B是钝角时,△ABCDEF.
(2)
女口图②,在厶ABC和厶DEF,AC=DF,BC=EF,/B=ZE,且/B、
/E都是钝角,求证:
△ABCDEF.
⑷/B还要满足什么条件,就可以使△ABC◎△DEF?
请直接写出结论:
在厶ABC和厶DEF中,AC=DF,BC=EF,
/B=/E,且/B、/E都是锐角,若,则△ABCDEF.
3.有这样一道题:
把一张顶角为36。
的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,
你能办到吗?
请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法:
定义:
如果两条线段将一个三角形分成
3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45。
的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;
(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
⑵△ABC中,/B=30°AD和DE是厶ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设/C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
4•如图,△ABC中,AB=AC,/A=36°称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:
使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是和度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
⑶继续按以上操作发现:
在△ABC中画n条线段,则图中有个等腰三角形,其中有
(画图不要求
度
个黄金等腰
三角形.
5•在等腰直角三角形ABC中,/BAC=90°AB=AC,直线MN过点A且MN//BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,/BDE=90°且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:
BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;
⑵在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你的结论,无需证明.
6•如图,已知△BAD和厶BCE均为等腰直角三角形,/BAD=/BCE=90°点M为DE的中点,过点E与AD平行
的直线交射线AM于点N.
⑴当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
△ACN为等腰直角三角
若不成立,请说明
⑵将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
形;
(3)将图1中厶BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,
7.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC
上的任一点,过点P作PD丄AB,PE丄AC,垂足分另【J为D、E,过点C作CF丄AB,垂足为F.求证:
PD+PE=CF.
8•在图1图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BC的延长线上.
(1)如图1,△ABC和厶APE均为正三角形,连接CE.
1求证:
△ABP△ACE.
2/ECM的度数为°
⑵①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE.则/ECM的度数为°
②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE.则/ECM的度数为°
(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想/ECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示/ECM的度数),并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.
B作BG丄AE
9、如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,过点A作射线AE,过点C作CF丄AE于点F,过点于点G,连接FD并延长,交BG于点H
(1)求证:
DF=DH;
(2)若/CFD=120。
,求证:
厶DHG为等边三角形.
10、已知两等边△ABC△DEC有公共的顶点Co
(1)如图①,当D在AC上,E在BC上时,AD与BE之间的数量关系为;
(2)如图②,当BC、D共线时,连接ADBE交于M连接CM线段BM与线段AM
CM之间有何数量关系?
试说明理由;
(3)如图③,当BC、D不共线时,线段BM与线段AMCM之间的数量关系是
(不要求证明)。
3、在△ABC中,/ACB为锐角,动点D(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)若AB=AC,/BAC=90°那么
①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与BD之间的位置、大小关系是(直接写出结论)
图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
(2)
若ABMAC,/BACM90°.点D在线段BC上,那么当/ACB等于多少度时?
线段CF与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并说明理由.
4、如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中
该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.
(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)在图1中,过点A作AM丄EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;
(3)如图2,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,/EAF=1/2/BAD,连接EF,过点A作AM丄EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.
答案
1、全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定.
分析:
(1)首先证明/1=/2,再证明△DCF幻△DBH即可得到DF=DH;
再根据直角
(2)首先根据角的和差关系可以计算岀/GFH=30°,再由/BGM=90°可得/GHD=60
1
三角形的性质可得,HG=-HF,进而得到结论.
2
解答:
证明:
(1)•/CF丄AE,BG丄AE,
•••/BGF=/CFG=90°,
•••/1+/GMB=/2+/CME,
•//GMB=/CME,
•/1=/2,
•••点D为边BC的中点,
•DB=CD,
在△BHD和△CED中,
/1=72
DB=CD
73=74
•△BHD幻△CED(ASA),
CFD=120°,7CFG=90°,
GFH=30°,
BGM=90°,
•7GHD=60°,
•/△HGF是直角三角形,HD=DF,
/.ZACF>ZACB=901'r
「・CF丄BS
故答案为=CF=EIbCF丄盯.
1
二HG=_HF=DH
2
•••△DHG为等边三角形.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,关键是掌握全等三角形的判定定理.
2、解:
(1)AD=BE
(2)BM=AM+CM
理由:
在BM上截取BM=AM连接CM
•••△ABC△CED均为等边三角形,
•BC=ACCE=CDZACB玄ECD=60
•••/ACB+ZACE玄ECD丄ACE艮卩
/BCE玄ACD
BCE^ACD中
广AC=BC
Y/BCE玄ACD
CE=CD
•••△BCE^AACD(SAS
•••/仁/2
•••在厶BMC和厶AMC中
BM=AM
/仁/2
C=AC
•△BMC^^AMC(SAS
•••/3=/4,CM=CM'
•••/ACB=Z3+Z5=60°
•••/4+Z5=60°即/MM'C=60°
•△MM'C为等边三角形
•CM=MM'
•BM=BM'+MM'=AM+CM
(3)BM=AM+CM
(1)®CF=BDCF1BD,
解;结伦还威立,CF二RD€F丄酊,理由是*匚四边球ADEF呈正方廉,
ZDAF^QO"*
■/ZBAC=90B,
・・・ZBAG-ZDAC=Z&AF-ZDAC)
:
.ZBAD=ZCAF,
V4^ABAD和人匸肛中
\AB=AC
J乙期。
=Zw
AD—AF
.■.CF=SBsZB=ZACF?
VZBAC=90D,
遲由是:
如圈X当ZBHC>9tr,过点A作新V
②翳结论述威立,
理由是由①知】zTBAC=?
AD=90D
AZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCJ^P)
ZBAD=ZFAC,
叮在AFAD和AC直F中
AB=AC
AD=AP
:
-ABAD^ACA7,
-\CF=BD,ZB=ZACF,
V,
2B+ZBCi=90*,
ZACF^ZiC3=9QP,
二匚F丄恥
即CD的结论还咸立.
(2)解’当^ACB=45B时,CF丄BD
MAI=£C,
由El)园理可证明AFAC^AHAD,
.'.ZACF=ZAKD=45',
AZFCB=S0*,
即CF丄BD
4、
(1)ERBE+DF,
证朋:
延总E到b使BQ=DF.逹接口
■-■Sj&^ABCDf正方形,
/.AD=ABjZD=ZDAB=ZABE=ZA0Q=9Ocj在Aadf和Aaeo^
(
AB=.ID
厶闻二ZD,
BO=DF
.'.Aad?
^Aaeq(SAS)・
/.AQ=AFp^QAD=ZDAFi
/ZDA.B=9Ofr,2FAZ=45C,
■-・ZDAF-^Z0AE=45°)
■\ZEAE+ZBiQ^45°,即"AQUFAE!
®AEAQ和ZiEAF中
‘4EFE
<^EAQ=乙EAF
/QFF
■'■Aeaq^Aeaf*
二EF二EQ二BE*BQ二EF+』F・
(2)解:
AK=ABt
理由是;tAeaq空△eaf,EF=E由
「丄XBQXA5=^XFEXAN5
/-1M=AB.
(3>制・AIh
证朋:
如答图麻延弧te3Q=DF.连勲Q,
左AeAQ和心EAF■中
l^EAQ=ZtAF
l垃二肿
/.Aeaq^Aeaf,
.'.EF=EQi
'/Aeaqs^eaf.护eq,
-'.^XBQXA3=^XFEXAfL
■■
AAD=AE:
ZD=Z£B£=90etZBAC=2JAC=^ZBADt
dr
在AAD?
和Aapqu
rAB~AD
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^Q^Dr
.■.△adf■呂Aabq(Sts).
二抽=iF,EQA戶£MF「
'ZFAB=|^EAl>i
■
r*.zMF+ZBA£=zBxE+ZBA(J=2£AQ=tZJAD-
■
SPZEAQ^ZFAE.