河北省沙河市第一中学高二数学《抛物线的简单几何性质》课件.ppt

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2.2.44.22抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（11）X定义：

在平面定义：

在平面内内,与一个定与一个定点点F和一条定和一条定直线直线l（l不经过不经过点点F）的的距离相距离相等等的点的轨迹的点的轨迹叫叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图形形xxFFOyylxxFFOyylxxFFOyylxxFOyylyy22=-2px=-2px（p0）（p0）xx22=2py=2py（p0）（p0）yy22=2px=2px（p0）（p0）xx22=-2py=-2py（p0）（p0）一、温故知新一、温故知新范围范围1、由抛物线由抛物线y2=2px（p0）有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质的几何性质?

抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

对称性对称性2、关于关于x轴轴对称对称即点即点（x,-y）也在抛物线上也在抛物线上,故故抛物线抛物线y2=2px（p0）关于关于x轴轴对称对称.则则（-y）2=2px若点若点（x,y）在抛物线上在抛物线上,即满足即满足y2=2px，顶点顶点3、定义：

抛物线与定义：

抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点。

y2=2px（p0）中，中，令令y=0,则则x=0.即：

抛物线即：

抛物线y2=2px（p0）的的顶点（顶点（0，0）.注注:

这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

双曲线有两个顶点不同。

离心率离心率4、P（x,y）抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。

抛物线的离心率。

由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px（p0）的离心率为的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。

物线的几何性质。

（二）归纳：

抛物线

（二）归纳：

抛物线的的几何性质几何性质图图形形方程方程焦点焦点准线准线范围范围顶点顶点对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0xRy0xR（0,0）x轴轴y轴轴1特点：

特点：

1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以虽然它可以无限延伸无限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：

抛物线标准方程中的：

抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P（x,y）P越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充

（1）通径：

）通径：

通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。

|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：

2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔

（2）焦半径：

）焦半径：

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。

焦半径公式：

焦半径公式：

（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。

反映抛物线基本特征的草图。

因为抛物线关于因为抛物线关于xx轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点MM（，），（，），解解:

所以设方程为：

所以设方程为：

又因为点又因为点MM在在抛物线上抛物线上：

所以：

所以：

因此所求抛物线标准方程为：

因此所求抛物线标准方程为：

例例：

已知抛物线关于：

已知抛物线关于xx轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点MM（，），求（，），求它的标准方程它的标准方程.三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴当焦点在当焦点在x（y）轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx（m0）（x2=2my（m0）,可避免讨论可避免讨论练习一：

练习一：

1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是.2、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P=。

4四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：

、范围：

2、对称性：

、对称性：

3、顶点：

、顶点：

4、离心率：

、离心率：

5、通径：

、通径：

2.2.44.22抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（22）X一、直线与抛物线位置关系种类一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（一个交点，、相交（一个交点，两个交点）两个交点）与双曲线的与双曲线的情况一样情况一样xyO二、判断方法探讨二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。

、直线与抛物线相离，无交点。

例：

判断直线例：

判断直线y=x+2与与抛物线抛物线y2=4x的位置关系的位置关系计算结果：

得计算结果：

得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。

相离。

别式。

相离。

xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。

、直线与抛物线相切，交与一点。

例：

判断直线例：

判断直线y=x+1与与抛物线抛物线y2=4x的位置关系的位置关系计算结果：

得计算结果：

得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。

相切。

别式。

相切。

二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。

一点。

例：

判断直线例：

判断直线y=6与抛与抛物线物线y2=4x的位置关系的位置关系计算结果：

得到一计算结果：

得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交点坐标解出交点坐标二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO例：

判断直线例：

判断直线y=x-1与与抛物线抛物线y2=4x的位置关系的位置关系计算结果：

得到一计算结果：

得到一元二次方程，需计元二次方程，需计算判别式。

相交。

算判别式。

相交。

4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。

与两点。

二、判断方法探讨二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序

（一）三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序

（一）把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点）计计算算判判别别式式0=00相交相交相切相切相离相离几何画板演示几何画板演示xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法一解法一:

由已知得抛物线的焦由已知得抛物线的焦点为点为F（1,0）,所以直线所以直线AB的方程的方程为为y=x-1xyOFABBA例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x解法二解法二:

由题意可知由题意可知,分析：

运用分析：

运用抛物线的定抛物线的定义和平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷比较简捷变式：

变式：

过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：

以两点，求证：

以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切证明：

如图所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引垂引垂线线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH课堂练习课堂练习:

1.过抛物线过抛物线的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_2.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4,求直线求直线AB的方程的方程.y2=8xX=3点评：

本题用了分类讨论的方法点评：

本题用了分类讨论的方法.若先用若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。

会造成漏解。

2.2.44.22抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（33）XxyBAFO解：

因为直线解：

因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为xyBAFOxyBAFO例例33、已知抛物线已知抛物线yy22=2x,=2x,过过Q（2,1）Q（2,1）作直线与抛物线作直线与抛物线交于交于AA、BB，求，求ABAB中点的轨迹方程中点的轨迹方程.F解：

例例4.4.已知抛物线已知抛物线y=xy=x22,动弦动弦ABAB的长为的长为22，求，求ABAB中中点纵坐标的最小值。

点纵坐标的最小值。

.xoyFABMCND解：