排列.ppt

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1.2.11.2.1排列排列

（1）

（1）分类加法计数原理：

分类加法计数原理：

完成一件事，有完成一件事，有n类不同方案，在第类不同方案，在第1类方案类方案中有中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类方案中有类方案中有m2种不同种不同的方法的方法在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法种不同的方法.那那么完成这件事共有么完成这件事共有种种不同的方法不同的方法.分步乘法计数原理：

分步乘法计数原理：

完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共那么完成这件事共有有种不同的方法种不同的方法.引例引例.随着人们生活水平的提高，某城市家庭随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。

汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。

交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

创设情境情境26252410981123200011232000+1123200022464000上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲甲丙丙甲甲乙乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：

从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

下午的活动，有多少种不同的选法？

探究：

探究：

分析：

题目转化分析：

题目转化顺序排列问题顺序排列问题，把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：

题就可以叙述为：

从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？

的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？

ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：

从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

叙述为叙述为:

从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d中任取中任取3个，然后按个，然后按照一定的照一定的顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

，共有多少种不同的排列方法？

abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：

有此可写出所有的三位数：

123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。

问题问题1从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动名参加某天的一项活动,其其中中1名参加上午的活动名参加上午的活动,1名参名参加下午的活动加下午的活动,有哪些不同的有哪些不同的排法排法?

实质是：

实质是：

从从3个不同的元素个不同的元素中中,任取任取22个个,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列,有哪些不同的排有哪些不同的排法？

法？

问题问题2从从1，2，3，4这这4个数个数中，每次取出中，每次取出3个排成一个排成一个三位数，共可得到多少个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

个不同的三位数？

实质是：

实质是：

从从4个不同的元素个不同的元素中中,任取任取3个个,按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列,写出所有不同写出所有不同的排法的排法.定义：

一般地说定义：

一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m（mn）个元个元素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列.基本概念基本概念1、排列：

、排列：

从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个个不同元不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列。

个元素的一个排列。

说明：

说明：

11、元素不能重复。

、元素不能重复。

22、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

问题是否是排列问题的关键。

33、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完元素完全相同全相同，而且元素的，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同。

44、mmnn时的排列叫时的排列叫选排列选排列，mmnn时的排列叫时的排列叫全排列全排列。

55、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。

（有序性）（有序性）（互异性）（互异性）练习练习1下列问题是排列问题吗？

下列问题是排列问题吗？

（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，四个数字中，任选两个做加法，其其不同不同结果有多少种？

结果有多少种？

（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，四个数字中，任选两个做除法，其其不同不同结果有多少种？

结果有多少种？

（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

可得多少个不同的点的坐标？

（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？

可确定多少条直线？

多可确定多少条射线？

可确定多少条直线？

（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？

个学生排队照相，则不同的站法有多少种？

（从中归纳这几类问题的区别）（从中归纳这几类问题的区别）是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列练习练习3.写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的个元素的所有排列所有排列解决办法是先画解决办法是先画“树形图树形图”，再由此写出所有的排列，再由此写出所有的排列，共共20个个若把这题改为：

写出从若把这题改为：

写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中中任取任取3个元素的所有排列，结果如何呢？

个元素的所有排列，结果如何呢？

方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习2.在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？

写出所有可能的选举结果一人，共有几种不同的选法？

写出所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接所有的排列而直接“得得”出所有排列的个数呢？

接下出所有排列的个数呢？

接下来我们将来共同探讨这个问题：

来我们将来共同探讨这个问题：

排列数及其公式排列数及其公式2、排列数：

、排列数：

从从nn个不同的元素中取出个不同的元素中取出m（mn）m（mn）个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从nn个不同的元素中个不同的元素中取出取出mm个元素的排列数。

用符号个元素的排列数。

用符号表示。

表示。

“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？

系？

排列数，而不表示具体的排列。

排列数，而不表示具体的排列。

所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从是指从个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的所以符号所以符号只表示只表示“一个排列一个排列”是指：

从是指：

从个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：

探究：

从从nn个不同元素中取出个不同元素中取出22个元素的排列个元素的排列数数是多少？

是多少？

呢呢？

呢呢？

第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种（n-1）种种（n-2）种种（n-m+1）种种

（1）

（1）排列数公式（排列数公式（11）：

）：

当当mmnn时，时，正整数正整数11到到nn的连乘积，叫做的连乘积，叫做nn的阶乘，用的阶乘，用表示。

表示。

nn个不同元素的全排列公式：

个不同元素的全排列公式：

（2）

（2）排列数公式（排列数公式（22）：

）：

说明：

说明：

11、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。

的第一个常用来计算，第二个常用来证明。

为了使当为了使当mmnn时上面的公式也成立，规定：

时上面的公式也成立，规定：

22、对于、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。

件。

n2345678n!

2624120720504040320例例1.计算计算

（1）

（2）（3）解：

解：

（1）

（2）（3）有关排列数的计算与证明有关排列数的计算与证明例例2证明：

明：

证明：

右边证明：

右边巩固练习：

巩固练习：

由由n=18，n-m+1=8，得，得m=11小结：

小结：

【排列】从n个不同元素中选出m（mn）个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性（被选、所选元素互不相同）2、有序性（所选元素有先后位置等顺序之分）【排列数】所有排列总数例例11、计算：

、计算：

（11）（22）（33）例例22、解方程：

、解方程：

例例33、求证：

、求证：

例例55、求、求的值的值.例例44若，则，33607201680x=13例例11计算：

计算：

6！

=654321=720练练习习练习4应用公式解以下各题：

练习5求证下列各式：

你你能能用学过的方法，举用学过的方法，举一一实际的例子说实际的例子说明（明（11）、（）、（22）吗？

）吗？

练习6：

求解求解下列各式的值或解方程。

下列各式的值或解方程。

规定规定0！

1例例2.求证求证:

证明证明:

含有排列数的方程与不等式的解法含有排列数的方程与不等式的解法例例5.解方程解方程:

例例6.解不等式解不等式:

点评点评:

含有排列数的方程或不等式含有排列数的方程或不等式,应根据有关公应根据有关公式转化为一般方程式转化为一般方程,再求解再求解.但应注意但应注意:

其中的字母其中的字母都是满足一定限制条件的自然数都是满足一定限制条件的自然数.例例7：

求证：

求证：

1!

22!

+33!

+nn!

=（n+1）!

-1分析：

分析：

nn!

=（n+1）!

-n!

证明：

证明：

nn!

=（n+1）!

-n!

左左边=小结小结:

1.排列的定义排列的定义;（不同元素不同元素）2.排列数公式排列数公式;3.几种阶乘变形几种阶乘变形.