平面向量基本定理与坐标表示c.ppt

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2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理知识回顾应用：

应用：

证明向量共线；证明向量共线；证明三点共线；证明三点共线；证明两直线平行证明两直线平行想想一一想想？

学生活动：

学生活动：

已知已知是同一平面内的两个是同一平面内的两个是这一平面内的任一向量是这一平面内的任一向量不共线向量，不共线向量，探究：

探究：

与与的关系的关系zxxk学生活动：

学生活动：

AAAAOOAABBMMNNCC即即1.平面向量基本定理平面向量基本定理存存在在性性唯唯一一性性如果如果是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使存在存在有且只有有且只有思考：

思考：

上述表达式中的上述表达式中的是否唯一是否唯一？

1）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的理解理解有且只有有且只有使使若若与与共线，则共线，则使使若若向量的分解：

向量的分解：

一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底表示成：

表示成：

称它为向量的分解称它为向量的分解基底：

基底：

把把不共线不共线的向量的向量叫做这一平面内叫做这一平面内所有向量的所有向量的一组一组基底基底当当互相垂直时，称为向量的正交分解互相垂直时，称为向量的正交分解2）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的拓展拓展探究：

探究：

一组平面向量的基底有多少对？

一组平面向量的基底有多少对？

无数对无数对探究：

探究：

若基底选择不同，则表示同一向量的若基底选择不同，则表示同一向量的实数实数是否相同？

是否相同？

可以相同可以相同,也可不同也可不同OOFFCCEEAAEEBBNN例例1：

）已知向量）已知向量求作向量求作向量则下面的四组向量中不能作为一组基底的是则下面的四组向量中不能作为一组基底的是是平面内所有向量的一组基底，是平面内所有向量的一组基底，）若）若（B）2.向量的夹角与垂直向量的夹角与垂直:

OAB两个非零向量两个非零向量和和,作作，,则则叫做向量叫做向量和和的的夹角夹角夹角的范围：

夹角的范围：

与与反向反向OAB记作记作与与垂直，垂直，OAB注意注意:

两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的zxx、k与与同向同向OAB特别的：

特别的：

例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求

（1）AB与与AC的夹角；的夹角；

（2）AB与与BC的夹角。

的夹角。

ABC33、平面向量的正交分解、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

叫做把向量正交分解。

Oxy显然：

显然：

i=（，）j=（，）0=（，）100100ijba记作记作a=（x，y）使得使得a=xi+yj任一向量任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数x、y，我们把有序数对（我们把有序数对（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，的坐标，44、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标表示问题问题：

分别与：

分别与x轴轴y轴正方向相同的两单位向量轴正方向相同的两单位向量i、j能否作为基底？

能否作为基底？

A两者相同两者相同一一一一对对应应EFMNOxyijaaa相等的等价条件是：

相等的等价条件是：

向量向量a2以原点以原点O为起点的向量为起点的向量OA=a，则则（x,y）3向量向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）向量向量a的坐标（的坐标（x，y）点点A的坐标与向量的坐标与向量a的坐标的关系？

的坐标的关系？

1向量向量a在坐标平面内平移，其坐标不变。

在坐标平面内平移，其坐标不变。

几点说明：

几点说明：

例例3.如图，分别用基底如图，分别用基底，表示向量表示向量、，并求出，并求出它们的坐标。

它们的坐标。

AA1A2解：

如图可知解：

如图可知同理同理本节小结本节小结