二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是________.
14.一动圆圆心在抛物线x2=8y上,且动圆恒与直线y+2=0相切,则动圆必过定点________.
15.已知F1、F2是椭圆C
+
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,
⊥
.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
16.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是
________________________________________________________________________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知p:
x2-12x+20<0,q:
x2-2x+1-a2>0(a>0).若綈q是綈p的充分条
件,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0的一个根为2.
(1)求c的值;
(2)求证:
f
(1)≥2.
19.(12分)如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:
直线EF的斜率为定值.
20.(12分)命题p:
关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,命题q:
指数函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)如图所示,已知直线l:
y=kx-2与抛物线C:
x2=-2py(p>0)
交于A,B两点,O为坐标原点,
+
=(-4,-12).
(1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
选修1-2,4-1
题型一 圆的切线的判定与性质
例3
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB,且AD=2
,AE=6.
(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系;
(2)求EC的长.
(2013·广东改编)
如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,求BC的长.
题型二 与圆有关的比例线段
例4
(2012·辽宁)如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交⊙O于点E.证明:
(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
思维升华
(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.
如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.
(1)求证:
PM2=PA·PC;
(2)若⊙O的半径为2
,OA=
OM,求MN的长.
19.某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的成本y(万元)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
3
3.5
4.5
5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
=
x+
;
(3)已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元.试根据
(2)求出的线性回归方程,预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元?
(参考数据:
,
)
20.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请在图中画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
;
(3)试根据
(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
21.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:
(单位:
人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
附表及公式
22.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人,结果如下面表中所示:
是否需要帮助性别
男
女
合计
需要
50
25
75
不需要
200
225
425
合计
250
250
500
(1)请根据上表的数据,估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;]
(2)能否在出错
的概率不超过1%的前提下,认为该地老年人是否需要帮助与性别有关?
并说明理由;
(3)根据
(2)的结论,你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?
并说明理由.
附:
独立性检验卡方统计量
,其中
为样本容量,独立性检验临界值表为:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828