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三个二次问题
提升成绩题型训练一一三个二次问题
（二次函数、不等式、方程）
1.解关于x的不等式：
（1）X2-（a+1）x+a<0,
（2）2x2+mx+2>_0.
3.不等式（m2—2m-3）x2-（m—3）x—1<0的解集为R求实数m的取值范围.
11
4.已知二次函数y=X2+px+q，当y<0时，有-30.
5•若不等式丄X2+qx+p>0的解集为｛x|2ex•<4｝，求实数p与q的值.P
7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数f（X）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1,x2
1
满足0CX1■a
8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
（1）若方程有两根，其中一根在区间（一1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围.
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m的范围.
11.如果二次函数y=mx2+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
16.已知二次函数f（X）=ax2+bx+1（a,b亡R,a》0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2.
（门如果Xjc2VX2v4，设函数f（x）的对称轴为X=x0，求证：
x0>-1;
2
17.设f（X）=3ax+2bx+c若a+b+c=O,f（O）AO，f
（1）A0,求证:
（I）a>0且一2<-<-1;
b
（n）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根-
19.-为何值时，关于r勺方程的两根:
（1）为正数根；
（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1;（4）一根大于2，一根小
于2;（5）两根在0,2之间。
23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a答案:
1.解：
（1）原不等式可化为：
（X-a）（x-1）c。
若a>1时，解为1Vxva,若a>1时,
解为avXV1，若a=1时，解为
2
（2）△=m-16.
△>0.
①当m2-16：
>0即m4时,
•••原不等式的解集为[x|x<~m~Jm2p~或x>—m+Jm2—16
①当m=±4时，△=0，两根为洛=X2=-—■
4
若m=4,则其根为—1,.・.原不等式的解集为{x|x亡R,且XH-1}
若m=V,则其根为1,•••原不等式的解集为{x|x€R,且XH1}.
②当一4vm<:
4时，方程无实数根.•••原不等式的解集为R.
2.解：
A={x|[x-（3kT）][X-（k+1）]>C}，比较3k—1,k+1的大小,
因为（3k-1）-（k+1）=2（k-1）,
（1）当k>1时，3k—1>k+1,A={x|x>3k—1或x（3）当kv1时，3k—1Vk+1,A={x|x>k+1或x<3k+1}.
B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式A=4k2-4（k2+k）=-4k,
（1）当k=0时，也<0,x迂R.
（2）当k>0时，△<0,R.
（3）当kv0时，也>0,X兰k-A■匚k或x^k+J^.
故：
当k>0时，由B=R，显然有A匸B,
bk-1当kV0时，为使ACB，需要｛=k>—1，于是k>—1时，AGB.
[k+1>k+
综上所述，k的取值范围是:
k>0或一1m=3或m=—1时,
R
4x—1V0
3..解：
（1）当m2—2m—3=0，即
1若m=3,原不等式解集为
2若m=-1，原不等式化为
•••原不等式解集为｛xIXV
=，不合题设条件.
（2）若m2—2m—3工0，依题意有
即
VmV3
4..解
R.
…p=
q=-
，•不等式qx2+px+1>0
即一
x+1>0
2
…X—X—6V0，…一2vXV3.
即不等式qx2+px+1>0的解集为{XI-2Vxv3}.
解得p=_275,q=2J2.
2
6.解：
•••f（一1）=a—b+c,f
（1）=a+b+c,f（0）=c,
11
aw"I—2fsr（f（™,cf
fUHf（1芥
X2+x
+f（—1苏
2
X-X
+f（0审】1-X2
1
1
2
1
2
1
当0
=-x2+x+1—（x-1）2+5乞5
244
7.证明：
由题意可知f（x）-x=a（x-X1）（x—X2）.
0a
a（x—x/x-X2）》0,
当X€（0,X1）时，f（X）AX.
又f（X）—捲=a（x—XjXx—X2）+X—Xj=（X—捲）（ax—ax2+1）,
X—XjcO,且ax—ax2+1〉1—ax2>0,/•f（x）cx1,
综上可知，所给问题获证
8.解：
（1）条件说明抛物线得
2,-,
f（x）=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（一1,0）和（1,2）内，画出示意图,
f（0）=2m+1cO,
«f（—1）=2〉0,
*f
（1）=4m+2c0,f
（2）=6m+5>0
1
m<-—
2m亡R,
1
m<
2
5
m>-
6
51
一一62
f（0）》0,f
（1）>0,
⑵据抛物线与X轴交点落在区间（0,1）内，列不等式组4,
△>0,
0<—mC1
1
1
>--，（这里0<—m<1是因为对称轴x=—m应在区间（0,1）内通过）
>1+『2或m<1-72,
m
一1cmcO.
11.解：
•••f（0）=1>0
（1）当mv0时，二次函数图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
a>0
（2）当m>0时，贝Ug—m解得0Vmw1
i——>0
Im
综上所述，m的取值范围是{m|m<1且0}.
12.证明:
（1）PfCrP[P（話）2+qCrr]
=pm[p；^q-r^pm[丁2-p2]（m+1）2m+1m（m+1）2m+2
2m（m+2）—（m+1）2
=pm[爲m
=pm2；，由于f（x）是二次函数，故pM0,又m>0,所以,
（m+1）2（m+2）
⑵由题意，得f（0）=r,f
（1）=p+q+r
①当pV0时，由
（1）知f（）<0
m+1
若r>0,则f（0）>0,又f（^^）<0,所以f（x）=0在（0,
m+1
—）内有解；
m+1
若rw0,则f
（1）=p+q+r=p+（m+1）=（——p—）+
m+2m
「亠厶0,
m+2m
又f（^^）<0,所以f（x）=0在（^^,1）内有解.m+1m+1
②当p<0时同理可证.
13..解：
（1）设该厂的月获利为y,
y=（160—2x）x—（500+30x）=—2x2+130x—500
由y》1300知一2x2+130x—500>1300
•••x2—65x+900w0,•••（x—20）（x—45）w0,解得20wxw45
•••当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
2652
（2）由
（1）知y=—2X+130X—500=—2（x—刁）+1612.5
•••X为正整数，•••x=32或33时，y取得最大值为
•••当月产量为32件或33件时，可获得最大利润
1612元,
1612元.
2
15.解：
由题意f（x）-x=ax+（bj）x+c.
它的对称轴方程为x=b-1
-2a
由方程f（x）—x=0的两个根x1,x2满足Ocxj
<丄，可得
a
0cxjC
CX2<,且-
-X1
-2a
a
-2a
•b-1
b-1
1
b-1
-X1
=X2一<
-2a
-2a
a
-2a
即--
而X0=-
4
a
2a
X1
=x2
XoV—.
b—1
-2a
16.解：
设g（x）=f（X）-X=ax
2
2+（b-1）x+1，贝Ug（x）=0的二根为
x1和x2.
]g
（2）lg（4）>0
（1）由a>0及xj<2CX2<4，可得
[4a+2b-1CO[16a+4b-3AO'
[b3
[3+3—-——<0,即；2a4a
b3
-4一2”——+—<0,
2a4a
17.证明：
（错误！
未找到引用源。
）因为f（0）>0,f
（1）>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b，得a>caO；
由条件a+b+c=0，消去c，得
a+bcO，2a+b:
>0.
故—2c—1.
a
l_l_
所以方程f（x）=0在区间（0,-—）与（一一,1）内分别有一实根。
3a3a
故方程f（x）=0在（0,1）内有两个实根.
18.解析：
解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与点（方程）的有关知识，即
兀轴交点个数）及函数零
（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与X轴交点个数，立即可得：
ano
&<0疋0
O
（2）由方程
2a
IOB1=-GI。
卫1=1OBI
结论
19.解析：
关于方程根的讨论，结合二次函数图象与
X轴的交点位置的充要条件即可求：
即设方程两
A＞0
吗+再》0=7＜桝＜9威桝＞2亍
心乃＞0
f
A>0
K]+Xq<0n■於《1
、，矿花<0
A>0
+兀2〉2=桝2壬
（3）［（阳-1）9厂2）〉0
A>0
=>wfl>27
（可-2）（乜-2）<0
込>0
二＞7＜朋＜9或25＜叨＜2了
码+兀2>0
兀1*X]>0
（孟1-2）（花-2）>0
h
即由nB八2Ek-\〈Q恒成立O对应抛物线恒在忑轴下方
pt-2<01
OUe-4（3k-2）（k-1）2+4+1>0
恒成立O对应抛物线恒在兀轴上方
-—>0
12
的问题。
即
IA>0
圧+2m=>-罷
炉/?
=4梆"-6
-旋<廉<忑,=心-15,-6-472
1[otP
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