三个二次问题.docx
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三个二次问题
提升成绩题型训练一一三个二次问题
(二次函数、不等式、方程)
1.解关于x的不等式:
(1)X2-(a+1)x+a<0,
(2)2x2+mx+2>_0.
3.不等式(m2—2m-3)x2-(m—3)x—1<0的解集为R求实数m的取值范围.
11
4.已知二次函数y=X2+px+q,当y<0时,有-30.
5•若不等式丄X2+qx+p>0的解集为{x|2ex•<4},求实数p与q的值.P
7.(经典题型,非常值得训练)设二次函数f(X)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2
1
满足0CX1■a
8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(一1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
11.如果二次函数y=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.
16.已知二次函数f(X)=ax2+bx+1(a,b亡R,a》0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.
(门如果Xjc2VX2v4,设函数f(x)的对称轴为X=x0,求证:
x0>-1;
2
17.设f(X)=3ax+2bx+c若a+b+c=O,f(O)AO,f
(1)A0,求证:
(I)a>0且一2<-<-1;
b
(n)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根-
19.-为何值时,关于r勺方程的两根:
(1)为正数根;
(2)为异号根且负根绝对值大于正根;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小
于2;(5)两根在0,2之间。
23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a答案:
1.解:
(1)原不等式可化为:
(X-a)(x-1)c。
若a>1时,解为1Vxva,若a>1时,
解为avXV1,若a=1时,解为
2
(2)△=m-16.
△>0.
①当m2-16:
>0即m或m>4时,
•••原不等式的解集为[x|x<~m~Jm2p~或x>—m+Jm2—16
①当m=±4时,△=0,两根为洛=X2=-—■
4
若m=4,则其根为—1,.・.原不等式的解集为{x|x亡R,且XH-1}
若m=V,则其根为1,•••原不等式的解集为{x|x€R,且XH1}.
②当一4vm<:
4时,方程无实数根.•••原不等式的解集为R.
2.解:
A={x|[x-(3kT)][X-(k+1)]>C},比较3k—1,k+1的大小,
因为(3k-1)-(k+1)=2(k-1),
(1)当k>1时,3k—1>k+1,A={x|x>3k—1或x(3)当kv1时,3k—1Vk+1,A={x|x>k+1或x<3k+1}.
B中的不等式不能分解因式,故考虑判断式A=4k2-4(k2+k)=-4k,
(1)当k=0时,也<0,x迂R.
(2)当k>0时,△<0,R.
(3)当kv0时,也>0,X兰k-A■匚k或x^k+J^.
故:
当k>0时,由B=R,显然有A匸B,
bk-1当kV0时,为使ACB,需要{=k>—1,于是k>—1时,AGB.
[k+1>k+
综上所述,k的取值范围是:
k>0或一1m=3或m=—1时,
R
4x—1V0
3..解:
(1)当m2—2m—3=0,即
1若m=3,原不等式解集为
2若m=-1,原不等式化为
•••原不等式解集为{xIXV
=,不合题设条件.
(2)若m2—2m—3工0,依题意有
即
VmV3
4..解
R.
…p=
q=-
,•不等式qx2+px+1>0
即一
x+1>0
2
…X—X—6V0,…一2vXV3.
即不等式qx2+px+1>0的解集为{XI-2Vxv3}.
解得p=_275,q=2J2.
2
6.解:
•••f(一1)=a—b+c,f
(1)=a+b+c,f(0)=c,
11
aw"I—2fsr(f(™,cf
fUHf(1芥
X2+x
+f(—1苏
2
X-X
+f(0审】1-X2
1
1
2
1
2
1
当0
=-x2+x+1—(x-1)2+5乞5
244
7.证明:
由题意可知f(x)-x=a(x-X1)(x—X2).
0a
a(x—x/x-X2)》0,
当X€(0,X1)时,f(X)AX.
又f(X)—捲=a(x—XjXx—X2)+X—Xj=(X—捲)(ax—ax2+1),
X—XjcO,且ax—ax2+1〉1—ax2>0,/•f(x)cx1,
综上可知,所给问题获证
8.解:
(1)条件说明抛物线得
2,-,
f(x)=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内,画出示意图,
f(0)=2m+1cO,
«f(—1)=2〉0,
*f
(1)=4m+2c0,f
(2)=6m+5>0
1
m<-—
2m亡R,
1
m<
2
5
m>-
6
51
一一62
f(0)》0,f
(1)>0,
⑵据抛物线与X轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组4,
△>0,
0<—mC1
1
1
>--,(这里0<—m<1是因为对称轴x=—m应在区间(0,1)内通过)
>1+『2或m<1-72,
m
一1cmcO.
11.解:
•••f(0)=1>0
(1)当mv0时,二次函数图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧,符合题意.
a>0
(2)当m>0时,贝Ug—m解得0Vmw1
i——>0
Im
综上所述,m的取值范围是{m|m<1且0}.
12.证明:
(1)PfCrP[P(話)2+qCrr]
=pm[p;^q-r^pm[丁2-p2](m+1)2m+1m(m+1)2m+2
2m(m+2)—(m+1)2
=pm[爲m
=pm2;,由于f(x)是二次函数,故pM0,又m>0,所以,
(m+1)2(m+2)
⑵由题意,得f(0)=r,f
(1)=p+q+r
①当pV0时,由
(1)知f()<0
m+1
若r>0,则f(0)>0,又f(^^)<0,所以f(x)=0在(0,
m+1
—)内有解;
m+1
若rw0,则f
(1)=p+q+r=p+(m+1)=(——p—)+
m+2m
「亠厶0,
m+2m
又f(^^)<0,所以f(x)=0在(^^,1)内有解.m+1m+1
②当p<0时同理可证.
13..解:
(1)设该厂的月获利为y,
y=(160—2x)x—(500+30x)=—2x2+130x—500
由y》1300知一2x2+130x—500>1300
•••x2—65x+900w0,•••(x—20)(x—45)w0,解得20wxw45
•••当月产量在20~45件之间时,月获利不少于1300元.
2652
(2)由
(1)知y=—2X+130X—500=—2(x—刁)+1612.5
•••X为正整数,•••x=32或33时,y取得最大值为
•••当月产量为32件或33件时,可获得最大利润
1612元,
1612元.
2
15.解:
由题意f(x)-x=ax+(bj)x+c.
它的对称轴方程为x=b-1
-2a
由方程f(x)—x=0的两个根x1,x2满足Ocxj
<丄,可得
a
0cxjC
CX2<,且-
-X1
-2a
a
-2a
•b-1
b-1
1
b-1
-X1
=X2一<
-2a
-2a
a
-2a
即--
而X0=-
4
a
2a
X1
=x2
XoV—.
b—1
-2a
16.解:
设g(x)=f(X)-X=ax
2
2+(b-1)x+1,贝Ug(x)=0的二根为
x1和x2.
]g
(2)lg(4)>0
(1)由a>0及xj<2CX2<4,可得
[4a+2b-1CO[16a+4b-3AO'
[b3
[3+3—-——<0,即;2a4a
b3
-4一2”——+—<0,
2a4a
17.证明:
(错误!
未找到引用源。
)因为f(0)>0,f
(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b,得a>caO;
由条件a+b+c=0,消去c,得
a+bcO,2a+b:
>0.
故—2c—1.
a
l_l_
所以方程f(x)=0在区间(0,-—)与(一一,1)内分别有一实根。
3a3a
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
18.解析:
解本题主要是应用抛物线的几何特性(张口方向,对称轴,截距,与点(方程)的有关知识,即
兀轴交点个数)及函数零
(1)由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与X轴交点个数,立即可得:
ano
&<0疋0
O
(2)由方程
2a
IOB1=-GI。
卫1=1OBI
结论
19.解析:
关于方程根的讨论,结合二次函数图象与
X轴的交点位置的充要条件即可求:
即设方程两
A>0
吗+再》0=7<桝<9威桝>2亍
心乃>0
f
A>0
K]+Xq<0n■於《1
、,矿花<0
A>0
+兀2〉2=桝2壬
(3)[(阳-1)9厂2)〉0
A>0
=>wfl>27
(可-2)(乜-2)<0
込>0
二>7<朋<9或25<叨<2了
码+兀2>0
兀1*X]>0
(孟1-2)(花-2)>0
h
即由nB八2Ek-\〈Q恒成立O对应抛物线恒在忑轴下方
pt-2<01
OUe-4(3k-2)(k-1)2+4+1>0
恒成立O对应抛物线恒在兀轴上方
-—>0
12
的问题。
即
IA>0
圧+2m=>-罷
炉/?
=4梆"-6
-旋<廉<忑,=心-15,-6-472
1[otP