两角差的余弦公式.ppt

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3.13.1两角和与差的正弦、余弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式和正切公式3.1.13.1.1两角差的余弦公式两角差的余弦公式问题提出问题提出1.1.在三角函数中，我们学习了哪些基本在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？

的三角函数公式？

2.2.对于对于3030，4545，6060等特殊角的三等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出还可进一步求出150150，210210，315315等等角的三角函数值角的三角函数值.我们希望再引进一些公我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依值，同时也为三角恒等变换提供理论依据据.3.3.若已知若已知，的三角函数值，那么的三角函数值，那么coscos（）的值是否确定？

它与的值是否确定？

它与，的的三角函数值有什么关系？

这是我们需要三角函数值有什么关系？

这是我们需要探索的问题探索的问题.探究

（一）：

探究

（一）：

两角差的余弦公式两角差的余弦公式思考思考11：

设设，为两个任意角为两个任意角,你能你能判断判断cos（cos（）coscoscoscos恒成恒成立吗立吗?

cos（30cos（303030）cos30cos30cos30cos30sin60sin120cos60cos120coscos（1201206060）sin30sin60cos30cos60coscos（60603030）思考思考22：

我们设想我们设想cos（cos（）的值与的值与，的三角函数值有一定关系，观察下的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？

表中的数据，你有什么发现？

思考思考33：

一般地，你猜想一般地，你猜想cos（cos（）等等于什么？

于什么？

cos（cos（）coscoscoscossinsinsinsin思考思考44：

如图，设如图，设，为锐角，且为锐角，且，角，角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为PP11,POPPOP11，那么，那么cos（cos（）表示哪条表示哪条线段长？

线段长？

MPP1Oxycos（cos（）=OM）=OM思考思考55：

如何用线段分别表示如何用线段分别表示sinsin和和coscos？

PP1OxyAAsinsincoscos思考思考66：

coscoscoscosOAcosOAcos，它表示，它表示哪条线段长？

哪条线段长？

sinsinsinsinPAsinPAsin，它表示哪条线段，它表示哪条线段长？

长？

PP1OxyAAsinsinsinsincoscoscoscosBBCC思考思考77：

利用利用OMOMOBOBBMBMOBOBCPCP可得什可得什么结论？

么结论？

sinsinsinsincoscoscoscosPP1OxyAABBCCMMcos（cos（）coscoscoscossinsinsinsinxxyyPPPP11MMBBOOAACC+1111思考思考88：

上述推理能说明对任意角上述推理能说明对任意角，都有，都有cos（cos（）coscoscoscossinsinsinsin成立吗？

成立吗？

思考思考99：

根据根据coscoscoscossinsinsinsin的的结构特征，你能联想到一个相关计算原结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？

理吗？

思考思考1010：

如图，设角如图，设角，的终边与单的终边与单位圆的交点分别为位圆的交点分别为AA、BB，则向量，则向量、的坐标分别是什么？

其数量积是什的坐标分别是什么？

其数量积是什么？

么？

BBOOAAxxyy=（=（coscos,sin,sin）=（=（coscos,sin,sin）思考思考1111：

向量与的夹角向量与的夹角与与、有什有什么关系？

根据数量积定义，么关系？

根据数量积定义，等于什么？

由此可得什么结论？

等于什么？

由此可得什么结论？

2k2k或或2k2kBBOOAAxxyycos（cos（）coscoscoscossinsinsinsin思考思考1212：

公式公式cos（cos（）coscoscoscossinsinsinsin称为称为差角的余弦公式差角的余弦公式，记，记作作，该公式有什么特点？

如何记忆，该公式有什么特点？

如何记忆？

探究

（二）：

探究

（二）：

两角差的余弦公式的变通两角差的余弦公式的变通思考思考11：

若已知若已知和和的三角函数的三角函数值，如何求值，如何求coscos的值？

的值？

coscoscos（cos（）coscos（）coscossin（sin（）sin）sin.思考思考22：

利用利用（）可得可得coscos等于什么？

等于什么？

coscoscos（cos（）coscos（）cos）cossin（sin（）sin）sin.思考思考33：

若若coscoscoscosa，sinsinsinsinbb，则，则cos（cos（）等于什么？

等于什么？

思考思考44：

若若coscoscoscosa，sinsinsinsinbb，则，则cos（cos（）等于什么？

等于什么？

例例11利用余弦公式求利用余弦公式求cos15cos15的值的值.例例22已知已知是第三象限角是第三象限角,求求cos（cos（）的值的值.理论迁移理论迁移例例33已知已知且且,求求的值的值.小结作业小结作业1.1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会领会.2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时该角的余弦（或正弦）值时,要注意该要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号数值符号.作业：

作业：

P127P127练习：

练习：

11，22，33，4.4.3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，角的变换，如，22（）（）等等.同时，公式的应用具有同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择式形式的选择.