结构动力学习题解答一二章.docx
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结构动力学习题解答一二章
第一章单自由度系统
1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：
牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守
恒定理法。
1、牛顿第二定律法
适用范围：
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；
（2）利用牛顿第二定律mxF,得到系统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、动量距定理法
适用范围：
绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行受力分析和动量距分析；
（2）利用动量距定理JM，得到系统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、拉格朗日方程法：
适用范围：
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；
进一步写求出拉格朗日函数的表达式：
L=T-U；
（2）由格朗日方程（丄）丄=0，得到系统的运动微分方程；
dt
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、能量守恒定理法
适用范围：
所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U
的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const
（2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零，即d（TU）0,进一步得到系dt
统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：
衰减曲线法和共振法。
方法一：
衰减曲线法。
求解步骤：
（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷
的幅值A、A1。
A
（2）由对数衰减率定义ln（-），进一步推导有
A1
2
12，
因为较小，所以有
O
2
方法二：
共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
（2）分析以上幅频曲线图，得到:
1,2max/'•22/4；
于是
（1
进一步
（1
最后
1/2n
/2
1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：
幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：
幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励
F0sint作用下其稳态响应为:
xAsin（t）,
其中:
Fo
:
~22~T~2~2
mn04n
Xst
（1）
arctan2/1
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（
1）,
（2）式求得阻尼比。
方法二：
功率法:
（1）单自由度系统在
F0sint作用下的振动过程中，在一个周期内,
弹性力作功为
Wc
阻尼力做功为
Wd
cA2
激振力做作功为
Wf
Fosin；
（2）由机械能守恒定理得，弹性力、
阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,
即:
Wc+Wd+Wf
F0sin
cA2
进一步得:
AF0sinc
（3）
时，sin1，
Amaxxst.2
max
2max°
1.4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。
（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为
48EI.
3；
L3
刚度为
k2
k1、简支梁
1
等效刚度为k;有-
k
ki
1
k2；
k1
11
k1k2
48EIk
3
48EIk1l
L/2
则固有频率为:
3
48EII
k
m[48EIk1l3m
图1-33（a）
（2）此系统相当于两个弹簧串联,等效刚度为:
kk1
48EI
可；
ki
则固有频率为：
k
m
3
k1l48EI
ml3
图1-33（b）
⑶系统的等效刚度为
kk1
3EI
l3
ki
3EI
则系统的固有频率为
3
3EI
ml3
图1-33（C）
（4）
由动量距定理m0FI0得:
1
1
1
1
1
l
匕l
l
«l）:
=ml
2
2
2
2
2
得：
k1
0
2m
ki
ki
Z/
图1-33（d）
1.5求下图所示系统的固有频率。
图中匀质轮
A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：
以为广义坐标，则
系统的动能为
1/\2
1
2
TT重物
T轮子
一（m）x
2
1I0
2
1P
、2
11P2
x
P2
P2
_（—
）x
（R）
—
—x
x
22g
g
R
4g
4g
P2
X2g
系统的势能能为：
12
UU重物U弹簧Pxkx
八2
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程（-L）-L0得
dtxx
xkx0g
则,
所以：
系统的固有频率为
R,质量为M，作纯滚动。
弹簧刚度
1.6求图1-35所示系统的固有频率。
图中磙子半径为为K。
解：
磙子作平面运动，
其动能T=T
图1-35
T平动
1
mx&";
2
T转动
1
&
1
2
1
MR2
&2
I
2
R
2
2
R
T
1
Mx2
1Mx2
-Mx2
2
4
4
而势能
系统机械能
丄Kx2
TU-Mx2-Kx2C；
42'
由加U°得系统运动微分方程
3Mx
2
Kx
得系统的固有频率
2K
耳3M
1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。
已知齿轮量为mB,半径为佗,杆AC的扭转刚度为Ka,杆BD
A的质量为mA，半径为的扭转刚度为
Kb,
解：
由齿轮转速之间的关系
A「AB「b得角速度
£a
「B
A；转角
齿轮B的质
£a
—A；
「B
系统的动能为:
TTaTb
-J
2
彳2
1mA%
2~2~
1mB「B2
12
7mAmBrA
2B
系统的势能为:
1
Ka
Ka
Kb
Ka
Kb
2
「A2
A
「B
系统的机械能为
1mA
4
mB
Ka
Kb
2「A
-2
「B
由—TU0dt
得系统运动微分方程
2
「A
2
「B
因此系统的固有频率为:
2「A
2「B
J
2Ka
Kb
1
2KaKbA
「B
mA
mB
2「A
「A
\mAmB
1.8已知图1—37所示振动系统中，匀质杆长为
系数为C,求当初始条件oo0时
（1）f（t）Fsint的稳态解；
（2）f（t）（t）t的解；
解：
利用动量矩定理建立系统运动微分方程
2
小L
L
2
L
2
L
JC
K
f（t）K
2
2
2
2
L
L
2
2
2
2
m
mL2
而J「dm
「
—
d「
L
12
L
L
2
2
得
22
mL23CL2
2
6KL2
L,质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼
1I1Cf（t）
-"CL/2/#~L/2>
KfK
Z//ZZzxzzx
图1—37
6Lf（t）；
化简得
3C
m
6K
m
—f（t）mL
（1）求f（t）Fsint的稳态解;
将f（t）
Fsint代入方程
（1）
3C
m
6K
m
—FsinmL
令2n
3C
26K
n;h
m
6FmL
2nn2
hsint
设方程
（3）
的稳态解为
xAsin（t
⑵
（3）
（4）
（4）
式代入方程（3）
可以求得:
（2）求f（t）（t）的解;
f（t）
（t）代入方程（
1）得
令2n
3C
m
6
mL
224n22
6F
22
9C22
arctg
2n
2
n
3C
m
arctg
3C
6K
2n
方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励
初始加速度
然后积分求初始速度
odt
再积分求初位移
6K
m
6
mL
（t）
0h（t）
0
h（t）dt
0
n2h
（t）
h（t）的响应。
由方程（
（5）
（6）
6）可以得到
（t）dth；
00dt
0
h）dt0;
这样方程（6）的解就是系统对于初始条件°
0和o的瞬态响应
X
Ae
nt
sin
dt；
A
h
;0;
md
dt
h
md
nt
esindt
2gH；
2
2X0nX0
X0
d
arctg—
X0
dXo
nX0
将其代入方程（6）可以求得：
最后得
xAentsin
1.9图1—38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m,阻尼为C,刚度为K，处于静止状态,
方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
解：
因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。
在粘地瞬间，
12
由机械能守恒定理mgH—mV。
2的振子的初速度V。
2
底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度
V0、、2gH的主动隔振
系统的运动微分方程为：
mx
Cx
Kx
0
或
C
XX
K
X
0;
m
m
或
x2nx
n
2X
0;
系统的运动方程是对于初始条件的响应：
xAentsindt
X02gH
;
dd
X上Hsindt;
m、k、c已知。
路面波动情
1.10汽车以速度V在水平路面行使。
其单自由度模型如图。
设
况可以用正弦函数y=hsin（at）表示。
求：
（1）建立汽车上下振动的数学模型；
（2）汽车振动
的稳态解。
解：
（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程:
Y1
myk（yyjc（yyj
其中：
y表示路面波动情况；yi表示汽车上下波动位移。
将其整理为：
K/2
K/2
mycykykyic%
（1）
将yhsin（at）代入得
mycykyachcos（at）khsin（at）
（2）汽车振动的稳态解：
图1—39
Y（t）
设稳态响应为：
yAsin（ta）
代入系统运动微分方程（
1）
可解得:
c22
2）2
c22h
1.11若电磁激振力可写为
mc
2
acrtan（
k（kmJc
F（t）Hsin20t，求将其作用在参数为
m、k、c的弹簧振子上
式中
F（t）
HH/o
——cos（2ot）
x（t）
H
2k
Asin（2ota/2）；
H
A
2m
.（
2,222’
n4o）16n0
的稳态响应。
解：
首先将此激振力按照傅里叶级数展开:
a0
F（t）；
（aicos（it）bisin（it））
2
i1
2T
2T
其中：
ai
〒0F（t）cos（it）dt；
bi20F（t）sin（it）dt
因为F（t）
2
Hsin（°t）是偶函数，
所以bi0。
于是
1.12若流体的阻尼力可写为Fd
aarctan
n
2m
2n
k_
m
bx3，求其等效粘性阻尼。
解:
（1）流体的阻尼力为Fdbx3;
（2）设位移为xAcos（t
），而dxxdt；
（3）流体的阻尼力的元功为dWdFddx（bx'xdt）；
（4）
4
a）]dt
-b3A4
4
流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
34
：
Fddx：
bxdx-bxdt■■-b[Acos（t
（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
cA2
（6）等效粘性阻尼：
取
n，令4b
n3A4
nceqA
eq
n'A2
第二章两个自由度系统
2.1
解:
求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型
（1）系统的振动微分方程
mx1
kx1k（x1
mx2
mx1
2kx1kx2
mx2
kx12kx2
根据微分方程理论，设方程组（
1）的解为:
k（x2x1
（2）系统的特征方程
x1Asin（t
）;X2A2sin（t）
（2）
将表达式（
2）代入方程组
（1）得:
2
（mA1
2kA1kA2）sin（t
（m2A2
S2kA2）sin（t
（3）
因为sin（t
）不可能总为零，
所以只有前面的系数为零:
（2k
kA1
m2）A1
（2km
kA2
2
）A2
2km
k
k
2km
A1
A2
（3）
系统的频率方程
若系统振动,
则方程有非零解，那么方程组的系数行
列式等于零，即:
2km
2k
展开得
系统的固有频率为:
2422
m4mk3k0；
2.3K/m
（5）
（6）
（4）系统的固有振型将1,
2代入系统的特征方程（
4）式中的任一式，得
系统的固有振型，即各阶振幅比为:
⑵
（2）
A2
1；（7）
-I
i）A⑴siti）;
Vm
i）⑴A⑴sin（.kti）Vm
1）A,
（2）sin（、；3kt1）;
1）
（2）A⑺sin（J
（5）系统的主振动
系统的第一主振动为
xjA⑴sin（11
x21）a2°sin（11
系统的第一主振动为
广X⑵A,2）sin（21
-x22）A：
2sin（21
2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。
解：
（1）系统的动能
T1（2m）uj1（m）ufmu12
U2
（2）系统的势能
m
因为弹簧上端A、B两点的位移
u1u2
2
ua2u1
u1u2
;UB
所以系统的势能为
ui
U2）2
2
K（UiU2）2
22
K22\
（5u12u1u2u2）
4
⑶系统的Lagrange函数
LL
图2-12
212K22
LTVmu1mu2（5u12u1u2u2）
24
（4）系统的运动微分方程
由Lagrange方程
d
dt
L
uj
-0j1,2
可得
uj
{2mu1
mu2
5
Ku1
2'
K“
Ku12
K
才2
2mu1
mu2
（6）系统的特征方程
设系统的运动微分方程的解为
u1A]sin（t）,u2A2sin（t）
代入系统的运动微分方程得系统的特征方程
2m2
-KA1
2
5KK
22u10
KKu20
22
KKA1
2
2m25K
2
K_
2
K
2A10
2KA20
m
2
（7）系统的频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
2m25K
2
K
2
2422
4m247Km2K20
解得
系统的固有频率
21.叫m
（7）系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的固有振型
（8）系统的主振动
Ai⑴sin（
1）
Ai
（1）
A21）
0.28；需
A2
u21）
A：
1〉sin（
1）
u
（2）
A：
2）sin（
1）
（2）
U2
A；2）sin（
1）
A⑴sin（06,
kt
m
（1）ik
O..28A（）sin（0.6—t\m
2.3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图
1
1）；
1）
1）
A,2）sin（1.18kt
1.67A
（2）sin（1.18、kt
”m
2-13），杆的质量为m,两弹簧的刚度分别
为2K和K。
（1）写出用杆端铅直位移u1和u2表示的运动方程;
（2）写出它的两个固有频率；
（3）画出它的两个固有振型；解：
（1）均质杆的运动微分方程
以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心
儿u1
C
m
A
u2
C的位移为
1
UC—U1u2
2K
K
均质杆绕质心C的转角为
sin
1u2u
U2
L
ui
2-13
均质杆的运动微分方程
muc
2K（2U1U2）；
mu1u26K2u1u2；
（2）系统的特征方程
m（u1u2）
设运动微分方程
（1）的解为U1
K（2u1
KuiL
U2）；
KL
U2；
m（u1u2）
2
mLU1U2
12L
K（2u1
Ku1L
mu1
mu1
A1sin（t
厂2
mA1
2八
mA1m
m2A2
2
A2
mu2
mu2
4KA1
12KA1
U2）；
KL
4Km
2m
2K
12K
6K
4Ku12Ku2
12KU16KU2
0；
0；
（1）
U2A2sin（t），代入方程
（1）
2KA2
6KA2
A1
A2
0；
0；
（4）系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
4K
2K
2
m12K6K
0；
m2412Km224K20
解得系统的两个固有频率
11.612;23.066;
（5）系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
3-7
1一⑴
37一67
1一⑵
8）系统的两阶主振动
1）A,
（1）sin（1.612t1）;
i）2.33A⑴sin（1.612t1）
u1
（2）A：
2）sin（11
"u；2）a22）sin（11
1）A
（2）sin（3.066t1）;
1）1.81A
（2）sin（3.066t1）
2.4确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。
解：
（1）系统运动微分方程
2mu1
1mu2
J2mu1
mu2
2K（u2u1）
2K（u2u1）
2Ku12Ku20
2KKu12Ku20
（1）
（2）系统特征方程图2-14
设运动微分方程
（1）的解为
U1
Aisin（t
）
和
U2
A2sin（t
），
代入方程
（1）
.Km
2A1KA2
0;
2KA1
2
2Km
A2
0;
即
Km2
K
A1
0
2K
2Km2
A2
0
（3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
2K
2K
0；
m43K20
解得
10；2•；
¥m
（4）系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
Ai
（1）1Ai⑺1
1；-
A
（1）
（1）'A
（2）
（2）
^^2A2
L.
L
xc
sin1
sin2，yc
cos1
cos2
2
2
L
L
xc
1cos
12cos
2-yc
—
1sin1
2
2
（2）
求系统的
Lagrange函数
1
22
1.2
1
L
TV-
mXcyc
JC2
—
mgLcos
2
2
2
求该系统
2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为的固有频率和固有振型。
解：
（1）求均质细杆质心的坐标和质心的速度
mL22
2
c1
2212cos1
2
8
匹；丄mgLcos1cos2
242
（3）求系统的运动微分方程
由Lagrange方程d^色
1,2可得
j
mL2
L
“2
mg1
0
4
2
mL2
L
2
mg2
0
3
2
即
（4）系统特征方程
mL2
mL2
mgL
0
0
4
4
1
2
1
mL2
mL2
2
0
mgL
2
0
4
3
2
设运动微分方程
1勺解为
1
A1sin（
t）
和2A2sin（
L
mL2
2
mL2
2
（mg-
）A1
A2
0;
2
4
4
mL2
2
L
mL2
2
2A1
（mg-
2）A2
0;
4
2
3
L
mL2
2
mL2
2
（mg-
2
4
）
4
A1
2
A2
（1）
t）,代入
升级会员 