一级学科数学.docx
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一级学科数学
数学
0701
（一级学科：
数学）
数学是一门在非常广泛意义下研究自然现象和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。
它的根本特点是从自然现象的量的侧面抽象出一般性的规律，预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。
数学是各门科学的基础，在自然科学、社会科学、工程技术等方面起着思想库的作用；又是经济建设和技术进步的重要工具。
数学科学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系。
本学科目前在基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论五个二级学科招收硕士研究生。
基础数学是数学的核心和灵魂.它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础。
基础数学包括数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多分支学科。
计算数学是研究如何用计算机解决各种数学问题的科学，主要研究与各类科学计算和工程计算相关的计算方法，对各种算法进行理论和数值分析，设计和研究用数值模拟方法来代替某些耗资巨大甚至难以实现的实验，研制专用或通用科学工程应用软件和数值软件等。
它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定的算法。
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的科学。
概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律，是数理统计的基础。
数理统计是研究如何有效地收集、分析和使用随机性数据的学科，为概率论的实际应用提供了广阔的天地。
应用数学是联系数学与现实世界的重要桥梁，主要研究自然科学、工程技术、信息、经济、金融、管理、社会和人文科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型，利用数学方法解决实际问题，研究具有实际背景和应用前景的数学理论等。
运筹学与控制论以数学和计算机为主要工具，从系统和信息处理的观点出发，研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题，是一个包括众多分支的学科。
运筹学结合数学、计算机科学、管理科学，通过对建模方法和最优化方法的研究，为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。
控制理论处于数学、计算机科学、工程学等学科交叉发展的前沿，是以自动化，机器人、计算机和航天技术为代表的新技术革命的一个理论基础。
一级学科的主要研究方向有：
1．函数论与泛函分析：
主要从事几何函数论，复解析动力系统与分形几何，调和分析，算子代数及其在紧量子群等领域的应用方面的研究工作
2．代数与几何：
主要从事以模糊逻辑与多值逻辑为基础的广义集合论上的代数与拓扑问题的研究；一些重要的有限群与域上有限维代数的结构理论与组合表示理论的研究；流形理论以及微分几何在广义相对论、量子力学、神经网络、控制理论、统计等方面的应用问题。
3．偏微分方程的数值方法：
利用有限元法、边界元法及其它们的组合，研究微分方程、积分方程的数值解法和误差估计；进行偏微分方程组的特征值的计算方法的研究，并探讨带参变量的偏微分算子特征值曲线的扰动问题；矩阵计算中的扰动问题进行研究。
4．随机分析：
研究随机动力系统的稳定性，遍历性，大偏差，以及随机过程理论在网络安全、信号、图形和图像处理中和容错控制等工程领域中的应用。
5．数理统计：
研究统计推断中的点估计，假设检验，区间估计以及分布推断，多元统计，统计计算等内容；研究寿命分布，尤其是产品寿命，可靠性模型的建立；可靠性分析与设计；高可靠性系统的冗余设计与容错控制等理论及其在产品生产、工程、管理、生物、医学和国防装备等领域中的应用。
6．微分方程及其应用：
主要研究非线性常微分方程的定性理论和边值问题；反应扩散方程的定解问题和解的稳定性、分支结构等问题以及它们在自动控制、生物与生命科学等学科中的应用。
7．组合论与离散数学：
主要运用代数和数论理论研究各种密码体制和加密算法；研究图的各种结构及关系，图的着色等问题及其应用。
8．优化与控制理论：
主要研究在工程设计、经济管理与交通运输、物流与供应链管理等领域的数学模型与优化方法和理论，探讨最优性条件，改进与设计最优化算法；研究金融产品的定价，风险度量和风险管理，投资组合及投资决策分析等问题。
一、培养目标
掌握坚实的数学基础理论和系统的基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论某个学科的专门知识。
具备从事数学的某个研究领域的理论及其应用问题研究的能力。
有严谨求实的工作作风和学习态度，熟练掌握一门外语。
能胜任高等院校数学学科的教学和科研工作，生产实际部门的应用开发研究和管理等工作。
二、课程设置
类别
课程编号
课程名称
课内
学时
学分
开课学期
考核方式
备注
学
位
课
21--01-09
科学技术哲学
54
2
1、2
考试
21--0*-09
科学社会主义理论与实践
36
1
1、2
考试
21--0*-09
外语Ⅰ
54+54
2
1、2
考试
21--01-07
泛函分析
54
3
1
考试
任选
四门
21--02-07
近世代数
54
3
1
考试
21--03-07
拓扑学
54
3
1
考试
21--04-07
偏微分方程数值解法
54
3
1
考试
21--05-07
高等概率论
54
3
1
考试
21--06-07
数理统计Ⅰ
54
3
1
考试
21--07-07
常微分方程定性理论
54
3
1
考试
21--08-07
图论及其应用
54
3
2
考试
21--09-07
现代偏微分方程理论
54
3
2
考试
21--10-07
现代控制理论
54
3
2
考试
21--01-08
运筹学与最优化方法
54
3
1
考试
21--03-08
多目标决策方法
36
2
2
考试
选
修
课
20--01-07
应用复分析
54
3
2
考试
20--02-07
几何函数论
54
3
2
考试
20--03-07
泛函分析（下）
54
3
2
考试
20--04-07
复解析动力系统
54
3
2
考试
类别
课程编号
课程名称
课内
学时
学分
开课学期
考核方式
备注
选修课
20--05-07
有限群表示论
54
3
2
考试
20--06-07
模糊分析学
54
3
1
考试
20--07-07
格上代数与拓扑学
54
3
2
考试
20--08-07
李群与李代数
54
3
2
考试
20--09-07
同调代数与代数几何初步
54
3
2
考试
20--10-07
分形及其计算机应用
54
3
2
考试
20--11-07
有限域
54
3
1
考试
20--12-07
Banach代数
54
3
2
考试
20--13-07
连续格与Domain理论
54
3
2
考试
20--14-07
微分几何
54
3
2
考试
20--15-07
有限元方法
54
3
2
考试
20--16-07
偏微分方程差分方法
54
3
2
考试
20--17-07
数值代数
54
3
1
考试
20--18-07
最优化理论与方法
54
3
1
考试
20--19-07
随机过程
54
3
1
考试
20--20-07
随机微分方程及其应用
54
3
2
考试
20--21-07
随机动力系统
54
3
2
考试
20--22-07
近代回归分析
54
3
2
考试
20--23-07
可靠性理论及其应用
54
3
2
考试
20--24-07
多元统计分析
54
3
2
考试
20--25-07
时间序列分析
54
3
2
考试
20--26-07
统计计算
54
3
2
考试
20--27-07
常微分方程边值问题
54
3
2
考试
20--28-07
泛函微分方程
54
3
2
考试
20--29-07
反应扩散方程
54
3
2
考试
20--30-07
组合数学
54
3
2
考试
20--31-07
现代密码学
54
3
2
考试
20--32-07
小波分析及其应用
54
3
2
考试
20--33-07
信号与图像处理中的数学
54
3
2
考试
20--34-07
算子半群理论及其应用
54
3
2
考试
20--35-07
无穷维线性系统理论
54
3
2
考试
20--36-07
金融经济学
54
3
1
考试
20--37-07
数理金融
54
3
2
考试
三、必修环节
1．文献综述报告（1学分）：
本学科硕士学位研究生的文献阅读要结合课题研究方向和具体的研究领域进行，综述报告的参考文献应不少于30篇，完成1篇反映国际上和中国在本领域的研究历史、现状和发展趋势文献综述报告。
文献综述报告应不少于3000汉字的内容。
2．学术活动（1学分）：
在学期间至少应参加6次以上学术活动，其中本人进行正规性的学术报告1次以上。
每次学术活动要有500字左右的总结报告，注明参加学术活动的时间、地点、报告人、学术报告题目，简述内容并阐明自己对相关问题的学术观点或看法。
3．专业外语（1学分）：
使研究生了解、熟悉外语论文的写作及如何在国际会议发表论文和进行学术报告。
由指导教师负责指导研究生选读和笔译相关专业外文文献，学院组织考试。
四、科学研究与学位论文
1．学位论文选题和开题报告：
论文选题应根据当前世界和中国在本学科方向科学技术的发展水平和趋势进行，选题涉及基础理论的研究内容应紧跟国际发展前沿，具有较高的理论价值和创新性并具有国际先进性，一般应有相应的实验数据支持；选题涉及工程应用的研究内容应具有明显的工程实用价值，技术上在中国具有国内先进性，至少要经过初步的实践检验。
2．发表论文：
应满足校学位评定委员会的要求。
3．学位论文：
硕士学位论文应当表明作者具有一定的独立从事科学研究工作的能力，并在科学或专门技术上做出成果。
五、课程简介
21--01-07
泛函分析
3（54）
适用专业：
数学
先修课程：
数学分析，实变函数，高等代数
内容概要：
度量空间；拓扑向量空间；线性算子一般理论；紧算子的谱理论；Hilbert空间上线性算子的谱分解；Banach代数。
参考文献：
1.Yosida.FunctionalAnalysis.Springer-Velag，1986
2.张恭庆.泛函分析讲义[M].北京大学出版社，1984
21--02-07
近世代数
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
线性代数
内容概要：
集合论与数论；群论；环论；域论与Galois理论。
参考文献：
1.莫宗监.代数学[M].北京大学出版社，1986
2.熊全淹.近世代数[M].武汉大学出版社，1984
21--03-07
拓扑学
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
近世代数
内容概要：
度量空间；拓扑空间；连续映射；同胚；可数性公理；分离性公理；紧性公理；连通性；道路连通性；同伦；基本群；同调群等。
参考文献：
1.BoothroydG.FundamentalsofMetalMachiningandMachineTools.WashingtonD.C.ScriptaBookCompany，1989
2.田雨华等译.计算机集成制造技术和系统[M].兵器工业出版社，1991
21--04-07
偏微分方程数值解法
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
数学分析，线性代数，泛函分析，数理方程
内容概要：
解抛物型和双曲型方程的差分方法；解椭圆型方程的有限元方法；解离散微分方程的高效率方法。
参考文献：
1.李立康，淤崇华，朱政华.微分方程数值解法.复旦大学出版社，1999
2.徐长发，李红.偏微分方程数值解法.华中科技大学出版社，2000
21--05-07
高等概率论
3（54）
适用专业：
概率论与数理统计
先修课程：
数学分析，概率论，实变函数
内容概要：
集类；
-代数；测度；随机变量；可测函数；数学期望；积分；乘积测度空间；条件数学期望；独立随机变量的和。
参考文献：
1.严士健,王隽骧,刘秀芳.概率论基础.科学出版社，1999
2.严加安.测度论讲义.科学出版社，1998
21--06-07
数理统计Ⅰ
3（54）
适用专业：
概率论与数理统计
先修课程：
概率论，数理统计
内容概要：
统计结构；统计量和分布；充分完备统计量；指数族分布等；主要介绍统计的三大经典方向；参数估计；假设检验和区间估计。
参考文献：
１.茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计.高等教育出版社和施普林格出版社，1998
２.陈希孺.数理统计引论.科学出版社，1997
３.BickelP.J.DoksumK.A..MathematicalStatistics.Holden-DayInc.,1997
21--07-07
常微分方程定性理论
3（54）
适用专业：
应用数学
先修课程：
常微分方程，泛函分析，拓扑学
内容概要：
基本定理；二维系统的平衡点；二维系统的极限环；动力系统；振动方程与生态方程；n维系统的平衡点；Hopf分歧；闭轨分歧；极限环；高维问题。
参考文献：
张锦炎.常微分方程几何与分支问题[M].北京大学出版社，1987
21--08-07
图论及其应用
3（54）
适用专业：
应用数学
先修课程：
高等代数，近世代数
内容概要：
树；连通性；哈密顿图；匹配；着色；平面图；有向图。
参考文献：
C.Berge.Graphs.North-Holland，1985
21--09-07
现代偏微分方程理论
3（54）
适用专业：
计算数学
先修课程：
常微分方程，偏微分方程引论（数理方程），泛函分析
内容概要：
广义函数；Sobolev空间；椭圆型方程的理论；椭圆型方程的Schauder理论；椭圆型方程的LP理论；抛物型方程（半群方法初步）；双曲型方程。
参考文献：
1.王跃东.偏微分方程理论[M].北京：
北京大学出版社，1989
2.陈亚浙，吴兰成.二阶椭圆型方程与椭圆型方程组[M].北京：
北京大学出版社，1991
21--10-07
现代控制理论
3（54）
适用专业：
计算数学
先修课程：
经典控制理论，线性系统控制理论，高等代数
内容概要：
频域分析法；状态空间法；多项式控制理论；极点配置；能控能观测性；最小实现；系统仿真；最优控制；极值原理；动态规划；Bang-Bang控制；稳定性理论；最优反馈控制；控制。
参考文献：
1.许可康.线性系统控制理论讲义[M].北京：
中国科学院，1991
2.吴沧浦.最优控制理论和方法[M].北京：
国防工业出版社，1989
3.T.Kaileth..LinearSystems.Prentice-Hall，1980
20--01-07
应用复分析
3（54）
适用专业：
基础数学
先修课程：
复变函数
内容概要：
Cauchy积分；留数计算；共形映照；线性关系问题（Riemann-Hilbert问题）；带Cauchy核的积分方程。
参考文献：
1.范天佑译.经典弹性理论中的接触问题.北京理工大学出版社，1988
2.J.K.Lu.ComplexVariableMethodsinPlaneElasticity.WorldScientific.
Singapore，1995
20--02-07
几何函数论
3（54）
适用专业：
基础数学
先修课程：
实分析，复分析，泛函分析
内容概要：
单叶函数的基本性质，特殊单叶函数族；Grunsky不等式；增长定理，参数表示法，变分法，极值点与支撑点，二次微分；极值长度，边界性质。
参考文献：
泊茂仁克著，杨维奇译.单叶函数.科学出版社，1987
20--03-07
泛函分析（下）
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
泛函分析（上）
内容概要：
Banach代数与C*-代数；谱族与谱分解定理；无界算子；无界正常算子的谱分解；算子半群；无穷维空间上的测度论。
参考文献：
张恭庆等.泛函分析讲义（下）[M].北京：
北京大学出版社，1990
20--04-07
复解析动力系统
3（54）
适用专业：
基础数学
先修课程：
数学分析，解析几何，复变函数
内容概要：
有理函数动力系统基础；多项式动力系统；整函数动力系统。
参考文献：
吕以辇.复解析动力系统[M].北京：
科学出版社，1996
20--05-07
有限群表示论
3（54）
适用专业：
基础数学
先修课程：
近世代数
内容概要：
有限群的表示；表示的特征标；不可约表示；Schur引理；表示的诱导与限制；Frobenius互反律；Wedderburn定理；射影模；内射模；半单代数理论等。
参考文献：
1.J.P.Serre.LinearReprentationsofFiniteGroups.Springer-Verlag,GTM-42.科学出版社,1999
2.N.Jacobson.BasicAlgebraII,WHFreeman&Co，1999
20--06-07
模糊分析学
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
近世代数，拓扑学，应用模糊数学
内容概要：
模糊测度；模糊积分；模糊数；模糊集值映射。
参考文献：
吴从忻，马明.模糊分析学基础.国防科技大学出版社，1994
20--07-07
格上代数与拓扑学
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
近世代数，拓扑学
内容概要：
格上群；环；域；向量空间；格上拓扑；分离性；连通性；紧性等等。
参考文献：
1.LiuYingming,LuoMaokang.Fuzzytopology.Singapore:
WorldScientific，1997
2.王国俊.L-fuzzy拓扑空间论.西安：
陕西师范大学出版社，1988
20--08-07
李群与李代数
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
近世代数，微分流形
内容概要：
微分流形与解析流形，Lie群，Lie群的Lie代数，Lie群的包络代数，Lie群与Lie代数的子结构，Lie群与Lie代数的同态，Lie基本定理，指数映射，Lie群的Taylor级数展开，Lie群与Lie代数的伴随表示，变换群的Lie理论,幂零Lie代数与可解Lie代数，Cartan准则，半单Lie代数的表示，Levi定理与Malcev-Harish-Chandra定理，Lie代数的上同调群，Lie代数的完全可约性等。
参考文献：
1.V.S.Varadarajan,LieGroups,LieAlgebrasandTheirRepresentations,Springer-Verlag,1984
2．N.Jacobson,LieAlgebras.DoverPublications.Inc.NewYork,1979
20--09-07
同调代数与代数几何初步
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
代数学基础，交换代数
内容概要：
交换代数基础；范畴与函；子的基本理论及其应用；特殊模与相应的维数；环模复形的同调理论；仿射簇；Sheaves理论；Schemes理论；代数曲线；代数曲面等。
参考文献：
1.D.G.Northcott.AFirstCourseofHomologicalAlgebra.CambridgeUniversityPress，1973
2.RobinHartshorne.AlgebraicGeometry.Springer-Verlag，1977
20--10-07
分形及其计算机应用
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
分形几何，计算机语言
内容概要：
豪斯道夫测度和维数；维数的其它定义；计算维数的各种技巧；分形的局部结构；分形的乘积、交，动力系统；随机分形；多重分形测度；L系统；迭代函数系统；计算几何学方法；图像矩阵的变换；正交函数；关于分形的维数；分形图象压缩。
参考文献：
1.齐东旭.分形及其计算机生成[M].北京：
科学出版社，1994
2.曾文曲，刘世耀.分形几何及－数学基础及其应用[M].长春：
东北大学出版社，1989
20--11-07
有限域
3（54）
适用专业：
应用数学
先修课程：
高等代数，近世代数
内容概要：
数论初步；欧几里得整环和欧几里得算法；欧几里得整环上的唯一因子分解；从欧几里得整环构造域；有限域上的抽象性质；有限域上的分解多项式；迹、范和比特序列乘积；有限域上的线性递推；m-序列理论；m-序列的互相关性质。
集合论与数论；群论；环论；有限域论
参考文献：
ObertJ.McEliece.FiniteFieldforComputer.ScientistsandEngineers，1987
20--12-07
Banach代数
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
泛函分析
内容概要：
Banach代数的一般概念；交换的Banach代数；交换的Banach代数与多复变函数理论；K－理论；Banach*-理论；抽象调和分析基础。
参考文献：
李炳仁.Banach代数[M].北京：
科学出版社，1992
20--13-07
连续格与Domain理论
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
近世代数
内容概要：
偏序集；连续偏序集；dcpo；domain；格；完备格；连续格；分配格；完全分配格；Heiting代数。
参考文献：
G.Gierzetal.Acompendiumofcontinuouslattices.Berlin:
SpringerVerlag,1980
20--14-07
微分几何
3（54）
适用专业：
基础数学，应用数学
先修课程：
数学分析，高等代数，解析几何，神经网络，统计，控制理论
内容概要：
三维欧式空间的曲线论；曲面论；高斯曲率和平均曲率；高斯-邦尼定理；微分流形；切空间；仿射联络；曲率张量；统计流形；Fishe信息度量；对偶联络；神经元流形；信息几何的应用；爱因斯坦方程
参考文献：
1.陈维桓，微分几何初步[M].北京：
北京大学出版社，1999
2.陈维桓，微分流形初步[M].北京：
北京大学出版社,1977
3.Shu
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