三角形四边形中的动点问题.docx
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三角形四边形中的动点问题
三角形、四边形中的动点问题．
暑期八升九数学个性化培优精讲精练☆☆☆☆☆黄冈（yang）
§1.三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】
1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；），以静制动；2.化动为静（由一般到特殊3.数学建模：
确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系
时常常建立方程模型；
4.关注运动问题的三个要素：
运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；.
图同时运动）线、6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、◆典例解析
一、三角形中的动点问题AB出发，沿线段以1cm/s的速度从点A.已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形动点P1.例st（），向点B运动.设运动时间为t为何值时，△PBC是直角三角形？
（1）如图1，当、D.如果动点P.连接PQ交AC于方向运动）如图（22，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC?
DCQ是等腰三角形.那么当t为何值时，△Q都以1cm/s的速度同时出发PC.
于D，连接连接C出发，沿射线BC方向运动.PQ交ACQ动点从点若另一，3）（3如图PCD和.的速度同时出发请探究：
在点P、Q的运动过程中△Q如果动点P、都以1cm/s的面积是否相等？
△QCD
AAAPPPDD
BBBCCQQC
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变式题：
已知：
如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻APQC的面积为y（cmt，使四边形APQC
（2）设四边形的面积是△ABC面积的三分之二？
如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。
A
P
QCB
为AB的中点．厘米，例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10BC=8厘米，点D点向在线段/秒的速度由B点向C点运动，同时点QCA上由C厘米在线段
（1）若点PBC上以3A点运动．是否全等，请说明理由；与△1秒钟时，△BPDCQP的运动速度相等，①若点Q的运动速度与点P≌△Q的运动速度为多少时，能够使△BPD的运动速度不相等，当点②若点Q的运动速度与点PCPQ？
同时出发，都逆时针
（1）
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点BP以原来的运动速度从点ABC的哪条边上相遇？
第一次在△与点三边运动，求经过多长时间点沿△ABCPQ
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变式题：
如图
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD。
可通过证明得到这个结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图
（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．利用图
（2）的情形，求证：
∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？
写出证明过程．
二、特殊四边形中的动点问题DCABCDABAP从点=12cm,CD例3.如图，在等腰梯形=6cm,中，AB∥，,cmBC?
5AD?
CQABB的速度移动，边向D以每秒以每秒3cm的速度移动，点从1cm开始沿开始沿CD边向t秒。
、P、Q分别从AC同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
设运动时间为如果点3APQD时，四边形t=是平行四边形；）求证：
当（1Q
2CD
平为何值时？
若能，求出当BDtPQ是否可能平分对角线）（2PQ；若不能，请说明理由；BD分B
A
P
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变式题：
3cm，AD﹦18cm，BCAB﹦﹦624cm。
点p从点A﹦90°，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）在其它条件不变的情况下，能否通过改变点Q的运动速度，使得四边形PQCD为菱形？
的外BCABC，设MN交∠边上的一个动点，过点ABC中，点O为ACO作直线MN∥例4.如图，△于E．ACB角平分线CF于点F，交∠内角平分线CEEO=FO；1（）试说明是矩形并证明你的结论；O2）当点运动到何处时，四边形AECF（ABC的形状并证明你的结论．AECFAC（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△
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变式题：
DACD、、BC、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB1.如图所示，有四个动点P、Q、A各点移动。
、D、以同样的速度向B、C是正方形并证明。
1）试判断四边形PQEF（是否总过某一定点，并说明理由。
2）PE（的顶点位于何处时，其面积最小，最大？
各是多少？
3）四边形PQEF（AFD
P
E
BQC
ACEABDBCBCABABCAC、等边△、等边中，分别以、、为边在的同侧作等边△如图所示，在△2.BCF.
△DAEF）求证：
四边形是平行四边形；1（FEDA
BC
（只填满足的条件，不需证明）2（）探究下列问题：
ABCDAEF是矩形；条件时，四边形①当△满足_________________________ABCDAEF是菱形；满足_________________________条件时，四边形②当△ABCDAEF为顶点的四边形不存在、.
_________________________③当△满足条件时，以、、
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◆延伸课堂
1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
+）中的规律和结论，请构图求出代数式）根据（2的最小值．（3
点，运AO点出发，同时到达PB两点，动点、Q同时从直线2.y=-3/4x+6与坐标轴分别交于A、A运动．O?
B?
沿路线动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点PB两点的坐标；）直接写出A、（1之间的函数关系式；与tOPQ，△的面积为S，求出S的运动时间为
（2）设点Qt（秒）为顶点的平行四边形的第四个顶Q、P、的坐标，并直接写出以点S=（3）当48/5时，求出点PO的坐标．点M
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3.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）t为何值时，线段AB与线段PQ相等？
（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？
为什么？
（4）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？
若存在，求出t的值；若不存在，请你说明理由．
PAD
CBQ
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4.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
PMC为何值时，△为等腰三角形．3（）探究：
t
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