概率论与数理统计教程.docx
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概率论与数理统计教程
概率论与数理统计教程
篇一:
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案
.第七章假设检验
设总体?
?
N(?
?
2),其中参数?
,?
2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:
(1)H0:
?
?
0,?
?
1;
(2)H0:
?
?
0,?
?
1;(3)H0:
?
?
3,?
?
1;(4)H0:
03;(5)H0:
?
?
0.
解:
(1)是简单假设,其余位复合假设设?
1,?
2,
,?
25取自正态总体N(?
9),其中参数?
未知,是子样均值,如
H0:
0H,?
?
1:
?
取检验的拒绝域:
对检验问题
c?
{(x1,x2,,x25):
|?
?
0|?
c},试决定常数c,使检验的显著性水平为
9
)25
解:
因为?
?
N(?
9),故?
N(?
在H0成立的条件下,
P0(|?
?
0|?
c)?
P(|?
?
0
35c|?
)53
5c?
?
?
2?
1?
?
()?
?
3?
?
?
(
5c5c
)?
?
,所以c=。
33
22
取自正态总体N(?
?
0已知,对假设检验,?
25),?
0
设子样?
1,?
2,
H0:
0,H1:
0,取临界域c?
{(x1,x2,,xn):
|?
c0},
(1)求此检验犯第一类错误概率为?
时,犯第二类错误的概率?
,并讨论它们之间的关系;
2
(2)设?
0=,?
0=,?
=,n=9,求?
=时不犯第二类错误
的概率。
解:
(1)在H0成立的条件下,?
N(?
0,
2
?
0
n
),此时
1
?
?
P0(?
c0)?
P0?
000
?
?
1?
?
,由此式解出c0?
10
在H1成立的条件下,?
N(?
?
02
n
),此时
?
?
P?
1(?
c0)?
P100?
?
0
?
?
0
?
?
(?
1
由此可知,当?
增加时,?
1?
?
减小,从而?
减小;反之当?
减少时,则?
增加。
(2)不犯第二类错误的概率为
11?
?
(?
1
?
3)
?
1?
?
(?
)?
?
()?
?
1?
?
(?
?
设一个单一观测的?
子样取自分布密度函数为f(x)的母体,对f(x)考虑统计假设:
?
10?
x?
1
H0:
f0(x)?
?
?
0其他?
2x0?
x?
1
H1:
f1(x)?
?
?
0其他
试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足?
?
2?
?
min,并求其最小值。
解设检验函数为
?
(x)?
?
?
1x?
c
(c为检验的拒绝域)
?
0其他
2
?
?
2?
?
P0(x?
c)?
2P1(x?
)
?
P0(x?
c)?
2[1?
P1(x?
c)]?
E0?
(x)?
2[1?
E1?
(x)]
1
1
(x)dx?
2(1?
?
2x?
(x)dx)
1
?
2?
?
(1?
4x)?
(x)dx
要使?
?
2?
?
min,当1?
4x?
0时,?
(x)?
0当1?
4x?
0时,?
(x)?
1
1?
1x?
1?
7?
4
所以检验函数应取?
(x)?
?
,此时,?
?
2?
?
2?
?
(1?
4x)dx?
。
80?
0x?
1
?
?
4
设某产品指标服从正态分布,它的根方差?
已知为150小时。
今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时?
解总体?
?
N(?
1502),对假设,H0:
?
?
1600,采用U检验法,在H0为真时,检验统计量
u?
?
临界值u1?
?
/2?
?
|u|?
u1?
?
/2,故接受H0。
某电器零件的平均电阻一直保持在?
,根方差保持在?
,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为?
,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?
去显著性水平?
=。
解设改变工艺后电器的电阻为随机变量?
,则E未知,D?
?
()2,假设为H0:
?
?
,统计量
u?
?
?
3
由于u1-?
/2|u|,故拒绝原假设。
即新工艺对电阻有显著差异。
(1)假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布,旧安眠剂的睡眠时间
?
N(,2),新安眠剂的睡眠时间?
N(?
,?
2),为检验假设
H0:
?
?
:
?
?
从母体?
取得的容量为7的子样观察值计算得
*2
?
x?
由于?
的方差?
2未知,可用t检验。
tn取a?
t0,10(7?
1)t
所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
(2)可以先检验新的安眠剂睡眠时间?
的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间?
的方差一致,即检验假设
H0:
?
2?
()2。
用?
-检验,
2
?
?
2
*2
(n?
1)sn
?
2
2
6。
2
()
2
取?
=,?
(6)=,?
(6)=
22?
(6)?
?
2?
?
(6)
所以接受H0,不能否认?
和?
方差相同。
如认为?
的方差?
2
u?
?
取?
=,
?
?
u?
,所以接受H0。
4
有甲乙两个检验员,对同样的试样进行分析,各人实验分析的结果如下:
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异?
解此问题可以归结为判断?
?
x1?
x2是否服从正态分布N(0,?
2),其中?
2未知,即要检验假设H0
:
?
?
0。
由t检验的统计量t?
n
?
?
?
取?
=,又由于,(7)?
?
|t|,故接受H0
某纺织厂在正常工作条件下,平均每台布机每小时经纱断头率为根,每台布机的平均断头率的根方差为根,该厂作轻浆试验,将轻纱上浆率减低20%,在200台布机上进行实验,结果平均每台每小时轻纱断头次数为根,根方差为,问新的上浆率能否推广?
取显著性水平。
解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量?
,有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及s*2n,问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大,即要检验
2
H0:
E
H1:
E?
?
由于D?
未知,且n较大,用t检验,统计量为
t?
n
?
?
查表知(199)?
,故拒绝原假设,不能推广。
5
篇二:
概率论与数理统计教程习题答案
第一章事件与概率
写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球。
解
(1)记9个合格品分别为正1,正2,?
,
正9,记不合格为次,则
(正2,正4),?
,(正2,正9),(正2,次),?
?
{(正1,正2),(正1,正3),?
,(正1,正9),(正1,次),(正2,正3),
(正3,正4),?
,(正3,正9),(正3,次),?
,(正8,正9),(正8,次),(正9,次)}
A?
{(正1,次),(正9,次)}(正2,次),?
,
(2)记2个白球分别为?
1,3个黑球分别为b1,4个红球分别为r1,则?
?
{?
1,r3,b3,?
2,b2,r4。
r2,
?
2,b1,b2,b3,r1,r2,r3,r4}
(ⅰ)A?
{?
1,?
2}(ⅱ)B?
{r1,r2,r3,r4}
在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示被选学生是三年
级学生,事件C表示该生是运动员。
(1)叙述ABC的意义。
(2)在什么条件下ABC?
C成立?
(3)什么时候关系式C?
B是正确的?
(4)什么时候A?
B成立?
解
(1)事件ABC表示该是三年级男生,但不是运动员。
(2)ABC?
C等价于C?
AB,表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
一个工人生产了n个零件,以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品(1?
i?
n)。
用Ai表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品;
(2)至少有一个零件是不合格品;(3)仅仅只有一个零件是不合格品;(4)至少有两个零件是不合格品。
n
nnn
i
n
解
(1)?
Ai;
(2)?
Ai?
i?
1
?
A
i?
1
;(3)?
[Ai(?
Aj)];
i?
1
j?
1j?
i
n
i?
1
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为?
AiAj;
i,j?
1
i?
j
证明下列各式:
(1)A?
B?
B?
A;
(2)A?
B?
B?
A
(3)(A?
B)?
C(4)(A?
B)?
C
?
A?
(B?
C);
?
A?
(B?
C)
(5)(A?
B)?
C(6)
n
n
?
(A?
C)?
(B?
C)
?
i?
1
Ai?
?
A
i?
1
i
证明
(1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页()式和()式的证法。
在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解样本点总数为A82?
8?
7。
所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以事件A“所得分数为既约分数”包含
A3?
2A3?
A5?
2?
3?
6个样本点。
于是
2
1
1
P(A)?
2?
3?
68?
7
?
914
。
有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。
从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解样本点总数为10。
所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是3、5、7或3、7、
?
3?
?
5?
9或多或5、7、9。
所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点,于是P(A)?
310
。
一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。
如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大?
解显然样本点总数为13!
,事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!
2!
2!
2!
个样本点。
所以
P(A)?
3!
2!
2!
2!
13!
?
4813!
在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于9?
10?
1?
89个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的9?
8?
17个位置之一时正好相互“吃掉”。
故所求概率为
P(A)?
1789
一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。
电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为97。
事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。
所以包含A个样本点,于是P(A)?
7
9
A99
7
7
。
某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。
问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
?
9?
解用A表示“牌照号码中有数字8”,显然P(A),所以
10000?
10?
?
9?
P(A)?
1-P(A)?
1?
?
1
1000010?
?
9
4
4
9
4
4
任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是1;
(2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是1;解
(1)答案为。
51
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为
410
?
25
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含102个样本点。
用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为a,则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数,要使3a的个位数是1,必须a?
7,因此A所包含的样本点只有71这一点,于是
。
一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。
然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接。
求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。
并把上述结果推广到2n根草的情形。
解
(1)6根草的情形。
取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有5?
3?
1种接法,同样对尾也有5?
3?
1种接法,所以样本点总数为(5?
3?
1)2。
用A表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有5?
3?
1种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为4?
2。
所以A包含的样本点数为(5?
3?
1)(4?
2),于是P(A)?
(5?
3?
1)(4?
2)(5?
3?
1)
2
?
815
(2)2n根草的情形和
(1)类似得
把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的)。
如果每一种放法都是等可能的,证明
(1)某一个指定的盒子中恰好有k
?
N?
n?
k?
2?
n?
k个球的概率为N?
n?
1n?
?
?
?
n?
1?
N?
m?
1
,0?
k?
n
(2)恰好有m
?
N?
个盒的概率为?
?
m
,N?
n?
m?
N?
1
?
N?
n?
1?
n?
?
(3)指定的m个盒中正好有j
?
m?
j?
1?
?
N?
m?
n?
j?
1m?
1n?
j个球的概率为
?
N?
n?
1n?
?
,1?
m?
N,0?
j?
N.
解略。
某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解所求概率为P(A)?
35
n?
1n
在?
ABC中任取一点P,证明?
ABP与?
ABC的面积之比大于解截取CD?
?
1nCD
的概率为
1n
2
。
n?
1n
,当且仅当点P落入?
CA?
B?
之内时?
ABP与?
ABC的面积之比大于
2
,因此
1?
n
2
所求概率为P(A)?
?
A?
B?
C有面积?
ABC的面积
?
CD?
CD
CD?
2
2
2
?
1n
2
。
CD
两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。
一艘船到达泊位时必须等待当且仅当
24
0?
x?
y?
2,0?
y?
x?
1。
因此所求概率为P(A)?
2
?
1?
23?
24
2
2
1?
22
2
?
在线段AB上任取三点x1,x2,x3,求:
(1)x2位于x1与x3之间的概率。
(2)Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。
解
(1)P(A)?
13
(2)P(B)?
1?
3?
1
13
?
12?
12
在平面上画有间隔为d的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为a,b,c(均小于d),求三角形与平行线相交的概率。
解分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然P(A1)?
P(A2)?
0.所求概率为P(A3)。
分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c,二边ab,ac,bc与平行线相交,则P(A3)?
P(Aab?
Aac?
Abc).
显然P(Aa)P(Aab)?
P(Aac),P(Ab)?
P(Aab)?
P(Abc),
P(Ac)?
P(Aac)?
P(Abc)。
所以
12
P(A3)?
[P(Aa)?
P(Ab)?
P(Ac)]?
22?
d
(a?
b?
c)?
1
?
d
(a?
b?
c)
(用例的结果)
己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?
试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。
例如向长度为1的线段内随机投点。
则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零,但A不是不可能事件。
甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。
试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
b个
解?
1表示白,?
2表示黑白,?
3表示黑黑白,?
?
b?
1表示黑?
黑白
,
则样本空间?
?
{?
1,?
2,?
,?
b?
1},并且P({?
1})?
P({?
2})?
b
a?
ba?
b?
1
?
a
aa?
ba
,,?
,
,P({?
3})?
b
a?
ba?
b?
1a?
b?
2
?
b?
1
?
P({?
i})?
b
a?
ba?
b?
1
b!
a
?
b?
1b?
(i?
2)
a?
b?
(i?
2)a?
b?
(i?
1)
?
a
P({?
b?
1})?
(a?
b)(a?
b?
1)?
a
甲取胜的概率为P({?
1})+P({?
3})+P({?
5})+?
乙取胜的概率为P({?
2})+P({?
4})+P({?
6})+?
设事件A,B及A?
B的概率分别为p、q及r,求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)解由P(A?
B)?
P(A)?
P(B)?
P(AB)得
P(AB)?
P(A)?
P(B)?
P(A?
B)?
p?
q?
rP(AB)?
P(A?
AB)?
P(A)?
P(AB)?
r?
qP(AB)?
P(A?
B)?
1?
P(A?
B)?
1?
r
,P(AB)?
r?
p
设A1、A2为两个随机事件,证明:
(1)P(A1A2)?
1?
P(A1)?
P(A2)?
P(A1A2);
(2)1?
P(A1)?
P(A2)?
P(A1A2)?
P(A1?
A2)?
P(A1)?
P(A2).
证明
(1)P(A1A2)?
P(A1?
A2)?
1?
P(A1?
A2)=1?
P(A1)?
P(A2)?
P(A1A2)
(2)由
(1)和P(A1A2)?
0得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
对于任意的随机事件A、B、C,证明:
P(AB)?
P(AC)?
P(BC)?
证明P(A)?
P[A(B?
C)]?
P(AB)?
P(AC)?
P(ABC)
P(A)
篇三:
概率论与数理统计教程魏宗舒课后习题解答答案_7-8章
第七章假设检验
设总体?
?
N(?
?
2),其中参数?
,?
2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:
(1)H0:
?
?
0,?
?
1;
(2)H0:
?
?
0,?
?
1;(3)H0:
?
?
3,?
?
1;(4)H0:
03;(5)H0:
?
?
0.
解:
(1)是简单假设,其余位复合假设设?
1,?
2,
,?
25取自正态总体N(?
9),其中参数?
未知,是子样均值,如对检验问题
,x25):
|?
?
0|?
c},试决定常数c,使检验的显著性
H0:
0,H1:
0取检验的拒绝域:
c?
{(x1,x2,水平为
解:
因为?
?
N(?
9),故?
N(?
在H0成立的条件下,
9
)25
P0(|?
?
0|?
c)?
P(|?
?
0
35c|?
)53
5c?
?
?
2?
1?
?
()?
?
3?
?
?
(
5c5c
)?
?
,所以c=。
33
22
已知,对假设检验H0:
0,H1:
0,取临界域,?
25取自正态总体N(?
?
0),?
0
设子样?
1,?
2,
c?
{(x1,x2,,xn):
|?
c0},
(1)求此检验犯第一类错误概率为?
时,犯第二类错误的概率?
,并讨论它们之间的关系;
2
(2)设?
0=,?
0=,?
=,n=9,求?
=时不犯第二类错误的概率。
2
?
解:
(1)在H0成立的条件下,?
N(?
0,
n
),此时
?
?
P0(?
c0)?
P0
00
?
?
1?
?
,由此式解出c0?
0
?
1?
在H1成立的条件下,?
N(?
?
2
0n
),此时
?
?
P1(?
c0)?
P1?
?
?
(?
1
由此可知,当?
增加时,?
1?
?
减小,从而?
减小;反之当?
减少时,则?
增加。
(2)不犯第二类错误的概率为
11?
?
(?
1?
?
0