第一章不允许卖空投资组合(201609).ppt

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第一章第一章允许卖空的均值允许卖空的均值-方差投资方差投资组合理论组合理论n学习重点：

学习重点：

只含风险资产均值-方差投资组合优化、含有借贷利率相同的均值-方差投资组合优化、借贷利率不同的均值-方差投资组合优化n学习难点：

学习难点：

几种情况下均值-方差模型的构建和优化、均值-方差模型与两基金定理的联系、均值-方差模型与资本资产定价模型的关系第一章第一章允许卖空的均值允许卖空的均值-方差投资方差投资组合理论组合理论n1.1只含有风险资产只含有风险资产的均值的均值-方差投资组合优化方差投资组合优化n1.2含有无风险资产含有无风险资产的均值的均值-方差投资组合优化方差投资组合优化第一章第一章允许卖空的均值允许卖空的均值-方差投资方差投资组合理论组合理论n研究背景：

n20世纪50年代，Markowitz运用数量方法创立了投资组合理论。

该理论研究的是一种理性市场，其基本出发点是假定市场中投资者以资产的均值作为对投资收益的计量，以资产回报的方差作为对投资风险的计量，市场中所有投资者已知一个相同的市场信息集，在此情况下，投资者从众多资产组合均值-方差集中寻求帕累托最优解。

第一章第一章允许卖空的均值允许卖空的均值-方差投资方差投资组合理论组合理论n符号及说明：

n假设Ri表示第i种风险资产的收益率（随机变量），其均值ri=E（Ri），协方差矩阵为G=（ij）nn，ij=COV（Ri,Rj）,i,j=1,2,n。

xi表示第i种风险资产的投资比例，i=1,2,n。

并记R=（R1,R2,Rn），r=（r1,r2,rn），x=（x1,x2,xn），并用e表示分量全为1的n维列向量。

既然x表示投资组合的比例向量，它满足约束条件：

ex=1第一章第一章允许卖空的均值允许卖空的均值-方差投资方差投资组合理论组合理论n符号及说明：

n投资组合的期望收益率和方差可以分别表示为nrp=rxn和n2p=xGx1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n允许卖空的均值-方差投资组合模型（简称M-V模型）为nminxGx/2n（1.1）1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n或nmaxr（x）=rxn1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n模型（1.1）表示在满足投资者的期望收益率为一个常数rp、各资产投资比例之和为1，投资组合的方差（风险）最小。

n应用拉格朗日（Larange）乘数法对模型（l.1）求解,令n（1.2）1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n最优解的一阶条件为nn（1.3）1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n由（1.3）式中的第一式，可得到最优解n（1.4）1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n将（1.4）式中的第二式和第三式，得n（1.5a）n（1.5b）1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n其中n（1.6）n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n解方程（1,5），得n（1.7）n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n将（1.7）代入（1.4），可得nn则nn（1.8）n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n由（l.8）式可知，最优方差组合在（p,rp）空间中表现为一双曲线,如图1-1所示。

nnnFprp图1一l标准均值一方差模型的最小方差集合及有效边界上的最优资产选择1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n在图中F（p,rp）点是一个特殊的位置，它是所有可行组合的下边缘和上边缘的交汇点，该组合是所有可行组合中方差最小的，因而称为全局最小方差组合。

由nn（1.9）nn1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n可以求出nn将代入（1.7）式,得n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n即全局最小方差资产组合是n（1.10）n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n对于有效边界而言，,。

因此，它为一条上凸曲线。

有效边界的这一凸性在资本市场定价理论中极其重要。

nn1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n投资者在有效边界上具体选择那个投资组合，依赖于他的风险回避程度，而这种程度取决于投资者风险一收益效用函数的性质和形态。

按照新古典经济学的分析,我们可以用投资者的均值一方差无差异曲线（IDC）来描述风险和收益率之间的相互替代关系。

图1.1中左上部分的曲线表示某个投资者的无差异曲线族,在某一条曲线上进行风险和收益率相互替代对该投资者而言将是毫无差别的。

n1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n由于假设投资者是风险回避的，其效用会随着期望收益率的增加而增加,但增加量却会不断减小。

因此，无差异曲线族是将向右上倾斜的，且随着期望收益率的增加越来越陡峭。

不同的无差异曲线之间,越靠近右上方位的曲线，意味着越高的效用水平。

一旦确定了这些无差异曲线，则最优投资组合将是无差异曲线族与有效边界的切点，这一切点是所有可行的投资组合中投资者效用最大的投资组合。

1.1只含有风险资产的均值只含有风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n一般而言，不同的投资者有不同的风险偏好结构，投资者的风险回避程度越高，无差异曲线越靠近期望收益率坐标轴。

因而，高风险回避的投资者将选择有效边界左下部分所代表的投资组合以回避风险，而低风险回避的投资者将选择有效边界右上部分所代表的投资组合以获得更高的投资收益。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n标准均值一方差的资产组合问题没有考虑无风险资产,但现实经济中可以将市场利率和通货膨胀不变情况下的国库券近似为无风险资产,这种无风险资产的存在对资产组合问题将产生两方面的重要影响。

一方面投资于无风险资产表明投资者可以获得某一确定的收益率rf,而不承担任何风险,即f=0。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n另一方面,在投资者的资产组合中,可能购买了一定数量的无风险资产,这时称为贷出了无风险资产;也可能卖空了一定数量的无风险资产,这时称为借入了无风险资产。

现在我们讨论无风险资产进入组合管理以后将对资产选择造成的影响。

n令xf表示无风险资产在组合资产中的比例系数，xf=1ex。

此时的资产组合问题为1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化（1.11）nn应用拉格朗日（Lagrange）乘数法对（l.11）式求解,令n（1.12）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n最优解的一阶条件为（1.13）由（1.13）第一式可得（1.14）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n将（1.14）代入（1.13）第二式可得nn（1.15）n将（1.14）和（1.15）代入方差公式n（1.16）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化由（1.16）可知,最优方差组合在（p,rp）空间中表现为相交于（0,Rf）两条射线曲线，如图1-2。

nFM0rfprp图1-2含有无风险资产投资组合的有效前沿1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化存在无风险资产情况下的资产组合问题也可以是以下的夏普指数（Sharpeindex）模型nn（1.17）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化实质上（1.17）式中的目标函数相当于图1-2有效边界的斜率，最大化表明投资者的投资目标是最大化资产组合单位风险的超额收益，这等同于投资者在给定的收益水平上最小化资产组合的风险。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n所有的最小方差投资组合可以由无风险资产与不包括任何无风险资产的所谓“切点”资产组合x=（x0f,xM）构成，其中nx0f=0，（1.18）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化这一切点组合位于无风险资产存在的有效边界与只含有风险资产的有效边界的相切处。

其均值和方差分别为,（1.19）1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n上述性质称为无风险资产存在情况下的“两基金分离定理”或“货币分离定理”。

该定理表明：

在无风险资产存在的情况下，投资者通过投资由无风险资产和切点组合构成的资产组合就可以实现均值一方差有效。

n切点组合具有特别重要的作用，首先，切点组合是一个风险资产组合，既未借入也未贷出无风险资产，这个风险资产组合在缺乏无风险资产时本身就是一个有效组合，现在仍然是有效组合；1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n其次，将无风险资产纳入投资组合后，所有有效组合将由无风险资产和风险资产的切点组合来产生，无论投资者持有何种风险态度，拥有风险资产的最优组合均是切点组合。

这时风险态度将体现在不同投资者在有限边界上的不同位置，而这些位置均由无风险资产和风险资产的切点组合来产生。

如果投资者是风险回避型的，即不愿意承担太大风险，可以同时适量买入无风险资产和风险资产的切点组合，即处于图2中rf和M之间的某个位置。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n如果投资者是风险偏好型的，则可以借入无风险资产并将收入连同自有资金投资于风险资产的切点组合，从而获得有效边界在切点组合上的某个适当位置。

可见，切点组合极大地简化了对投资组合地选择，投资者只需决定借入和贷出无风险资产，而将剩余的资金投入切点组合即可实现对风险的控制，实现愿意承担多大风险的决策与具体确定持有各种风险资产的比例分离开来.这一特性是标准CAPM的一个重要基础。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n通过上述分析，我们可以看出，在允许卖空的情况下，引入无风险资产使得新的可行域的边界线性化了.当不允许卖空时，风险资产的切点组合仅对风险回避的投资者起作用，而那些希望想通过承担更多风险来获得更高收益的风险偏好的投资者，由于受到卖空约束，只能从切点组合出发沿原来的风险资产有效边界选择适当的具有更高风险和更高的期望收益率的其他有效组合，即此时切点组合已不是风险偏好者的最优选择，投资组合中也已不再含有无风险资产。

1.2含有无风险资产的均值含有无风险资产的均值-方差投方差投资组合优化资组合优化n由此可见，不允许卖空条件下，无风险资产的引入只会使有效边界部分线性化，而有效边界的其余部分仍是不允许无风险资产借入和贷出的有效边界。

n现实经济中，无风险资产的借入利率往往会高于无风险资产的贷出利率。

此时的有效边界将允许贷出无风险资产的有效边界、不允许无风险资产借入和贷出的有效边界、以及允许借入无风险资产的有效边界三部分构成，如图1-3所示。

0M1rf1FTM2prp图1-3无风险资产借入利率高于贷出利率的有效边界