关系数据库的查询与优化.docx

关系数据库的查询与优化.docx

《关系数据库的查询与优化.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关系数据库的查询与优化.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

关系数据库的查询与优化

２．４　查询优化

关系系统和关系模型既密切相关，又是不相同的概念。

一般支持关系模型的ＤＢＭＳ称之

为关系系统，但是一个实际的关系数据库管理系统，不必苛求它完全支持关系模型，所以要

讨论关系系统的最小要求和分类。

对于一个给定的查询问题会有多种等价的实现办法，能否

找出一个与之等价而操作时间又少的表达式，换句话说，究竟哪一种方法是最优的？

这就是

查询优化要讨论的问题。

２．４．１　关系代数表达式的优化问题

查询处理：

是指从数据库中提取数据的一系列活动。

这一系列活动包括：

将高级数据库

语言表示的查询语句翻译成为能在文件系统这一物理层次上实现的表达式，为优化查询进

行各种转换，以及查询的实际执行。

查询处理的代价：

通常取决于磁盘的访问，磁盘的访问比内存访问速度要慢。

对于一个

给定的查询，可以有许多可能的处理策略，复杂查询更是如此。

就所需的磁盘访问次数而言，

策略好坏差别很大，有时甚至相差几个数量级。

所以，多花一点时间选择一个较好的查询策

略是很值得的。

查询优化：

是为了查询选择最有效的查询计划的过程。

查询优化一方面是在关系代数级

进行优化，要做的是力图找出与给定表达式等价，但执行效率更高的一个表达式。

查询优化

的另一方面涉及查询语句处理的详细策略的选择，例如选择执行运算所采用的具体算法，以

及将使用的特定索引，等等。

一个查询往往会有许多实现办法，关键是如何找出一个与之等价的且操作时间又少的

表达式。

下面将专门讨论这个问题。

２．４．２　关系代数表达式的等价变换规则

关系系统的查询优化既是关系数据库管理系统实现的关键技术，又是关系系统的优点。

第２章　关系数据库·４３·

因为，用户只要提出“干什么”，不必指出“怎么干”。

在关系代数表达式中需要指出若干关系的操作步骤，问题是怎样做才能保证省时、省空

间、效率高，这就是查询优化的问题。

需要注意的是，在关系代数运算中，笛卡儿积、连接运算最费时间和空间，究竟应采用什

么样的策略，才能节省时间和空间？

这就是优化的准则。

１．优化的准则

（１）提早执行选取运算。

对于有选择运算的表达式，应优化成尽可能先执行选择运算的

等价表达式，以得到较小的中间结果，减少运算量和从外存读块的次数。

（２）合并乘积与其后的选择运算为连接运算。

在表达式中，当乘积运算后面是选择运算

时，应该合并为连接运算，使选择与乘积一道完成，以避免做完乘积后，需再扫描一个大的乘

积关系进行选择运算。

（３）将投影运算与其后的其他运算同时进行，以避免重复扫描关系。

（４）将投影运算和其前后的二目运算结合起来，使得没有必要为去掉某些字段再扫描

一遍关系。

（５）在执行连接前对关系适当地预处理，就能快速地找到要连接的元组。

方法有两种：

索引连接法、排序合并连接法。

（６）存储公共子表达式。

对于有公共子表达式的结果应存于外存（中间结果），这样，当

从外存读出它的时间比计算的时间少时，就可节约操作时间。

２．关系代数表达式的等价变换规则

优化的策略均涉及关系代数表达式，所以讨论关系代数表达式的等价变换规则显得十

分重要。

常用的等价变换规则有如下１０种：

１）连接、笛卡儿积交换率

设Ｅ１和Ｅ２是关系代数表达式，Ｆ是连接运算的条件，则有

　　Ｅ１×Ｅ２≡Ｅ２×Ｅ１

Ｅ１　　Ｅ２≡Ｅ２　　Ｅ１

ＦＦ

２）连接、笛卡儿积结合率

设Ｅ１，Ｅ２，Ｅ３是关系代数表达式，Ｆ１，Ｆ２是连接运算的条件，则有

　　（Ｅ１×Ｅ２）×Ｅ３≡Ｅ１×（Ｅ２×Ｅ３）

　　（Ｅ１　　Ｅ２）　　Ｅ３≡Ｅ１　　（Ｅ２　　Ｅ３）

Ｆ１Ｆ２Ｆ１Ｆ２

３）投影的串接定律

设Ｅ是关系代数表达式，Ａ１，…，Ａｎ和Ｂ１，…，Ｂｍ是属性名，且Ｂ１，…，Ｂｍ是Ａ１，…，Ａｎ的子

集。

则有

　　πＡ１，…，Ａｎ（πＢ１，…，Ｂｍ（Ｅ））≡πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ）

该规则的目的是使一些投影消失。

４）选择的串接定律

设Ｅ是关系代数表达式，Ｆ１，Ｆ２是选取条件表达式，选择的串接定律说明选择条件可以

合并，则有

　　σＦ１（σＦ２（Ｅ））≡σＦ１∧Ｆ２（Ｅ）·４４·数据库原理及应用

５）选择与投影的交换律

设Ｅ是关系代数表达式，Ｆ是选取条件表达式，并且只涉及Ａ１，…，Ａｎ属性，则有

　　σＦ（πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ））≡πＡ１，…，Ａｎ（σＦ（Ｅ））

若Ｆ中有不属于Ａ１，…，Ａｎ属性，Ｂ１，…，Ｂｍ，那么有更一般的规则：

　　σＦ（πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ））≡πＡ１，…，Ａｎ（σＦ（πＡ１，…，ＡｎＢ１，…，Ｂｍ（Ｅ）））

该规则可将投影分裂为两个，使得其中的一个可能被移到树的叶端。

６）选择与笛卡儿积的交换律

若Ｆ涉及的都是Ｅ１中的属性，则

　　σＦ（Ｅ１×Ｅ２）≡σＦ（Ｅ１）×Ｅ２

如果Ｆ＝Ｆ１∧Ｆ２，并且，Ｆ１只涉及Ｅ１中的属性，Ｆ２只涉及Ｅ２中的属性，则有

　　σＦ（Ｅ１×Ｅ２）≡σＦ１（Ｅ１）×σＦＥ

２２

７）选择与并的交换律

设Ｅ＝Ｅ１∪Ｅ２，Ｅ１，Ｅ２有相同的属性，则

　　σＦ（Ｅ１∪Ｅ２）≡σＦ（Ｅ１）∪σＦ（Ｅ２）

８）选择与差的交换律

设Ｅ１，Ｅ２有相同的属性，则

　　σＦ（Ｅ１－Ｅ２）≡σＦ（Ｅ１）－σＦＥ２

９）投影与笛卡儿积的交换律

设Ｅ１，Ｅ２是两个关系表达式，Ａ１，…，Ａｎ是Ｅ１中的属性，Ｂ１，…，Ｂｍ是Ｅ２中的属性，则

　　πＡ１，…，Ａｎ，Ｂ１，Ｋ，Ｂｍ（Ｅ１×Ｅ２）≡πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ１）×πＢ１，Ｋ，Ｂｍ（Ｅ２）

１０）投影与并的交换律

设Ｅ１，Ｅ２有相同的属性，则

πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ１∪Ｅ２）≡πＡ１，…，Ａｎ（Ｅ１）∪πＡ１，…，Ａｍ（Ｅ２）

２．４．３　关系代数表达式的优化算法

算法：

关系代数表达式的优化。

输入：

一个关系代数表达式的语法树。

输出：

计算该表达式的程序。

方法：

（１）利用规则４将形如σＦ１∧Ｆ２∧…Ｆｎ（Ｅ）变换为

　　σＦ１（σＦ２ＫσＦｎ（Ｅ））…）

（２）对每一个选择，利用规则４～８尽可能将它移到树的叶端。

（３）对每一个投影，利用规则３，５，９，１０中的一般形式尽可能将它移到树的叶端。

（４）利用规则３～５将选择和投影的串接合并成单个选择、单个投影或一个选择后跟一

个投影。

使多个选择或投影能同时进行，或在一次扫描中全部完成。

（５）将上述得到的语法树的内节点分组。

每一双目运算（×，∪，　　，－）和它所有的直

接祖先为一组（这些直接祖先是σ，π运算）。

如果其后代直到叶子全部是单目运算，则将它

并入该组。

（６）生成一个程序，每组节点的计算是程序中的一步。

各步的顺序是任意的，只要保证第２章　关系数据库·４５·

任何一组的计算不会在它的后代组之前计算。

【例２．１２】　供应商数据库中有供应商、零件、项目、供应４个基本表（关系）：

　　Ｓ（Ｓｎｏ，Ｓｎａｍｅ，Ｓｔａｔｕｓ，Ｃｉｔｙ）

Ｐ（Ｐｎｏ，Ｐｎａｍｅ，Ｃｏｌｏｒ，Ｗｅｉｇｈｔ）

Ｊ（Ｊｎｏ，Ｊｎａｍｅ，Ｃｉｔｙ）

ＳＰＪ（Ｓｎｏ，Ｐｎｏ，Ｊｎｏ，Ｑｔｙ）

用户有一查询语句：

检索使用上海供应商生产的红色零件的工程号。

（１）试写出该查询的关系代数表达式。

（２）试写出查询优化的关系代数表达式。

（３）画出该查询初始的关系代数表达式的语法树。

（４）使用优化算法，对语法树进行优化，并画出优化后的语法树。

解：

（１）该查询的关系代数表达式如下：

　　πＪｎｏ（σＣｔｉｙ＝上海∧Ｃｏｌｏｒ＝红（Ｓ　　ＳＰＪ　　Ｐ））

（２）查询优化的关系代数表达式如下：

　　πＪｎｏ（πＳｎｏ（σＣｔｉｙ＝上海（Ｓ））　　πＳｎｏ，Ｐｎｏ，Ｊｎｏ（ＳＰＪ）　　Ｊｏｐｎｏ（σＣｏｌｏｒ＝红（Ｐ）））

（３）画出该查询初始的关系代数表达式的语法树如图２－２１所示。

（４）使用优化算法，对语法树进行优化，并画出优化后的语法树如图２－２２所示。

　图２－２１　优化前图２－２２　优化后　　

２．５　关系数据库的规范化理论

在关系模型中，一个数据库模式是关系模式的集合。

要保证构造的关系既能准确地反应

现实世界，又有利于应用和具体的操作。

规范化理论研究的是关系模式中各属性之间的依赖

关系及其对关系模式性能的影响，提供判断关系模式优劣的理论标准，预测可能出现的问

题，提供了自动产生各种模式的算法。

因此，它是设计人员的有力工具和理论基础。

关系数据

库设计理论的核心是数据间的函数依赖，衡量的标准是关系规范化的程度及分解的无损连

接和保持函数依赖性。

关系数据库设计的目标是生成一组合适的、性能良好的关系模式，以·４６·数据库原理及应用

减少系统中信息存储的冗余度，但又可方便地获取信息。

２．５．１　函数依赖

数据依赖是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系，是现

实世界属性间联系和约束的抽象，是数据内在的性质，是语义的体现。

函数依赖则是一种最

重要、最基本的数据依赖。

１．函数依赖的定义

【定义２．４】　设Ｒ（Ｕ）是属性集Ｕ上的关系模式，Ｘ，Ｙ是Ｕ的子集。

若对Ｒ（Ｕ）的任何

一个可能的关系ｒ，ｒ中不可能存在两个元组在Ｘ上的属性值相等，而在Ｙ上的属性值不等，

则称Ｘ函数决定Ｙ或Ｙ函数依赖于Ｘ，记作：

Ｘ→Ｙ。

注意：

函数依赖Ｘ→Ｙ的定义要求关系模式Ｒ的任何可能的ｒ都满足上述条件。

因此不

能仅考察关系模式Ｒ在某一时刻的关系ｒ，就断定某函数依赖成立。

例如，关系模式Ｓｔｕｄｅｎｔ（Ｓｎｏ，Ｓｎａｍｅ，ＳＤ，Ｓａｇｅ，Ｓｅｘ）可能在某一时刻，Ｓｔｕｄｅｎｔ的关系ｒ

中每个学生的年龄都不同，也就是说没有两个元组在Ｓａｇｅ属性上取值相同，而在Ｓｎｏ属性上

取值不同，但我们决不可据此就断定Ｓａｇｅ→Ｓｎｏ。

很有可能在某一时刻，Ｓｔｕｄｅｎｔ的关系ｒ中

有两个元组在Ｓａｇｅ属性上取值相同，而在Ｓｎｏ属性上取值不同。

函数依赖是语义范畴的概念，我们只能根据语义来确定函数依赖。

例如，在没有同名的

情况下，Ｓｎａｍｅ→Ｓａｇｅ，而在有同名的情况下，这个函数依赖就不成立了。

非平凡的函数依赖：

如果Ｘ→Ｙ，但Ｙ　Ｘ，则称Ｘ→Ｙ是非平凡的函数依赖。

一般情况

下总是讨论非平凡的函数依赖。

平凡的函数依赖：

如果Ｘ→Ｙ，但Ｙ　Ｘ，则称Ｘ→Ｙ是平凡的函数依赖。

【定义２．５】　在Ｒ（Ｕ）中，如果Ｘ→Ｙ，并且对于Ｘ的任何一个真子集Ｘ′，都有Ｘ′不能

ｆ

决定Ｙ，则称Ｙ对Ｘ完全函数依赖，记做：

ＸＹ。

ｐ

如果Ｘ→Ｙ，但Ｙ不完全函数依赖于Ｘ，则称Ｙ对Ｘ部分函数依赖，记做：

ＸＹ。

部分

函数依赖也称局部函数依赖。

【定义２．６】　在Ｒ（Ｕ，Ｆ）中，如果Ｘ→Ｙ，Ｙ　Ｘ，Ｙ→／Ｘ，Ｙ→Ｚ，则称Ｚ对Ｘ传递函数

依赖。

【例２．１３】　在关系模式ＳＣ（Ｓｎｏ，Ｃｎｏ，Ｇｒａｄｅ，Ｃｒｅｄｉｔ）中，

　　ｆ

（Ｓｎｏ，Ｃｎｏ）Ｇｒａｄｅ　　　　成绩完全函数依赖于学号和课程号

　　Ｃｎｏ→Ｃｒｅｄｉｔ学分函数依赖于课程号

　　ｐ

（Ｓｎｏ，Ｃｎｏ）Ｃｒｅｄｉｔ学分部分函数依赖于学号

在关系模式Ｓｔｕｄｅｎｔ（Ｓｎｏ，Ｓｎａｍｅ，ＳＤ，ＳＤｎａｍｅ，Ｓａｇｅ，Ｓｅｘ）中，

　　Ｓｎｏ→Ｓｎａｍｅ，Ｓｎｏ→Ｓａｇｅ

又因为Ｓｎｏ→ＳＤ，ＳＤ→／Ｓｎｏ，ＳＤ→ＳＤｎａｍｅ，所以可以得出Ｓｎｏ→ＳＤｎａｍｅ，即系名传递

依赖于学号。

２．码

ｆ

【定义２．７】　设Ｋ为Ｒ（Ｕ，Ｆ）中的属性或属性的组合，若ＫＵ，且对于Ｋ的任何一第２章　关系数据库·４７·

个真子集Ｋ，都有Ｋ不能决定Ｕ，则Ｋ为Ｒ的候选码（Ｃａｎｄｉｄａｔｅｋｅｙ），若有多个候选码，则选

一个作为主码（Ｐｒｉｍａｒｙｋｅｙ）。

候选码通常也称候选关键字。

包含在任何一个候选码中的属性叫做主属性（Ｐｒｉｍｅａｔｔｒｉｂｕｔｅ），否则叫做非主属性

（Ｎｏｎｐｒｉｍｅａｔｔｒｉｂｕｔｅ）。

【例２．１４】　关系模式ＣＳＺ（ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ），其属性组上的函数依赖集为

　　Ｆ＝｛（ＣＩＴＹ，ＳＴ）→ＺＩＰ，ＺＩＰ→ＣＩＴＹ｝

即城市、街道决定邮政编码，邮政编码决定城市。

容易看出，（ＣＩＴＹ，ＳＴ）和（ＳＴ，ＺＩＰ）是

两个候选码。

ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ都是主属性。

【定义２．８】　若Ｒ（Ｕ，Ｆ）中的属性或属性组Ｘ非Ｒ的码，但Ｘ是另一个关系的码，则称

Ｘ是Ｒ的外码（Ｆｏｒｅｉｇｎｋｅｙ）。

【定义２．９】　若关系模式Ｒ（Ｕ）中，Ｘ，Ｙ，Ｚ是Ｕ的子集，并且Ｚ＝Ｕ－Ｘ－Ｙ。

当且仅当

对Ｒ（Ｕ）的任何一个关系ｒ，给定一对（Ｘ，Ｚ）值，有一组Ｙ的值，这组值仅仅决定于Ｘ值而与

Ｚ值无关，则称“Ｙ多值依赖于Ｘ”或“Ｘ多值决定Ｙ”成立。

记为Ｘ→→Ｙ。

多值依赖具有如下６条性质：

（１）多值依赖具有对称性。

即若Ｘ→→Ｙ，则Ｘ→→Ｚ，其中Ｚ＝Ｕ－Ｘ－Ｙ。

（２）多值依赖的传递性。

即若Ｘ→→Ｙ，Ｙ→→Ｚ，则Ｘ→→Ｚ－Ｙ。

（３）函数依赖可以看成是多值依赖的特殊情况。

（４）若Ｘ→→Ｙ，Ｘ→→Ｚ，则Ｘ→→ＹＺ。

（５）若Ｘ→→Ｙ，Ｘ→→Ｚ，则Ｘ→→ＹＺ。

（６）若Ｘ→→Ｙ，Ｘ→→Ｚ，则Ｘ→→Ｚ－Ｙ。

３．逻辑蕴涵与Ａｒｍｓｔｒｏｎｇ公理系统

【定义２．１０】　设Ｒ（Ｕ，Ｆ）是一个关系模式，Ｘ，Ｙ是Ｕ中的属性组，若在Ｒ（Ｕ，Ｆ）的任

何一个满足Ｆ中函数依赖的关系ｒ上，都有函数依赖Ｘ→Ｙ成立，则称Ｆ逻辑蕴含Ｘ→Ｙ。

在关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ）中为Ｆ所逻辑蕴含的函数依赖的全体称做Ｆ闭包，记做Ｆ＋。

例如，关系模式Ｓｔｕｄｅｎｔ（Ｓｎｏ，Ｓｎａｍｅ，Ａｇｅ，ＳＤ，ＳＤｎａｍｅ），其属性组上的函数依赖集为Ｆ

＝｛Ｓｎｏ→Ｓｎａｍｅ，Ｓｎｏ→Ｓａｇｅ，Ｓｎｏ→ＳＤ，ＳＤ→ＳＤｎａｍｅ｝，Ｓｎｏ→ＳＤｎａｍｅ就是Ｆ所逻辑蕴

含的一个函数依赖。

函数依赖的公理系统（Ａｒｍｓｔｒｏｎｇ公理系统）：

设关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ），其中Ｕ为属性集，Ｆ

是Ｕ上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：

Ａ１自反律：

若Ｙ　Ｘ　Ｕ，则Ｘ→Ｙ为Ｆ所蕴涵。

Ａ２增广律：

若Ｘ→Ｙ为Ｆ所蕴涵，且Ｚ　Ｕ，则ＸＺ→ＹＺ为Ｆ所蕴涵。

Ａ３传递律：

若Ｘ→Ｙ，Ｙ→Ｚ为Ｆ所蕴涵，则Ｘ→Ｚ为Ｆ所蕴涵。

注意：

由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，事实上自反律的应用只依赖于

Ｕ，不依赖于Ｆ。

【例２．１５】　利用Ａｒｍｓｔｒｏｎｇ公理系统的推理规则，对于【例２．１４】的关系模式ＣＳＺ的

已知条件，证明（ＳＴ，ＺＩＰ）→（ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ）。

证明：

根据题意不难看出只要证明（ＳＴ，ＺＩＰ）是—个候选码即可，证明步骤如下：

因为ＺＩＰ→ＣＩＴＹ　　　　　　　　　　（Ｆ中已给出）

所以（ＳＴ，ＺＩＰ）→（ＣＩＴＹ，ＳＴ）（利用增广率，即在函数依赖的两端加ＳＴ）·４８·数据库原理及应用

（ＳＴ，ＺＩＰ）→（ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ）（用增广率，加ＺＩＰ）

严格地说，要证明（ＳＴ，ＺＩＰ）是候选码，还需要说明ＳＴ→（ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ）和ＺＩＰ→

（ＣＩＴＹ，ＳＴ，ＺＩＰ）都不在Ｆ＋中。

Ａｒｍｓｔｒｏｎｇ公理系统是正确的、完备的，即由Ｆ出发根据推理规则推导出的函数依赖一

定为Ｆ所逻辑蕴涵。

而且所逻辑蕴涵的每一个函数依赖必定可以由Ｆ出发根据推理规则推

导出来。

根据上述３条推理规则又可推出下述３条推理规则：

Ａ４合并规则：

若Ｘ→Ｙ，Ｘ→Ｚ，则Ｘ→ＹＺ为Ｆ所蕴涵。

Ａ５伪传递率：

若Ｘ→Ｙ，ＷＹ→Ｚ，则ＸＷ→Ｚ为Ｆ所蕴涵。

Ａ６分解规则：

若Ｘ→Ｙ，Ｚ　Ｙ，则Ｘ→Ｚ为Ｆ所蕴涵。

引理：

Ｘ→Ａ１Ａ２…Ａｋ成立的充分必要的条件是Ｘ→Ａｉ成立（ｉ＝１，２，３，…，ｋ）。

证明略。

４．属性集的闭包Ｘ＋

【定义２．１１】　设Ｆ为属性集Ｕ上的一组函数依赖，Ｘ　Ｕ，Ｘ＋

Ｆ＝｛Ａ｜Ｘ→Ａ能由Ｆ根

据Ａｒｍｓｔｒｏｎｇ公理导出｝，则称Ｘ＋

Ｆ为属性集Ｘ关于函数依赖集Ｆ的闭包。

算法：

求属性的闭包Ｘ＋＋

Ｆ。

输入：

Ｘ，Ｆ。

输出：

ＸＦ。

步骤：

（１）令Ｘ（０）＝Ｘ，Ｉ＝０。

（２）求Ｂ，Ｂ＝｛Ａ｜（　ｖ）（　ｗ）（Ｖ→Ｗ∈Ｆ∧Ｖ　Ｘ（ｉ）∧Ａ∈Ｗ）｝。

（３）Ｘｉ＋１＝ＢＹＸ（ｉ）。

（４）判断Ｘ（ｉ＋１）＝Ｘ（ｉ）。

（５）若相等，或Ｘ（ｉ）＝Ｕ，则Ｘ（ｉ）为属性集Ｘ关于函数依赖集Ｆ的闭包，且算法终止。

（６）若不相等，则ｉ＝ｉ＋１，返回（２）。

【例２．１６】　已知关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ），Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝，Ｆ＝｛Ａ→Ｂ，Ｄ→Ｃ，ＢＣ→Ｅ，

ＡＣ→Ｂ｝，求（ＡＥ）＋＋

Ｆ、（ＡＤ）Ｆ。

解：

（１）求（ＡＥ）＋（０）

Ｆ，根据上述算法，设Ｘ＝ＡＥ，

计算Ｘ（１）。

逐一扫描Ｆ中的各个函数依赖，找到左部为Ａ、Ｅ或ＡＥ的函数依赖，找到一个

Ａ→Ｂ。

故有Ｘ（１）＝ＡＥＹＢ。

计算Ｘ（２）。

逐一扫描Ｆ中的各个函数依赖，找到左部为ＡＢＥ或ＡＢＥ子集的函数依赖，因

为找不到这样的函数依赖，所以，Ｘ（１）＝Ｘ（２）。

算法终止，（ＡＥ）＋

Ｆ＝ＡＢＥ。

（２）求（ＡＤ）＋（０）

Ｆ，由上述算法，设Ｘ＝ＡＤ，

计算Ｘ（１）。

逐一扫描Ｆ中的各个函数依赖，找到左部为Ａ、Ｄ或ＡＤ的函数依赖，找到两个

Ａ→Ｂ，Ｄ→Ｃ函数依赖。

故有Ｘ（１）＝ＡＤＹＢＣ。

计算Ｘ（２）。

逐一扫描Ｆ中的各个函数依赖，找到左部为ＡＤＢＣ或ＡＤＢＣ子集的函数依赖，

得到两个ＢＣ→Ｅ，ＡＣ→Ｂ函数依赖。

故有Ｘ（２）＝ＡＢＣＤＹＥ。

因为Ｘ（２）＝ＡＢＣＤＥ＝Ｕ，所以

算法终止，（ＡＤ）＋

Ｆ＝ＡＢＣＤＥ。

５．最小函数依赖集

【定义２．１２】　一个关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ）上的两个依赖集Ｆ和Ｇ，如果Ｆ＋＝Ｇ＋，则称Ｆ和

Ｇ是等价的，记做Ｆ≡Ｇ。

第２章　关系数据库·４９·

若Ｆ≡Ｇ，则称Ｇ是Ｆ的一个覆盖，反之亦然。

两个等价的函数依赖集在表达能力上是完

全相同的。

【定义２．１３】　如果函数依赖集Ｆ满足下列条件，则称Ｆ为最小函数依赖集或最小覆盖：

（１）Ｆ中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性。

（２）Ｆ中不存在这样一个函数依赖Ｘ→Ａ，使得Ｆ与Ｆ－｛Ｘ→Ａ｝等价。

（３）Ｆ中不存在这样一个函数依赖Ｘ→Ａ，Ｘ有真子集Ｚ使得Ｆ－｛Ｘ→Ａ｝｛Ｚ→Ａ｝与

Ｆ等价。

算法：

计算最小函数依赖集。

输入：

一个函数依赖集。

输出：

Ｆ的一个等价的最小函数依赖集Ｇ。

步骤：

（１）用分解的规则，使Ｆ中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性。

（２）去掉多余的函数依赖。

逐一检查Ｆ中的各函数依赖Ｘ→Ｙ，并将Ｘ→Ｙ从Ｆ中去掉，

然后在剩下的函数依赖集Ｆ中求属性Ｘ的闭包Ｘ＋＋

Ｆ，看ＸＦ是否包含Ｙ，若是，则去掉Ｘ→Ｙ，

否则不能去掉。

依次做下去，直到找不到冗余的函数依赖。

（３）去掉各依赖左部多余的属性。

一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。

例

如ＸＹ→Ａ，若要判Ｙ为多余的，则以Ｘ→Ａ代替ＸＹ→Ａ，并判断是否等价。

若Ａ∈Ｘ＋

Ｆ，则Ｙ

是多余属性，可以去掉。

【例２．１７】　已知关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ），Ｕ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｇ｝，Ｆ＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→ＥＧ，Ｃ

→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，ＣＧ→ＢＤ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→ＡＧ｝，请将Ｆ化为最小函数依赖集。

解：

（１）利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得

Ｆ＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，

ＣＧ→Ｂ，ＣＧ→Ｄ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ａ，ＣＥ→Ｇ｝

（２）去掉Ｆ中多余的函数依赖，具体做法是，从第一个函数依赖开始将它（假定它为ＡＢ

→Ｃ）从Ｆ中去掉，剩下的函数依赖Ｆ１求（ＡＢ）＋＋

Ｆ１的闭包，看（ＡＢ）Ｆ１是否含Ｃ，若包含Ｃ，则

ＡＢ→Ｃ为冗余函数依赖，则去掉它，否则不去。

依此类推，直到能满足定义最小依赖的第二

个条件。

故有：

①设ＡＢ→Ｃ为冗余的函数依赖，则先去掉Ｆ中的ＡＢ→Ｃ，得

Ｆ１＝｛Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，ＣＧ→Ｂ，

ＣＧ→Ｄ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ａ，ＣＥ→Ｇ｝

因为从Ｆ１中找不到左部为ＡＢ或ＡＢ子集的函数依赖，所以（ＡＢ）＋

Ｆ１＝ＡＢ。

又因为

Ｃ□（ＡＢ）＋

Ｆ１，所以ＡＢ→Ｃ非冗余的函数依赖，不能去掉。

②设ＣＧ→Ｂ为冗余的函数依赖，则去掉Ｆ中的ＣＧ→Ｂ，得

Ｆ２＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，

ＣＧ→Ｄ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ａ，ＣＥ→Ｇ｝

求（ＣＧ）＋

Ｆ２。

设Ｘ（０）＝ＣＧ，

计算Ｘ（１）。

逐一扫描Ｆ２中的各个函数依赖，找到左部为Ｃ、Ｇ或ＣＧ的函数依赖，得到一

个Ｃ→Ａ函数依赖。

故有Ｘ（１）＝ＣＧＡ。

计算Ｘ（２）。

逐一扫描Ｆ２中的各个函数依赖，找到左部为ＣＧＡ或ＣＧＡ子集的函数依赖，得·５０·数据库原理及应用

到一个ＣＧ→Ｄ函数依赖。

故有Ｘ（２）＝ＡＣＤＧ。

计算Ｘ（３）。

逐一扫描Ｆ２中的各个函数依赖，找到左部为ＡＣＤＧ或ＡＣＤＧ子集的函数依

赖，得到两个ＡＣＤ→Ｂ，Ｄ→Ｅ函数依赖。

故有Ｘ（３）＝ＡＢＣＤＥＧ。

因为Ｘ（３）＝ＡＢＣＤＥＧ＝Ｕ，算法终止，（ＣＧ）＋

Ｆ２＝ＡＢＣＤＥＧ。

所以ＣＧ→Ｂ为冗余的函数依赖，应从Ｆ中去掉。

③因为ＣＧ→Ｂ已从Ｆ中去掉，所以应扫描Ｆ２，对Ｆ２中设ＣＧ→Ｄ为冗余的函数依赖，

则去掉Ｆ２中的ＣＧ→Ｄ，得

Ｆ３＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ａ，ＣＥ→Ｇ｝

求（ＣＧ）＋

Ｆ３。

设Ｘ（０）＝ＣＧ，

计算Ｘ（１）。

逐一扫描Ｆ３中的各个函数依赖，找到左部为Ｃ、Ｇ或ＣＧ的函数依赖，得到一

个Ｃ→Ａ函数依赖。

故有Ｘ（１）＝ＡＣＧ。

计算Ｘ（２）。

逐一扫描Ｆ３中的各个函数依赖，找到左部为ＡＣＧ或ＡＣＧ子集的函数依赖，因

为找不到这样的函数依赖。

故有Ｘ（２）＝Ｘ（１），算法终止。

（ＣＧ）＋

Ｆ３＝ＡＣＧ。

因为ＡＣＧＤ　Ｄ，所以ＣＧ→Ｄ非冗余的函数依赖，不能从Ｆ３中去掉。

④继续扫描Ｆ２，设ＣＥ→Ａ为冗余的函数依赖，则去掉ＣＥ→Ａ，得

Ｆ４＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，ＣＧ→Ｄ，ＡＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ｇ｝

求（ＣＥ）＋

Ｆ４。

设Ｘ（０）＝ＣＥ，

计算Ｘ（１）。

逐一扫描Ｆ４中的各个函数依赖，找到左部为Ｃ、Ｅ或ＣＥ的函数依赖，得到一

个Ｃ→Ａ函数依赖。

故有Ｘ（１）＝ＡＣＥ。

计算Ｘ（２）。

逐一扫描Ｆ４中的各个函数依赖，找到左部为ＡＣＥ或ＡＣＥ子集的函数依赖，得

到一个ＣＥ→Ｇ函数依赖。

故有Ｘ（２）＝ＡＣＥＧ。

计算Ｘ（３）。

逐一扫描Ｆ４中的各个函数依赖，找到左部为ＡＣＥＧ或ＡＣＥＧ子集的函数依

赖，得到一个ＣＧ→Ｄ函数依赖。

故有Ｘ（３）＝ＡＣＤＥＧ。

计算Ｘ（４）。

逐一扫描Ｆ４中的各个函数依赖，找到左部为ＡＣＤＥＧ或ＡＣＤＥＧ子集的函数依

赖，得到一个ＡＣＤ→Ｂ函数依赖。

故有Ｘ（４）＝ＡＢＣＤＥＧ。

因为Ｘ（４）＝ＡＢＣＤＥＧ＝Ｕ，算法终止，（ＣＥ）＋

Ｆ４＝ＡＢＣＤＥＧ。

所以ＣＥ→Ａ为冗余的函数依赖，从Ｆ４中去掉。

可以逐一判断在Ｆ４中已无多余函数依赖所以转（３）。

（３）去掉Ｆ４中各函数依赖左边多余的属性。

函数依赖ＡＣＤ→Ｂ，属性Ａ是多余的，去掉Ａ得ＣＤ→Ｂ，因为Ｃ→Ａ，ＣＤ→Ｂ，所以可推

导出ＡＣＤ→Ｂ。

故最小函数依赖集为

ＦＭＩＮ＝｛ＡＢ→Ｃ，Ｄ→Ｅ，Ｄ→Ｇ，Ｃ→Ａ，ＢＥ→Ｃ，ＢＣ→Ｄ，ＣＧ→Ｄ，ＣＤ→Ｂ，ＣＥ→Ｇ｝

６．候选关键字的求解方法

给定一个关系模式Ｒ（Ｕ，Ｆ），Ｕ＝｛Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ｝，Ｆ是Ｒ的函数依赖集，那么，可以将属

性分为如下４类：

第２章　关系数据库·５１·

Ｌ：

仅出现在函数依赖集Ｆ左部的属性；

Ｒ：

仅出现在函数依赖集Ｆ右部的属性；

ＬＲ：

在函数依赖集Ｆ左右部都出现的属性；

ＮＬＲ：

在函数依赖集Ｆ左右部都未出现的属性。

根据候选码的特性可以得出如下结论：

（１）给定一个关