医学高等数学习题解答1236.docx
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医学高等数学习题解答1236
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
第一章
、判断题题解
正确。
设h（x）=f（x）+f（x）,错。
错。
错。
错。
函数、极限与连续习题题解（P27）
y=2lnx的定义域（0,+
..1lim,
x0x
则h（x）=f（x）+f（x）=h（x）。
故为偶函数。
）,y=lnx2的定义域（,0）U（0,+）。
定义域不同。
O故无界。
在x0点极限存在不一定连续。
1…,
-0逐渐增大。
x
lim
x
正确。
设limf（x）A,当x无限趋向于x0,并在x0的邻域，有Af（x）A。
x为
正确。
处也连续,
8.正确。
反证法：
设F（x）=f（x）+g（x）在x。
处连续，则g（x）=F（x）f（x）,在x。
处F（x）,f（x）均连续，从而g（x）在x=x。
与已知条件矛盾。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1.
f（x）x2,
（x）
2x,f[（x）]2x
22x
（D）
2.
3.
4.
y=x（C）
1limxsin—
xsin
lim
x0cosx
5.
帅f（x）
6.
9x20
7.
8.
（A）
（B）
唧伽1）2,limf（x）
（D）
画出图形后知：
最大值是
一-4
设f（x）x
x1,则
f
（1）1,f
（2）
帅（3
10。
13,
x）2,limf（x）2f⑴（B）
x1
（A）
f（x）连续，由介质定理可知。
（D）
三、填空题题解
0
1.
2.
3、
arctan（x）是奇函数,
关于原点对称。
3.
4.
y，可以写成
5.
设xt6,x1,t
1,
ltm
t2
t3
—有界,
1limxx
故极限为
0。
7.lim^t^
x2sin（x2）
jx2
lm―
x2sin（x2）
8.x2
axb（1
x）（xc）x2
（c
1）x
c,a
（c
1）,而lim（x
c）5,
得c=6,从而
b=6,a=
7。
1
9.lim（1sinx产
x0
1
lim（1sinx）
x0
sinx
sinxx
tan2x
sin2x
sin2x5x
10.lim——
lim
lim
x0sin5x
x0cos2xsin5x
x02xsin5x
11.设u=ex1,
..u..
limlim-
—」1
u0ln（1u）u0
lne
ln（1
u）
1cos2x
12.由x0处连续定义,
（a
x）
1,得：
a=1o
四、解答题题解
求定义域
1.
xx（x
0
1）
0,定义域为［1,
）和x=0
^511
25x2
6定义域为［4,5］
设圆柱底半径为
r,
高为h,则v=r2h,h戛,则罐头筒的全面积
r
2r2
2rh
2r2
其定义域为（0,+）。
（4）经过一天细菌数为
NiNoN°rNo（1r）,经过两天细菌数为
Ni
N〔r
Ni（1
r）
No（1
r）2,故
经过x大的细菌数为
N°（1
r）x,其定义域为［0,+）。
2.
f（
2）
4,f（ab）
（a
1）。
3.
u
ye,u
3
v,v
sint,t
4.
证明:
f[x（x1）]lnx（x
1）
lnx
ln（x
1）
f（x）
f（x1）。
5.
令
x+1=t,贝Ux=t1。
f（x
1）
f（t）
（t
2（t
1）2,0
1）,1
t11
t12
（t2（t
1）2
1
1）,2
f（x）（x1）2
2（x1）
6.
求函数的极限
（1）
原式=lim
n
1+
11/2
1上
13n1
1
1/3
（2）
原式=lim
n
（3）
（4）
原式=lim
n
（5）
=lim1
n
（1
1
x2）
=lim
x1
（1
x）（2x）
（1x）（1xx2）
lim
x1
n
2-
3
n
-1
3
3。
2sin2xsinx
=lim4
x0
1arcsinx
（6）原式=一lim
2x0x
令arctanxt，贝Utant
3tan2
sin2xsinx
2xx
4。
（P289
常见三角公式提示）
（8）原式=lim1
x
2x1
（9）
原式=lim
x
（10）
7.
Sn
arctanx人
，令arcsinx
x
arctanxx,limx0
mo
^ut
3tan2x3
lim1
x0
3tan2
lim1
x
sint
arcsinxx,limx0
忡。
t
1sint
x3tan2x
2x1
2亏
2x1
-in
s
叩。
^■Ht
IL
co
1一2
--
式
原
2
lim
x
2
2x1
xsinx
02x一
2sin—（1
2
xsinx1）
sin=2lim-x0x
x
2
•一xsin-
2
.1xsinx
asin—
3
_.ea（et1）
原式=lim0
ea（填空题11）。
22
S2
a.一
—sin
2
2n
32
a2,S.3a2
a
sin—
23
■32
~ra
26
8.
指出下列各题的无穷大量和无穷小量
sinxlim
x01cosx
arctanx
lim2
x1x
x
limesinx
x
0,为无穷小量。
0,为无穷小量。
0,为无穷小量。
x1lim
x0sinx
比较下列无穷小量的阶
lim-~x-,lim—x—1,当x1时，1x与1x3是同阶无穷小。
（4）
9.
为无穷大量。
x11x33x11（1x2）
2’
_12、一—
1x与—（1x）是等阶无分小。
2
10.当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x±1时，
x
1一、’一..x21
-是无分小重，当x0时，—
x
是无穷大量；当
x+时，ex是无穷小量，当x
时，ex是无穷大量。
11.
f（3）
f
（1）（2321）（212
1）19
316。
12.
lim
x0
sinx
f（0）a
a=
13.
ltm1
2
x77
啊1
1
（x1），
_2e,
啊f（x）
f⑴,
14.
设f（x）
f（0）1
0,f
（2）e22
0,由介质定理推论知：
在（0,2）上至少存在一点
x。
使得f（x°）
0，即ex
20。
15.设f（x）
asinxb
x,它在［0,a+b］上连续，且f（0）
b0,f（ab）a[sin（a
b）1]0,若f（ab）
0,
则a+b就是方程f（x）0的根。
若f（ab）0,由介质定理推论知：
至少存在一点
（0,a+b）,使得f（）0,
即是f（x）0的根。
综上所述，方程xasinxb至少且个正根，并且它不超过a+b。
16.⑴w（0）
-^6^26（g）;2）Wmaxlim26，t26（g）；⑶26
130e31t130e3t2
26
130e3
t|ln305（周）。
17.设F（x）
f（x）g（x），则F（x）在[a,b]上连续，F（a）f（a）g（a）0,F（b）
f（b）g（b）0,由介质定理推
论知：
至少存在一点（a,b）,使得F（）0。
即f（）g（）0f（）
g（）。
所以yf（x）与yg（x）在（a,b）
至少有一个交点。
第二章一元函数微分学习题题解网）
、判断题题解
导数不存在。
二、选择题题解
2»2
1*2x°，又有y°x°,解万程组
1丸或得:
y°1,x°
1,切线方程为：
y
2x1。
（A）
施为
2.可导一定连续。
（C）
3.连续但不可导。
（C）
4.因为（为,*）（a,b）。
（B）
5.
y〔x,y2Vx，在x=0处导数不存在,
Y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。
（D）。
（0x）0.
f（0）lim1可导。
（C）
x0x
7.
f（ex）e5x,f（ex）5e5x。
8.
21
（0x）sin0
limQ0—x—
lxm0
—1xsin——x
0。
（B）
三、填空题题解
1.f（x）
xtx
l1'f（
2）
2.
（2）21
1
~f°
2、3
2.
（cscx）
cscxcotx
3.
[sin（xy）]x
（x
y）xcos（xy）（yxy）1y,y
1
ycos（xy）1
:
。
xcos（xy）
4.
2
sinx、
d（e）
2sinxe
cosx22xdx。
5.
f（x）
6x26x366（x
2）（x
3）,当
3时，f（x）0,单调调减小。
6.
lny
1,
尹叫lng（x）]
f（x）f（x）
g（x）g（x）
f（x）f（x）g（x）
y
2g（x）f（x）g（x）
1.
2.
3.
4.
5.
f（x）
33
xx,
f（x）
业1
xdxe,
1
dx
dy
dy
dx
5
2
7.
8.
四、解答题题解
1
1ex
S
（1）顺0
（0
⑴俱―
（0
lim—
x0
10（1
t）
3^x5x
f（x）由减变增，取得极小值。
t）2
1
10-g
2
仰010
1小
g-gt10
、.1c
x）sin0
0x
x
、2.1
x）sin
0x
x
—lim=
xx0x
过（1,1）与（2,4）两点的割线斜率为
39
-,y一
24
39一.
3,-即为所求点。
24
1
一不存在,
x
f（x）在x
0不可导。
lixm0
.1
sin——
x
不可导。
0,
抛物线y
f（x）在x0可导，且f
x2过x点的切线斜率为
（0）0。
y2x,故2x3,得
2
过（x0,y。
）点作抛物线yx的切线,
设切点为
2
（x,x2）,应满足2x方程,
xx0
若方程有两个不等的
实根x,贝U说明过（x°,y0）点可作抛物线的两条切线。
整理方程得:
2
x2x0xy°0,
当4x24y。
。
时,
2.
方程有两个不等的实根。
也就是要满足y°x°即可。
求下列函数的导数。
n
（x
X\a）
nnx
lna
（x
Inx
5）1
n
（xsinx
cosx
X）
nnx
1.■sinxx
n
cosx
sinx1
tanx
（尸arctanx）x
J.（^sin2xlnx）
secx
——ln（1
1x
求下列函数的导数。
n（t）
2
xsecx
2xtanx
4x
cos2xInx
sin2x
2x
1
-22~
xcosx
2tanx1
x31
n）
（1x）secxtanx
（1x）2
secx
n、n1mn（1x）（1
n（1
n、n1n12n1n、n1
x）nxnx（1x）
22
（x）tan3xx（tan3x）2xtan3x
[lnsinxln（1
[ln（2x1）]ln（2x1）
[ln（1sinx）
3x2se（23x
2cosx2x
x）]2
sinx1x2
1（2x1）
ln（2x1）2x1
cotx
2x
1"?
（2x1）ln（2x1）
cosx
cosx
ln（1sinx）]
1sinx1sinx
2,,3333、（ln3x）
ln（lnx）2ln（lnx）[ln（lnx）]2ln（lnx）-
ktkt
[nbe]knoe,
求下列函数的导数。
lnysinxlnx,
1■c,，
lny-ln2ln（x
1吃（x1）（x3）2V
ln3x
n（t）knbekt
n（t）
kt
r0e
k。
1）
1
sin2xx1
cosxlnx
ln（x3）
sinx
lnsin2x
1--
2cot2x
x3
2cosx-
—2secxcosx
2
3\3（lnx）（lnx）2ln（lnx）一
sinxx
ln
2
3、3lnx2ln（lnx）—t
3
xlnx
3
6ln（lnx）
xlnx
cosxlnx
sinx
2cos2x
sin2x
kx1）（x3）
\2sin2x
1--
2cot2xx3
6.
⑴
⑵
⑶
（4）
（5）
⑹
7.
⑴
⑵
⑶
（4）
（5）
⑹
8.
9.
⑴
⑵
y
⑶
（4）
10.
⑴
⑵
y
⑶
11.
⑴
⑵
⑶
（4）
12.
⑴
⑵
⑶
（4）
13.
lnyxx,lnlnyxlnx,■（^^Inx1,—lny（lnx1）,yylny（lnx1）,yex'xx（lnx1）
Inyy
求下列隐函数的导数。
求下列函数的微分。
cc2arctanx
dd伉2arctanx>e2arctanxj《arctan）£之arctanx2dx奏dx
1x21x2
求＜5、sin31近似值。
（1）设
f（x）,贝uf（x）,取Xo
2、x
2.224.84,
0.16,则f（xo）
4.84
f（Xo）
1
・—0.227,故J5f（Xo
2、.4.84
X）
f（Xo）f
（Xo）
2.20.227
0.16
2.236
f（x）sinx,贝Uf（x）cosx,取
Xo
f（Xo）
sin30
1
2'
f（Xo）
3
cos30——，故sin31
2
f（Xo
X）
f（Xo）f
（Xo）
3
2
180
0.515
14.证明下列不等式。
⑴设f（X）
tanX，则f（x）
1seCx
.2tan
x0,f（X）在
上单调递减。
时,
f（x）f（0）,
xtanx,当x
Q"2时，f（x）f（0），即xtanx,
0时,
f（x）
f（0）,
tanx,
综上所述，当
tanx。
⑵设f（x）
x
Kln1X）
-ln（1x）,当x0时，f（x）x
0,有
f（x）
f（0）,
x,〃
即ln（1
1x
x）；设f（x）X
ln（1
1
x）,当X0时,f（X）1
1X
-0,有f（x）f（0），即xX
ln（1
x）；综
上所述，当x
0时,有
ln（1
x）
X。
⑶设f（x）
ex1x,
则f（x）
0,
f（x）f（0）,即eT1X
0;当x0
时,f（x）0,
有f（x）
f（0）,即
x0；
综上所述e
1X（x
0）。
15.
求下列函数的极限。
5sin5x
lim
x0
ln（cos5x）Cos5X55
lim=lim平¥5*=—lim-
x0ln（cos2x）
o2sin2x
cos2x
02
sin5x2x
5xsin2x
cos2x25
cos5x
xplnqxlimx0
q
lnx
s=lim
xpx0
qlnq
1
x
p
px
limq（q1）2叩x0（p）xp
八,八,qn
q（q1）（qn1）lnx
=o
np
（p）X
（分子和分母分别求
n阶导数，使n>q）
sinx
⑶limx
x0
lim
x0
sinxlnx
e
lim
:
0
sinxlnx
limsinxlnx
x0
lim
0
lnx
~T~
lim
x0
x
cosx
=lim
2
sinx2sinxcosx=limxcosxx0cosxxsinx
（4）
1
limx1x
x1
（5）
lim
x0
sin
sinx
2sinx
lnx
lnxlim
x11xe
「1lim.
lim
x1
e亦
X1x1=e
1x2
1,sinx—ln
xx
lnlim—
x0
1
=e
（1）_
=e
sinx
xk
lime
x0
xxcosxsinxlim敞x2_
x02x
xcosxsinxlim
x02xsinx
1
=e&
1
6e
xcosxsinxlimx0
2x2sinx
=lim
x
cosx
n-；.-2
04xsinx2xcosx
sinx
lim
x0
1
（cotx）应
lim
x0
lncotxe^^
16.
证明下列不等式。
令f（x）sinx
x,因为f（x）
xsinxcosx=limx04sinx2xcosx
lncotxlim
ex0
cosx1
a,、.3,,
令g（x）sinxxx/6,贝U：
g（x）cosx
g（x）g（0）0
g（x）\,g（x）g（0）0
cosx
=lim
x04cosx2（cosx
1=—xsinx）6
⑵令f（x）xp
（1
p2
f（x）p（p1）x
（1
17.
x
lim
lnxx0sinxcosx
=e
0（x0）,所以当
.2.
1x/2,g（x）
g（x）/g（x）
x）p,f（x）在［0,1］连续且f（0）f
（1）
x）p20,有极小值f-
2
确定下列函数的单调区间。
x36x，定义域（，+）,y3x2
1,
0时f（x）\,f（x）f（0）0sinxx;
sinxx,g（x）=cosx10（x0）,
有g（x）/
g（0）
f（x）
sinxxx3/6。
综上所述：
x
sinxxx‘/6
1（1x）p1,令f（x）0得x=1/2为驻点。
土f（x）1xp（1x）p1
2p
3（x22）,
0,解得xJ2,增减性如下表:
x
（,也）
v;2
（而,V2）
42
（&,+）
y
+
0
0
+
y
/
/
xsinx，定义域（，+）,y
1cosx0，令y0,解得x（2k1）,k0,1,2,,均是孤
故在（，+）单调递增。
⑶y2x33x212x7,定义域（，+）,y6x26x12
=3（x2）（x1）,令y0,解得x1,2,增减性如右表:
x
（,1）
1
（1,2）
2
（2,+）
y
+
0
0
+
y
/
/
18.
求下列函数的极值。
xln（1x）,定义域
（1,+
0,
极值见右表:
定义域（0,+
lnx
1lnx2
2x
0,解得x
极值见如右表:
0,解得
x
（1,0）
0
（0,+）
y
0
+
\
极小值
/
x
2
（0,e）
y
2
为0
7
2、
e
（e,+）
y
0
+
y
极小值为2e1
/
y
y0,解得x1,y
（1）20有极
（,0）u（0,+）,y
大值y
（1）2,y⑴
20有极小值y
（1）
2。
19.
求下列函数在所给区间的最大值和最小值。
f（x）
寸54x是［1,1］上的连续函数,
f（x）
.54x
0减函数且无驻点,
但有一个不可导点
它不在［
1,1］上,故fmax
（1）3,
fmin
（1）
1。
f（x）
x23x
2是［10,10］上的连续函数，此函数可用分段函数表示
f（x）
（x2
2x
3x2）,1x2
3x2,其它’
f（x）
/。
、2，令f（x）0,得：
x3,f
（1）f
（2）0,f£-
2x3,x1或x2224
f（
10）
132,f（1。
72,
比较得：
fmax132,fmin
0。
x222x
⑶f（x）2是［5,5］上的连续函数，此函数可用分段函数表示f（x）2x
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